线性代数矩阵及其运算

(1)

8
(3)2
5 2 0
sin 6 9 1


2 2 9
2.5 0.5
0 8
(2)
0

0
0 0
0 0


0

0
0 0
1 0 0
(3)

0
0
1 0
0


1
1

0
0
1

13
课堂练习
设
A

定义1.3（P4) 设有两个 m n矩阵A （aij ), B (bij ),
那么矩阵A与矩阵B的和矩阵记作A+B,规定为
a11 b11
A

B

a21 am1

b21 bm1
a12 b12 a22 b22

am2 bm2
a1n b1n
a11 a12
A

a21
a22

am1 am2
a1n
a2n


amn
第一行 第二行
第一列 第二列
称为m行n列矩阵 ，简称为m n 矩阵,通常用大写的英文
字母A,B,…表示，其中诸 aij叫做矩阵的元素，矩阵可以简记
A Amn (aij ) mn , 或A (aij )
3

只有矩阵 A 与矩阵B 同型
11
相等矩阵
定义1.2（P4) 如果A (aij )与B (bij )是同型矩阵，并且对应位置上的 元素相等，即
aij bij (i 1,2,, m; j 1,2,, n),
那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B
12
判断下列各组矩阵是否相等
下三角形矩阵
——三角形矩阵
9
几种特殊形式的方阵
1 0 0



0 0
2

0
0


n

对角阵
diag(1, 2, , n )
diagonal
0 0 0 0

0
0




数量矩阵
1 0

am2

a2n 矩阵的每一个元素
第一章 矩 阵
§1 矩阵及其运算 §2 矩阵的初等变换与初等矩阵 §3 行列式 §4 行列式和逆矩阵的应用
1
第一节
矩阵及其运算
a11 a12

a21
a22

am1 am2
a1n
a2n


amn
2
引例一
某企业生产4种产品，各种产品的季度产值
（单位：万元）如下表：
数表

0
1

0 0
0
0

单位矩阵
1
I
或
n
I
10
同型矩阵
行数、列数分别相等的矩阵，称为同型矩阵。
如：
A


1 0
1 4
0 3
1
7

0
C


1
0
5 2 0
4
3
1 0
1 0
1 0
1 0
D


7 1
8 2
9
-A称为矩阵A的负矩阵，显然有 A+(-A)=(-A)+A=O
对应位置 上的元素
相减
定义矩阵的减法：A-B=A+(-B)
16
二、 矩阵的数乘运算
定义1.4 (P5) 数与矩阵A的乘积记作A或A，规定为
a11 a12 a1n
A

A

a21


am1
a22
m个方程 ，
n个未知数
a11 a12

a21
a22

am1 am2
a1n
a2n


amn
a11 a12

a21
a22

am1 am2
a1n b1
a2n
b2

数
amn bm
表
定义1.1 (P2)
由mn个数aij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n) 排成的m行n列的数表
1.1.1 线性方程组与矩阵的概念
线性方程组的一般形式为
a11x1a12 x 2 a1n xn b1

a21x1a22 x 2 a2n xn b2 ........................................
(1)
am1x1am2 x 2 amn xn bm
特例
a1 a2 an 行矩阵：只有一行的矩阵
a1

a2



an

也称为行向量
列矩阵：只有一列的矩阵
也称为列向量
元素全是零的矩阵叫做零矩阵，简记为Omn
特例
行数与列数相等的矩阵，称为方阵。 有n行n列的矩阵称为n阶方阵或n阶矩阵
a11 a12
A

Ann

1 2
2x 6
3 1
5z
,
B


y
x 6
z
3
8
，已知A=B，
求 x, y, z 的值
2 x x 解 由A=B，可知 2 y
5z z 8
解得 x 1, y 2, z 2
1.1.2 矩阵的基本运算及性质
一、 矩阵的加减法
ABCD 1 80 75 75 78 2 98 70 85 84 3 90 75 90 90
80 75 75 78
抽象

98
70
85
84

90 75 90 90

88
70
82
80

4 88 70 82 80
描述各种产品各季度的产值 揭示产值随季度的变化规律、 年产量等
引例二

An


a21

a22
an1 an2
a1n
a2n


(aij
)nn
ann
几种特殊形式的方阵
a11 a12

0
a22


0
0
a1n
a2n


ann
a11 0

a21
a22

an1 an2
0
0


ann
上三角形矩阵
a2n b2n

amn

bmn

对应位置上的元素相加
注意：只有同型矩阵才能相加
矩阵的加法满足下列运算规律 (P4) （i）A+B=B+A (交换律） （ii) (A+B)+C=A+(B+C) (结合律）
(iii) A+O=O+A=A
设矩阵A (aij ), 记 A (aij ),
B
某航空公司在A，B，C，D四城市
之间开辟了若干航线，右图表示了
四城市之间的航班图，若从A到B有 A
C
航班，则用带箭头的线连接A与B：
D
终 点 始发
A B C
ABCD
√√ √ √√ √√ √
0 1 1 0
抽象

1
0
1
1

数
1

0
1 1
0 0
1
0

表
D
√
反映四城市之间的交通连接情况