导数章末小结
导数及其应用章末总结课件
例1 当x∈(0，π2)时，证明：tanx>x.
分析
构造函数f(x)＝tanx－x.利用导数判断在x∈(0，
π 2
)
上的单调性．
证明 设f(x)＝tanx－x，x∈(0，2π)， 则f′(x)＝csoinsxx′－1 ＝cos2cxo＋s2sxin2x－1 ＝csoins22xx＝tan2x>0. ∴f(x)在(0，2π)上是增函数．
Δy Δx.
(2)公式法：对于较复杂的函数，在求导前应先对解析式
进行化简或变形，再用公式求导．
(3)复合函数的求导方法：运用复合函数的求导法则y′x＝ y′u·u′x，但应注意以下几点：
①利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自 变量的函数，层层求导．
②要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不能 混淆，计算到最后，如(cos2x)′＝－sin2x是错的，正确的是 (cos2x)′＝－sin2x·(2x)′＝－2sin2x.
于是f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2) 由f′(x)>0，得x<0，或x>2， 故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)； 由f′(x)<0，得0<x<2，故f(x)的单调递减区间是(0,2)． (2)由(1)得f′(x)＝3x(x－2)， 令f′(x)＝0，得x＝0，或x＝2.
一、导数的应用 1．导数的概念是本章学习的关键，它不但提供了一般的 求导方法，并且常见函数的导数，函数的和、差、积、商的导 数法则都是用定义得出的． 2．函数求导的常用方法 (1)定义法：用定义求导的一般步骤：
①求函数的增量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；②求平均变化率ΔΔyx＝
fx＋ΔΔxx－fx；③取极限，得f′(x)＝Δlixm→0
求导公式知识点归纳总结
求导公式知识点归纳总结一、基本导数公式1. 基本导数：函数y = k，y' = 0 (常数函数导数为0)函数y = x^n，y' = nx^(n-1) (幂函数的导数是指数减1乘以原指数)函数y = sinx，y' = cosx (正弦函数的导数是余弦函数)函数y = cosx，y' = -sinx (余弦函数的导数是负的正弦函数)函数y = e^x，y' = e^x (指数函数自身的导数是自身)2. 基本导数的性质：（1）常数法则：若f(x) = k，f'(x) = 0（2）幂法则：若f(x) = x^n，f'(x) = nx^(n-1)（3）和差法则：若f(x) = g(x) ± h(x)，f'(x) = g'(x) ± h'(x)（4）积法则：若f(x) = g(x) * h(x)，f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)（5）商法则：若f(x) = g(x) / h(x)，f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))^2 （6）复合函数法则：若f(x) = g(h(x))，f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)3. 根据基本导数公式，我们可以求出一些特殊函数的导数，比如：（1）常数函数 f(x) = c，导数为 f'(x) = 0（2）幂函数 f(x) = x^n，导数为 f'(x) = nx^(n-1)（3）指数函数 f(x) = e^x，导数为 f'(x) = e^x（4）对数函数 f(x) = ln(x)，导数为 f'(x) = 1/x（5）三角函数 f(x) = sinx，导数为 f'(x) = cosx（6）反三角函数 f(x) = arcsinx，导数为f'(x) = 1 / √(1 - x^2)二、常见函数的导数1. 常见初等函数的导数：（1）幂函数：y = x^n，y' = nx^(n-1)（2）指数函数：y = a^x (a > 0, a ≠ 1)，y' = a^x * ln(a)（3）对数函数：y = loga(x) (a > 0, a ≠ 1)，y' = 1 / (x * ln(a))（4）三角函数：y = sinx，y' = cosx（5）双曲函数：y = sinhx，y' = coshx（6）反三角函数：y = arcsinx，y' = 1 / √(1 - x^2)2. 常用初等函数的导数：（1）常数函数 f(x) = c，导数为 f'(x) = 0（2）幂函数 f(x) = x^n，导数为 f'(x) = nx^(n-1)（3）指数函数f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1)，导数为 f'(x) = a^x * ln(a)（4）对数函数f(x) = loga(x) (a > 0, a ≠ 1)，导数为 f'(x) = 1 / (x * ln(a))（5）三角函数 f(x) = sinx，导数为 f'(x) = cosx（6）双曲函数 f(x) = sinhx，导数为 f'(x) = coshx（7）反三角函数 f(x) = arcsinx，导数为f'(x) = 1 / √(1 - x^2)3. 常见非初等函数的导数：（1）绝对值函数 f(x) = |x|，导数为 f'(x) = x / |x|（2）分段函数f(x) = {x^2, x > 0; 2x, x ≤ 0}，导数为f'(x) = {2x, x > 0; 2, x ≤ 0}三、高阶导数1. 高阶导数的定义：高阶导数是指一个函数的导数再次求导后所得到的导数。
求导公式知识点总结
求导公式知识点总结一、求导的基本概念1. 导数的定义在微积分中，函数f(x)在点x0处的导数定义为：f'(x0) = lim┬(h→0)〖(f(x0+h) - f(x0))/h 〗其中f'(x0)表示函数在点x0处的导数，h表示x的增量。
这个定义可以理解为，当x的增量趋向于0时，函数在点x0处的变化率趋向于某个确定的值，这个值就是函数在点x0处的导数。
2. 导数的几何意义导数的几何意义是函数曲线在某一点处的斜率。
换句话说，导数告诉我们函数在某一点处的变化率，即函数曲线在这一点的切线斜率。
3. 求导的符号表示通常情况下，函数f(x)的导数可以表示为f'(x)，也可以表示为dy/dx或者y’。
这些符号都代表函数对自变量x的导数。
二、求导的公式1. 常数函数的求导公式对于常数函数c，它的导数为0，即：(d/dx)(c) = 0这个公式的含义是，常数函数的斜率始终为0，因为它在任何点处都保持不变。
2. 幂函数的求导公式对于幂函数x^n，它的导数为nx^(n-1)，即：(d/dx)(x^n ) = nx^(n-1)这个公式可以通过极限的定义进行证明，其中利用了幂函数的导数的推导过程。
3. 指数函数的求导公式对于指数函数e^x，它的导数依然是e^x，即：(d/dx)(e^x ) = e^x这个公式的含义是，指数函数的斜率始终等于自己，这是指数函数独特的性质。
4. 对数函数的求导公式对数函数ln(x)的导数为1/x，即：(d/dx)(ln(x)) = 1/x这个公式可以通过对数函数的定义和求导的推导过程来证明。
5. 三角函数的求导公式三角函数sin(x)和cos(x)的导数分别为cos(x)和-sin(x)，即：(d/dx)(sin(x)) = cos(x)(d/dx)(cos(x)) = -sin(x)这两个公式可以通过三角函数的定义和求导的推导过程来证明。
6. 复合函数的求导公式对于复合函数f(g(x))，它的导数可以通过链式法则进行求导，即：(d/dx)(f(g(x))) = f’(g(x)) * g’(x)这个公式是复合函数求导的基本公式，它告诉我们如何对复合函数进行求导。
导数章末小结
返回
(2)利用导数求函数的极值，一般步骤为 ①确定f(x)的定义域； ②解方程f′(x)＝0； ③检验f′(x)＝0的根两侧f′(x)的符号．若两侧符号异号，
则此点为极值点，否则，此根不是函数f(x)的极值点．
(3)利用导数求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的方法 ①先求f(x)在(a，b)内的极值； ②最小的就是最小值． 返回
第 三 章
导 数 及 其 应 用 章 末 小 结
核心要点归纳
阶段质量检测
返回
返回
一、导数的几何意义
利用导数的几何意义求切线方程，常见的类型有两种，
一是求“某点处的切线方程”，则此点一定为切点．二是求 “过某点的切线方程”，则此点不一定为切点，若不是切点， 可设出切点为(x0，y0)，再由导数几何意义求解．
返回
点击下图进入“阶段质量检测”
返回
四、导数的实际应用
求实际问题中的最大(小)值，主要步骤如下：
(1)抽象出实际问题的数学模型，列出变量间的函数关 系式y＝f(x)； (2)求出函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点处的函数值
大小，最大者为最大值，最小者为最小值；
(4)回归实际问题．
返回
二、导数的运算 (1)能根据导数定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y＝ 1 x ，y＝x的导数；
2
(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运 算法则求简单函数的导数． 三、导数在研究函数中的应用 (1)利用导数求单调区间，步骤为 ①求导数 f′(x)； ②解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0； ③写出单调增区间，减区间．
导数知识点总结笔记
导数知识点总结笔记一、导数的概念导数是微积分的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率或斜率。
在几何学上，导数可以理解为曲线在某一点处的切线斜率。
导数的概念最初由牛顿和莱布尼茨在17世纪提出，并成为微积分的基础概念之一。
导数的计算可以通过极限的概念来进行，即在一个点的邻域内取一个趋近该点的点，然后计算两点间的变化率。
导数在自然科学、工程学、经济学等领域中有着广泛的应用，是微积分中一个非常重要的概念。
二、导数的符号表示导数通常用f'(x)来表示，读作f关于x的导数。
也可以写成y'或dy/dx等形式。
导数表示了函数在某一点的瞬时斜率，或者在函数的定义域内任意一点的变化率。
导数实际上是关于自变量的函数，是一个描述函数变化率的函数。
三、导数的计算方法1. 通过定义法计算导数导数可以通过函数的定义来计算，即导数定义为函数在某一点的极限。
对于函数f(x)，它在x=a处的导数定义为：f'(a) = lim(h->0) [f(a+h) - f(a)] / h这就是导数的极限定义，即可以通过极限的概念来计算导数。
2. 导数的常见计算法则除了用极限的定义来计算导数外，还有一些导数的计算法则可以简化导数的计算：（1）常数法则：常数的导数为0，即f(x)=c，则f'(x)=0；（2）幂函数法则：f(x)=x^n，则f'(x)=n*x^(n-1)；（3）和差法则：f(x)=g(x)+h(x)，则f'(x)=g'(x)+h'(x)；（4）乘积法则：f(x)=g(x)*h(x)，则f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)；（5）商法则：f(x)=g(x)/h(x)，则f'(x)=(g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x))/h(x)^2；3. 高阶导数如果一个函数的导数存在，那么它的导数也可以再次求导，这就得到了函数的高阶导数。
第4章 二元函数的偏导数及其应用 总结
Fx 2( y z) yz 0
解联立方程组
Fy
2(x
z)
xz
0
消去
，解得 x y z 3 1000
10
Fz
2(
y
x)
xy
0
xyz 1000 0
所以，根据问题的实际意义，当长方体的长、宽、高都等于10米时
（正方体），箱子所用的材料最省。
注：体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小。
2
2
即有
f (x, y) 2xy x2 y2
例3 求函数 z x2 3xy y 2 3x 5y 在点(1, 2 ) 处的偏导数。
解： 把 y 看作常数，对x 求导，得到
f x(x, y) 2x 3y 3
把 x 看作常数，对 y 求导，得到
f y(x, y) 3x 2 y 5
cos y ( y cos x) (x cos y) ( y sin x) ( y cos x)2
cos y(cos x x sin x)
y cos2 x
z y
(
x y
cos cos
y x
)y
(x
cos
y)y
(y
cos x) (x cos ( y cos x)2
y) ( y
cos
x)y
例6 求函数 f (x, y) x3 y3 3x2 3y 2 9x 的极值。
解：先解方程组 f x(x, y) 3x2 6x 9 0
f y(x,
y)
3y 2
6y
0
，
得驻点 (1, 0) (1, 2) (3, 0) (3, 2) 又f xx (x, y) 6x 6 f xy (x, y) 0 f yy (x, y) 6 y 6 在点 (1, 0)处， B2 AC 12 6 0 ，又 A 0 ，故点 (1, 0) 是极小 值点，极小值为 f (1,0) 5 在点(1, 2)，(3, 0) 处， B2 AC 12 6 0，故函数在这两点处没有极值。 在点(3, 2) 处， B2 AC (12) (6) 0 ，又 A 0 ，故函数
苏教版选择性必修第一册第5章 导数及其应用 章末复习提升
例 3 已知函数 f(x)＝－x3＋ax2＋bx，在区间(－2，1)内，当 x＝－1 时，f(x)取极 小值，当 x＝23时，f(x)取极大值. (1)求函数 y＝f(x)在 x＝－2 时对应的切线方程； 解 f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，又因为当 x＝－1，x＝23时， 函数 f(x)分别取得极小值、极大值，所以－1，23为方程－3x2＋2ax＋b＝0 的两个根. 所以23a＝－1＋23，－b3＝(－1)×32. 于是 a＝－12，b＝2，则 f(x)＝－x3－12x2＋2x. 当 x＝－2 时，f(－2)＝2，即切点为(－2，2).
索引
x2＝a＋ 2a2－8，0＜x1＜x2. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，x1)
x1
(x1，x2)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值
↘
此时 f(x)在0，a－
2a2－8上单调递增，
在a－
2a2－8，a＋
2a2－8上单调递减，
x2 0 极小值
(x2，＋∞) ＋ ↗
索引
索引
要点四 导数与函数、不等式的综合应用
利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点.考题利用导数作 为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值、参数的取值范围等问题， 若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以 中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现.考查中常渗透函数、不等式等有关 知识，综合性较强.
索引
要点二 应用导数求函数的单调区间
在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；在区 间(a，b)内，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减.
高二数学选修1、3章末
第三章
导数及其应用
[点评] 解决实际应用问题的关键在于建立数学模型
和目标函数，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系
近似化、形式化，抽象成数学问题，再化归为常规问题， 选择适当的方法求解．
人 教 A 版 数 学
第三章
导数及其应用
人 教 A 版 数 学
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－1)上为
增函数；当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(－1,1)上是减函 数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上是增函 数．所以f(x)在x＝－1处取得极大值，极大值为f(－1)＝－2.
第三章
(小)值就是最大(小)值.
人 教 A 版 数 学
第三章
导数及其应用
[例7] 用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的
框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那
么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积． [分析] 应先理解题意把实际问题转化成求函数的最 值问题，然后利用导数求最值．
因此f(x)＝ax3＋cx，f′(x)＝3ax2＋c.
第三章
导数及其应用
由条件f(1)＝－2为f(x)的极值，必有f′(1)＝0，
故a＋c＝－2,3a＋c＝0. ∴a＝1，c＝－3.因此f(x)＝x3－3x， f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， f′(－1)＝f′(1)＝0.
人 教 A 版 数 学
人 教 A 版 数 学
[解析]
2sinx cosx ＝ cosx ′＋3 sinx ′
2cos2x＋2sin2x －3sin2x－3cos2x ＝ ＋ cos2x sin2x 2 3 ＝cos2x－sin2x
2012-2013高二北师大数学选修2-2第五课时第三章导数的应用小结与复习导学案
第五课时第三章导数的应用小结与复习一、学习目标：1、知识与技能:①利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值；②利用导数求解一些实际问题的最大值和最小值。
2、过程与方法:①通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值，培养学生的数学思维能力；②通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。
3、情感态度、价值观：逐步培养学生养成运用数形结合、等价转化、函数与方程等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯。
二、学习重难点：通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值，培养学生的数学思维能力；通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。
三、学习方法：探析归纳，讲练结合四、学习过程:类型一利用导数研究函数的单调性1.导数的符号与函数单调性关系(1)若f′(x)＞0,则f(x)为增函数；若f′(x)＜0,则f(x)为减函数；若f′(x)=0恒成立,则f(x)为常数函数；若f′(x)的符号不确定,则f(x)不是单调函数.(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f′(x)≥0；若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减，则f′(x)≤0.2.利用导数求函数单调区间的步骤：(1)求f′(x)；(2)求方程f′(x)=0的根，设根为x1,x2,…xn；(3)x1,x2,…xn将给定区间分成n+1个子区间，再在每一个子区间内判断f′(x)的符号，由此确定每一子区间的单调性.3.已知函数的单调性求参数的取值范围有两种思路：(1)转化为不等式在某区间上恒成立问题，即f′(x)≥0(≤0)恒成立，用分离参数求最值或函数性质求解，注意验证使f′(x)=0的参数是否符合题意.(2)构造关于参数的不等式求解，即令f′(x)＞0(＜0)求得用参数表示的单调区间，结合所给区间，利用区间端点列不等式求参数.特别提醒：利用导数研究函数单调区间，注意验证区间端点是否符合题意.【例1】已知x∈R，奇函数f(x)=x3-ax2-bx+c在［1,+∞)上单调，则字母a,b,c应满足的条件是什么？【审题指导】f(x)在［1,+∞)上单调，则f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，或者［1,+∞)是f(x)单调区间的子集.类型二利用导数求函数的极值和最值1.导数对于函数极值与最值的作用：函数的极值与最值是函数的重要性质，最值与极值有着密切的关系，而极值是函数在某点处的特殊性质，初等方法难以刻画，因而导数就成为研究函数极值的有力工具.2.求函数f(x)的极值的步骤及注意事项:(1)求导数f′(x);(2)求方程f′(x)=0的根(x为可能的极值点)；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，求出极大值和极小值.3.利用导数求函数f(x)在区间［a,b］上最值的步骤及注意事项:(1)求f(x)在区间［a,b］内的极值(极大值或极小值)；(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.特别提醒：①当f(x)在区间［a,b］上单调时，最值在端点处取得.②若函数f(x)在区间［a,b］内只有一个极大值(或极小值)，则该极大值(或极小值)即为函数f(x)在区间［a,b］内的最大值(或最小值).【例2】函数f(x)=x3+ax2+bx+c，过曲线y=f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y=3x+1.(1)若y=f(x)在x=-2时有极值，求f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，求y=f(x)在［-3,1］上的最大值.【审题指导】(1)由切线方程可得f(1)=4，f′(1)=3，又y=f(x)在x=-2时有极值，所以f′(-2)=0，构造三个方程求三个系数a,b,c.(2)求导，求极值，列表求最值.类型三导数在实际问题中的应用1.利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法：(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系y=f(x)，根据实际问题确定y=f(x)的定义域.(2)求f′(x)，令f′(x)=0，得出所有实数解.(3)比较函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值.2.利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的值应舍去.(2)在实际问题中，由f ′(x)=0常常仅解得一个根，若能判断函数的最大(小)值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值.特别提醒：此类题目易忽视求函数实际意义中的定义域，导致最值求错.【例3】一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10公里时，燃料费是每小时6元，而其他和速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1公里所需的费用总和为最小？【审题指导】由条件“速度为每小时10公里时，燃料费是每小时6元”可求燃料费和它的速度的立方成正比的比例系数，再表示出每小时的总费用，除以速度即为每公里所用的费用.类型四 恒成立问题解决恒成立问题常用的方法：(1)函数与方程方法.利用不等式与函数和方程之间的联系，将问题转化成二次方程的根的情况进行研究.有些问题需要经过代换转化成二次函数或二次方程.注意代换后的自变量的范围变化.(2)分离参数法.将含参数的恒成立式子中的参数分离出来，化成形如：a=f(x)或a ＞f(x)或a ＜f(x)恒成立的形式.则：a=f(x)即a 的范围是f(x)的值域；a ＜f(x)恒成立即a ＜f(x)min ；a ＞f(x)恒成立即a ＞f(x)max.特别提醒：参数范围中区间端点的开闭一定要单独验证来取舍.【例4】设 当x ∈［-2,2］时，f(x)-m＜0恒成立，求实数m 的取值范围.【审题指导】f(x)-m ＜0恒成立即f(x)＜m 恒成立，只需m 大于f(x)的最大值.课堂练习 ()321f x x x 2x 52=--+，104（，）1(1)2，1.设y=8x2-lnx ，则此函数在区间 和 内分别 ( )(A)单调递增，单调递减 (B)单调递增，单调递增(C)单调递减，单调递增 (D)单调递减，单调递减 2.对于R 上可导的任意函数f(x),若f(x)=f(2-x)，且当x ∈(-∞，1)时，(x-1)f ′(x)＜0，设a= f(0)， c=f(3)，则( )(A)a ＜b ＜c (B)c ＜a ＜b (C)c ＜b ＜a (D)b ＜c ＜a3.若函数 在(1，+∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( ) (A)［-2，+∞) (B)(-∞，-1)(C)(1，+∞) (D)(-∞，2］4.设底为等边三角形的直棱柱的体积为2，当其表面积最小时，底面边长为( )(A)(B) (C)2 (D)45.已知函数f(x)的导数f ′(x)=a(x+1)·(x-a)，若f(x)在x=a 处取到极大值，则a 的取值范围是_______.6.当x ＞0时，ex-1与x 的大小关系是_______.第五课时 第三章 导数的应用小结与复习答案【例1】【规范解答】∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0⇒c=0；f(x)+f(-x)=0⇒a=0.∴f ′(x)=3x2-b.方法一：若f(x)在x ∈［1,+∞)上是增函数，则f ′(x)≥0在［1,+∞)上恒成立，即b ≤(3x2)min=3. 若f(x)在x ∈［1,+∞)上是减函数，则f ′(x)≤0在［1,+∞)上恒成立，这样的b 不存在. 综上可得：a=c=0,b ≤3.方法二：若f(x)在x ∈［1,+∞)上是增函数，若b ≤0,f ′(x)=3x2-b ≥0恒成立，符合题意;若b ＞0，则由f ′(x)=3x2-b ≥0得,即f(x)的单调区间是所以 0＜b ≤3.∴b ≤3.若f(x)在x ∈［1,+∞)上是减函数，f ′(x)≤0恒成立，这样的b 不存在.综上可得：a=c=0,b ≤3.【例2】【规范解答】(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c ，求导数得f ′(x)=3x2+2ax+b ，过y=f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为：y-f(1)=f ′(1)(x-1)，即为：y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)·(x-1)，而过P(1，f(1))的切线方程是y=3x+1，又y=f(x)在x=-2时有极值，∴f ′(-2)=0，∴-4a+b=-12，②联立①②解得：a=2，b=-4，c=5，即f(x)=x3+2x2-4x+5.(2)f ′(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2)，令f ′(x)=0,则x=-2或当x 在［-3,1］变化时，f(x)、 f ′(x)的变化如表：()k k h x 2x x 3=-+1b f ()2=，f(x)极大值=f(-2)=13，又∵f(1)=4，∴f(x)在区间［-3,1］上的最大值是13.【例3】【规范解答】设速度为每小时v 公里的燃料费是每小时p 元，则p=kv3.又∵6=k ·103,∴k=0.006,∴p=0.006v3.设行驶1公里所需的总费用为y 元，则∴ 由y ′=0,得v=20(公里/小时). 又∵当0＜v ＜20时，y ′＜0；当v ＞20时，y ′＞0.∴当速度为每小时20公里时，航行1公里所需的费用总和最小.【例4】【规范解答】f ′(x)=3x2-x-2，由f ′(x)＞0得3x2-x-2＞0,即 由f ′(x)＜0得3x2-x-2＜0，即 所以函数单调增区间是 ；函数的单调减区间是由f(x)＜m 恒成立，∴m 大于f(x)的最大值.当x ∈［-2,2］时，(1)当x ∈ 时，f(x)为增函数，所以 = (2)当x ∈ 时，f(x)为减函数， 所以(3)当x ∈［1,2］时，f(x)为增函数，所以f(x)max=f(2)=7；因为 从而m ＞7. 课堂练习 1．【解析】选C.()32196y 0.006v 960.006v (v 0)v v =+=+＞296y 0.012v ,v '=-2x x 13-＜或＞；2x 13-＜＜，2(,)(1,)3-∞-+∞，2(,1).3-22,3--［］max 2f (x)f ()3=-15727；2,13-［］()max 2157f x f ()327=-=；1577,27＞1y 16x .x'=-当x ∈ 时，y ′＜0，y=8x2-lnx 为减函数；当x ∈ 时，y ′＞0，y=8x2-lnx 为增函数.2．【解析】选B.由当x ∈(-∞，1)时， (x-1)f ′(x)＜0，知f(x)在(-∞，1)上为增函数.又由f(x)=f(2-x)得c=f(3)=f(-1)，所以c ＜a ＜b. 3．【解析】选A.因为 所以 在(1，+∞)上恒成立，即k ≥-2x2在(1，+∞)上恒成立，所以k ∈［-2，+∞). 4．【解析】选C.设底面边长为x ，则表面积(x ＞0)，令S ′=0，得x=2. 5．【解析】结合二次函数图像知，当a ＞0或a ＜-1时，在x=a 处取得极小值， 当-1＜a ＜0时，在x=a 处取得极大值，故a ∈(-1,0).答案：(-1,0)【解析】令f(x)=(ex-1)-x ，则f ′(x)=ex-1.当x ＞0时，f ′(x)＞0，所以f(x)在(0，+∞)上为增函数，所以(ex-1)-x ＞f(0)=0,即ex-1＞x.答案：ex-1＞x1(1)2，()2k h x 2x '=+，()2k h x 2x '=+=222x k 0x +≥)3S x 8.'-2S。
导数章末小结
导数的计算
1、先把八个公式，四个法则记好 2、运算的时候注意先判断是属于哪个法则 （特别是乘除问题） 1 3、注意一些特殊的情况：例如 x ， x 要转化 成
x
1 1 2，
x
导数的物理意义
1、知道路程关于时间的方程S(t)，要求瞬时 速度，则要先求导S’(t) 2、知道速度与时间的关系V(t)，要求瞬时加 速度，则要先求导V’(t)
导数的几何意义
导数的几何意义——在x=x0处的切线的斜率 （1）关注斜率——把x0代入导数中得斜率 （2）关注切点——把x0代入原函数中得切点
导数及其应用 章末归纳总结 课件
利用导数研究函数的极值和最值
1.应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求方程f ′(x)＝0的根； (3)检验f ′(x)＝0的根的两侧f ′(x)的符号． 若左正、右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负、右正，则f(x)在此根处取得极小值． 否则，此根不是f(x)的极值点．
已知函数 f(x)＝ln(x＋1)＋x＋ax1 (a∈R)． (1)当 a＝2 时，求函数 y＝f(x)的图象在 x＝0 处的切线方程； (2)判断函数 f(x)的单调性； (3)若函数 f(x)在(a，a＋1)上为增函数，求 a 的取值范围．
[解析] (1)当a＝2时，f(x)＝ln(x＋1)＋x＋2x1(x>－1)， ∴f ′(x)＝x＋1 1＋x＋212＝xx＋＋132， ∴f ′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为3. 又∵f(0)＝0，所以切点为(0,0)． 故所求的切线方程为y＝3x.
(2)设曲线y＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0，13x30 ＋43)，
则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x20， ∴切线方程为y－(13x30＋43)＝x20(x－x0)， 即y＝x20·x－23x30＋43.
∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43， 即x30－3x20＋4＝0，∴x30＋x20－4x20＋4＝0， ∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2， 故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
y0－y1＝f ′(x1)(x0－x1)
①
又y1＝f(x1)
②
由①②求出x1，y1的值．
即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
导数知识点总结大全
导数知识点总结大全一、基本概念1.1 导数的定义对于函数y = f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)，它定义为函数在该点的变化率。
导数可以用极限的概念来定义：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]其中，h表示自变量x的小变化量，当h趋近于0时，这个极限就表示了函数在点x处的导数。
导数也可以表示为函数的微分形式，即dy = f'(x)dx。
1.2 导数的几何意义导数有着重要的几何意义，它表示了函数在某一点上的切线斜率。
对于函数y = f(x)，在点(x, f(x))处的切线的斜率恰好等于函数在该点的导数f'(x)。
这意味着导数可以描述函数在某一点的变化速率和方向。
1.3 导数的物理意义在物理学中，导数也有着重要的物理意义。
对于物理量s关于时间t的函数s(t)，它的导数s'(t)表示了速度的变化率，即s'(t) = ds/dt。
类似地，速度关于时间的函数v(t)的导数v'(t)表示了加速度的变化率，即v'(t) = dv/dt。
因此，导数在描述物理过程中的变化率和速度方面也有着重要的应用。
1.4 导数的符号表示导数的符号表示通常有几种形式，常见的包括f'(x)、dy/dx、y'等。
它们都表示对函数y =f(x)的自变量x求导所得到的结果，即函数在某一点上的变化率或者斜率。
二、导数的性质2.1 导数存在性对于一个函数f(x)，它在某一点上的导数可能存在也可能不存在。
如果函数在某一点上导数存在，那么称该函数在该点上可导。
对于大多数常见的函数，它们在定义域内是可导的，例如多项式函数、三角函数、指数函数等。
但也存在一些特殊的函数，在某些点上导数可能不存在，例如绝对值函数在原点处的导数就不存在。
2.2 导数的连续性如果一个函数在某一点上导数存在，并且它在该点上是连续的，那么称该函数在该点上是可微的。
22人教版高中数学新教材选择性必修第二册--第五章 一元函数的导数及其应用章末总结
第五章一元函数的导数及其应用章末总结体系构建题型整合题型1 导数的几何意义与应用例1（2020课标Ⅰ理,6,5分）函数f(x)=x4−2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为( ) A.y=−2x−1B.y=−2x+1C.y=2x−3D.y=2x+1答案：B解析：f(x)=x4−2x3,f′(x)=4x3−6x2,∴f(1)=−1,f′(1)=−2,因此,所求切线的方程为y+1=−2(x−1),即y=−2x+1.故选B.方法归纳1.函数的导数的几何意义就是函数f(x)的图象在x=x0处的切线斜率,即k=f′(x0),是历年高考考查的重点.2.求曲线的切线方程的注意事项：（1）曲线y=f(x)在点P（x0,f(x0)）处的切线的方程为y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)（2）求曲线y=f(x)过点P（x0,f(x0)）的切线方程时,若P（x0,f(x0)）是切点,则切线方程为y−f(x0)=f′(x0)(x−x0);若P（x0,f(x0)）不是切点,设切点为Q（x1,y1）,则切线方程为y−y1=f′(x1)(x−x1),再由切线过P点得f(x0)−y1=f′(x1)(x0−x1)①,又y1=f(x1)②,由①②求出x1,y1的值,即可得出过点P（x0,f(x0)）的切线方程.迁移应用1.（2020山东青岛高二检测）已知直线y=x+2与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为. 答案：3解析：设曲线y=ln(x+a)上的切点坐标为(x0,y0),因为直线y=x+2与曲线y=ln(x+a)相切,=1,且x0+2=ln(x0+a)=0,所以切线斜率为y′=1x0+a所以x0=−2,a=3.题型2 导数在研究函数单调性和极值中的应用例2 （2021山东威海高二期中）设f(x)=xlnx−ax2+(2a−1)x,a∈R.（1）令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间;（2）已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.答案：（1）由f(x)=xlnx−ax2+(2a−1)x,a∈R,得f′(x)=lnx−2ax+2a,g(x)=f′(x)=lnx−2ax+2a,x＞0,得g′(x)=1x −2a=1−2axx.当a≤0时,g′(x)＞0,函数g(x)单调递增;当a＞0,x∈(0,12a )时,g′(x)＞0,函数g(x)单调递增,x∈(12a,+∞)时,g′(x)＜0,函数g(x)单调递减.所以当a≤0时,函数g(x)的单调增区间为(0,+∞);当a＞0时,函数g(x)的单调增区间为(0,12a ),单调减区间为(12a,+∞).（2）由（1）知,f′（1）=0.①当a≤0时,f′(x)单调递增.所以当x∈(0,1)时,f′(x)＜0,f(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,f′(x)＞0,f(x)单调递增. 所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.②当0＜a＜12时,12a＞1,由（1）知f′(x)在(0,12a)内单调递增,则当x∈(0,1)时,f′(x)＜0,x∈(1,12a)时,f′(x)＞0,所以f(x)在（0,1）内单调递减,在(1,12a)内单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不符合题意.③当a=12,即12a=1时,f′(x)在（0,1）内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,所以当x∈(0,+∞)时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,不符合题意.④当a＞12时,0＜12a＜1,当x∈(12a,1)时,f′(x)＞0,f(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,f′(x)＜0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=1处取得极大值,符合题意.综上所述,实数a的取值范围是(12,+∞).方法归纳利用导数判断函数单调性的方法步骤（1）坚持定义域优先原则：确定函数f(x)的定义域,确定函数有意义;（2）计算函数的导函数并确定其零点与符号：求导函数f′(x),解导数方程和导数不等式,确定f′(x)在对应区间内的符号;（3）判断函数的单调性：若函数含有参数,需对参数进行分类讨论,分类讨论坚持不重不漏原则,由函数的单调性计算极值和最值,得出结论.迁移应用2.已知函数f(x)=lnx−12ax2+x,a∈R.（1）当a=0时,求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;（2）令g(x)=f(x)−(ax−1),求函数g(x)的极值.答案：（1）当a=0时,f(x)=lnx+x,则f(1)=1,所以切点为（1,1）.又f′(x)=1x+1,所以切线斜率k=f′（1）=2,故切线方程为y−1=2(x−1),即2x−y−1=0.（2）因为g(x)=f(x)−(ax−1)=lnx−12ax2+(1−a)x+1(x＞0),所以g′(x)=1x −ax+(1−a)=−ax2+(1−a)x+1x.当a≤0时,因为x＞0,所以g′(x)＞0, 所以g(x)在(0,+∞)上是增函数,无极值.当a＞0时,g′(x)=−a(x−1a)(x+1)x,令g′(x)=0,得x=1a或x=−1（舍去）,所以当x∈(0,1a )时,g′(x)＞0;当x∈(1a,+∞)时,g′(x)＜0,因此函数g(x)的单调递增区间是(0,1a ),单调递减区间是(1a,+∞),所以当x=1a 时,g(x)取得极大值,极大值为g(1a)=12a−lna.综上可知,当a≤0时,函数g(x)无极值;当a＞0时,函数g(x)有极大值12a−lna,无极小值.题型3 导数在函数零点问题中的应用例3（2021江苏南京高二检测）已知函数f(x)=te tx(t＞0),g(x)=lnx.（1）若f(x)的图象在x=0处的切线与g(x)的图象在x=1处的切线平行,求实数t的值; （2）设函数φ(x)=f(x)−g(x).①当t=1时,求证：φ(x)在定义域内有唯一极小值点x0,且φ(x0)∈(2,52);②若φ(x)恰有两个零点,求实数t的取值范围.答案：（1）f′(x)=t2e tx,g′(x)=1x,设f(x)的图象在x=0处的切线的斜率为k1=t2,g(x)的图象在x=1处的切线的斜率为k2=1,∵两切线平行,∴t2=1,解得t=±1,∵t＞0,∴t=1.（2）φ(x)=te tx−lnx.①证明：当t=1时,φ(x)=e x−lnx,φ′(x)=e x−1x,令ℎ(x)=e x−1x ,ℎ′(x)=e x+1x2＞0,∴ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增.又ℎ(12)=√e−2＜0,ℎ(1)=e−1＞0,∴存在唯一的x0∈(12,1)使ℎ(x0)=0,即e x0=1x0,x0=−lnx,当0＜x＜x0时,ℎ(x)<0,φ′(x)<0,φ(x)单调递减; 当x＞x0时,ℎ(x)>0,φ′(x)>0,φ(x)单调递增.∴φ(x)有唯一的极小值点x0,且φ(x0)=e x0−lnx0=1x0+x0∈(2,52).②当t≥1时,φ(x)=te tx−lnx≥e x−lnx>0,φ(x)无零点,舍去;当0＜t＜1时,令φ(x)=0⇒txe tx=xlnx=lnx⋅e lnx.令F(x)=xe x,F′(x)=(x+1)e x,∴F(x)在(−∞,−1)上单调递减;在(−1,+∞)上单调递增,且F(0)=0.当−1＜x ＜0 时,F(x)＜0 ,当x ＞0 时,F(x)＞0 ,且F(x) 单调递增, ∵F(tx)=F(lnx) 而tx ＞0,∴tx =lnx , 令G(x)=tx −lnx,G ′(x)=t −1x , 令G ′(x)=0 ,得x =1t ,且当0＜x ＜1t时,G ′(x)＜0,G(x) 单调递减;当x ＞1t 时,G ′(x)＞0,G(x) 单调递增.∴G(x)min =1−ln 1t , 要使G(x) 在(0,+∞) 上有两个零点,则1−ln 1t＜0⇒0＜t ＜1e,此时G(1)=t ＞0 ,G(1t2)=1t −ln1t 2＞1t −1t =0 , ∴G(x) 在(1,1t ) 和(1t ,1t 2) 上各有一个零点,此时0＜t ＜1e 成立.综上,实数t 的取值范围是(0,1e ) . 方法归纳1.函数的零点是函数图象与x 轴交点的横坐标,函数的零点与函数的单调性密不可分,判断函数的单调性,确定函数零点的个数是导数的重要应用之一.2.利用导数确定函数零点的方法步骤：（1）确定函数的定义域,求函数的导数,判断函数的单调性、极值和最值,结合函数图象确定函数零点的个数.（2）对于含有参数的函数零点的判断问题,通常需要对参数的取值范围进行分类讨论. 迁移应用3.已知函数f(x)=asin x −x +b （a,b 均为正实数）. （1）证明:函数f(x) 在（0,a +b] 内至少有一个零点;（2）设函数f(x) 在x =π3处有极值,对于一切x ∈[0,π2] ,不等式f(x)＞sin x +cos x 总成立,求实数b的取值范围.答案：（1）证明：∵f(0)=b ＞0,f(a +b)=asin(a +b)−(a +b)+b =a[sin(a +b)−1]≤0 , ∴f(0)⋅f(a +b)≤0 ,∴ 函数f(x) 在（0,a +b] 内至少有一个零点. （2）∵f(x)=asin x −x +b ,∴f ′(x)=acos x −1 .由题意得f ′(π3)=0 ,即acos π3−1=0 ,得a =2 ,则问题等价于b ＞x +cos x −sin x 对于一切x ∈[0,π2] 恒成立.记g(x)=x +cos x −sin x,x ∈[0,π2] ,则g ′(x)=1−sin x −cos x =1−√2sin(x +π4) . ∵0≤x ≤π2,∴π4≤x +π4≤3 π4,∴√22≤sin(x +π4)≤1 ,即1≤√2sin(x +π4)≤√2,∴g ′(x)≤0 ,即g(x) 在[0,π2] 上单调递减,∴g(x)max =g(0)=1. 故实数b 的取值范围是(1,+∞) .题型4 导数的实际应用例4 某地自来水苯超标,当地自来水公司对水质检测后,决定在水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为m 的药剂后,经过x 天该药剂在水中释放的浓度y （毫克/升）满足y =mf(x) ,其中f(x)={x 225+2,0＜x ≤5,x+192x−2,x ＞5. .当药剂在水中的浓度不低于5（毫克/升）时称为有效净化;当药剂在水中的浓度不低于5（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化.（1）如果投放的药剂的质量m =5 ,试问自来水达到有效净化一共可持续几天?（2）如果投放的药剂质量为m ,为了使在9天（从投放药剂算起包括第9天）之内的自来水达到最佳净化,试确定应该投放的药剂质量m 的最小值.答案：（1）当m =5 时,y ={x 25+10,0＜x ≤5,5x+952x−2,x ＞5.当0＜x ≤5 时,x 25+10≥5 ,显然符合题意; 当x ＞5 时,由5x+952x−2≥5 ,得5＜x ≤21 .综上可知,0＜x ≤21 ,所以自来水达到有效净化一共可持续21天. （2）y =mf(x)={mx 225+2m,0＜x ≤5,m(x+19)2x−2,x ＞5. 当0＜x ≤5 时,y =mx 225+2m 在（0,5] 上单调递增,所以2 m ＜y ≤3 m ;当x ＞5 时,y ′=−40m(2x−2)2＜0 ,所以函数y =m(x+19)(2x−2)在（5,9] 上单调递减,所以7 m 4≤y ＜3 m .综上可知,7 m 4≤y ≤3 m .为使5≤y ≤10 恒成立,只要{7m4≥5,3m ≤10, 解得207≤m ≤103,故应该投放的药剂质量m 的最小值为207. 方法归纳建立函数模型解题的方法步骤（1）认真审题:实际应用题文字叙述长,数量关系众多,所以首先要认真读题审题,理顺已知量、未知量与问题的联系,必要时可以将数量整理成简表的形式,便于分析数量之间的关系.（2）数学建模:明确实际问题对应的函数模型,确定定义域,将实际问题转化为数学问题.（3）求最优解:利用导数研究函数的单调性、极值和最值,得到目标函数的最值.（4）验证结果:验证数学问题的解是不是原实际问题的解.上述步骤用框图表示为迁移应用4.学校举行运动会需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128 dm 2 ,上、下两边各空2 dm ,左、右两边各空1 dm .如何设计海报的尺寸,才能使四周空白面积最小？答案：设版心的高为x dm ,则版心的宽为128x dm . 此时四周空白面积为s(x)=(x +4)⋅(128x+2)−128=2x +512x+8(x ＞0) ,求导数得s ′(x)=2−512x 2, 令s ′(x)=2−512x 2=0 ,解得x =16 或x =−16 （舍去）,于是版心的宽为128x=12816=8 ,当x ∈(0,16) 时,s ′(x)＜0 ;当x ∈(16,+∞) 时,s ′(x)＞0 ,因此,x =16 是函数s(x) 的极小值点,也是最小值点． 所以当版心高为16 dm ,宽为8 dm 时,能使四周空白面积最小．高考链接1.（2019全国课标Ⅱ,10,5分）曲线y =2 sin x +cos x 在点(π,−1) 处的切线方程为( ) A.x −y −π−1=0 B.2x −y −2 π−1=0 C.2x +y −2 π+1=0 D.x +y −π+1=0 答案： C解析：设y =f(x)=2 sin x +cos x ,则f ′(x)=2 cos x −sin x,∴f ′(π)=−2 , ∴ 曲线在点(π,−1) 处的切线方程为y −(−1)=−2(x −π) ,即2x +y −2 π+1=0 .故选C.2.（2018全国课标Ⅰ,5,5分）设函数f(x)=x 3+(a −1)x 2+ax .若f(x) 为奇函数,则曲线y =f(x) 在点（0,0）处的切线方程为( ) A.y =−2x B.y =−x C.y =2x D.y =x 答案：D解析：因为f(x) 为奇函数,所以f(−x)=−f(x) ,由此可得a =1 ,故f(x)=x 3+x , f ′(x)=3x 2+1,f ′ （0）=1,所以曲线y =f(x) 在点（0,0）处的切线方程为y =x . 3.（2020天津,3,5分）函数y =4xx 2+1 的图象大致为( )A. B.C. D.答案：A=−f(x),则函数f(x)为奇函数,其图象关于坐标原点对称,解析：由函数的解析式得f(−x)=−4xx2+1选项C,D错误;易知f(1)=2,排除B,故选A.4.（2019全国课标Ⅰ,13,5分）曲线y=3(x2+x)e x在点（0,0）处的切线方程为. 答案：y=3x解析：因为y′=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x=3(x2+3x+1)e x,所以曲线在点（0,0）处的切线的斜率k=y′|x=0=3,所以所求的切线方程为y=3x.5.（2020北京,15,5分）为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未的大小评达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用f(b)−f(a)b−a价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论：①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是.答案：①②③解析：设y=−f(b)−f(a)b−a,由已知条件可得甲、乙两个企业在[t1,t2]这段时间内污水治理能力强弱的数值计算式为−f(t2)−f(t1)t2−t1,由题图易知y甲＞y乙,即甲企业的污水治理能力比乙企业强,所以①对;由题意知在某一时刻企业污水治理能力的强弱由这一时刻的切线的斜率的绝对值表示,所以②对; 在t3时刻,由题图可知甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以③对;由计算式−f(b)−f(a)b−a可知,甲企业在[0,t1]这段时间内污水治理能力最弱,所以④错.6.（2018全国课标Ⅰ,16,5分）已知函数f(x)=2 sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是.答案：−3√32解析：解法一：因为f(x)=2 sin x+sin 2x,所以f′(x)=2 cos x+2 cos 2x=4 cos2x+2 cos x−2=4(cos x−12)(cos x+1),由f′(x)≥0得12≤cos x≤1,即2kπ−π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z,由f′(x)≤0得−1≤cos x≤12,即2kπ+π3≤x≤2kπ+π或2kπ−π≤x≤2kπ−π3,k∈Z,所以当x=2kπ−π3(k∈Z)时,f(x)取得最小值,且f(x)min=f(2kπ−π3)=2 sin(2kπ−π3)+sin 2(2kπ−π3)=−3√32.解法二：因为f(x)=2 sin x+sin 2x=2 sin x(1+cos x)=4 sin x2⋅cos x2⋅2 cos2x2=8 sin x2⋅cos3x2=√33 sin2x2cos6x2,所以[f(x)]2=643×3 sin2x2cos6x2≤643⋅(3 sin2x2+cos2x2+cos2x2+cos2x24)4=274，当且仅当3 sin2x2=cos2x2,即sin2x2=14时取等号,所以0≤[f(x)]2≤274,所以−3√32≤f(x)≤3√32,所以f(x)的最小值为−3√32.7.（2020新高考Ⅰ,21,12分）已知函数f(x)=ae x−1−lnx+lna.（1）当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; （2）若f(x)≥1,求a的取值范围.答案：（1）当a=e时,f(x)=e x−lnx+1,f′(x)=e x−1x,曲线在点(1,f(1))处的切线斜率k= f′=e−1.∵f(1)=e+1,∴切点坐标为(1,1+e),∴函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y−e−1=(e−1)(x−1),即y=(e−1)x+ 2,∴切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0,2),(−2e−1,0),∴所求三角形面积为12×2×|−2e−1|=2e−1.（2）解法一：由f(x)≥1得f(x)=ae x−1−lnx+lna=e lna+x−1−lnx+lna≥1, 不等式等价于e lna+x−1+lna+x−1≥lnx+x=e lnx+lnx,令g(x)=e x+x,上述不等式等价于g(lna+x−1)≥g(lnx),显然g(x)为单调增函数,∴不等式又等价于lna+x−1≥lnx,即lna≥lnx−x+1,令ℎ(x)=lnx−x+1,x＞0,则ℎ′(x)=1x −1=1−xx,在（0,1）上ℎ′(x)＞0,ℎ(x)单调递增;在(1,+∞)上ℎ′(x)＜0,ℎ(x)单调递减,∴ℎ(x)max=ℎ(1)=0, ∴lna≥0,即a≥1,∴a的取值范围是[1,+∞）.解法二：∵f(x)=ae x−1−lnx+lna,∴f′(x)=ae x−1−1x,且a＞0.设g(x)=f′(x),则g′(x)=ae x−1+1x2＞0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,即f′(x)在(0,+∞)上单调递增,当a=1时,f′=0,∴f(x)min=f(1)=1,∴f(x)≥1成立.当a＞1时,1a ＜1,∴e1a−1＜1,∴f′(1a)⋅f′(1)=a(e1a−1−1)(a−1)＜0,∴存在唯一的x0＞0,使得f′(x0)=ae x0−1−1x0=0,且当x∈(0,x0)时,f′(x)＜0,当x∈(x0,+∞)时,f′(x)＞0,∴ae x0−1=1x0,两边取自然对数,得lna+x0−1=−lnx0,因此f(x)min=f(x0)=ae x0−1−lnx0+lna=1x0+lna+x0−1+lna≥2 lna−1+2√1x0⋅x0=2 lna+1＞1,∴f(x)＞1,∴f(x)≥1恒成立.当0＜a＜1时,f(1)=a+lna＜a＜1,∴f(1)＜1,所以f(x)≥1不恒成立.综上所述,实数a的取值范围是[1,+∞).8.（2019全国课标Ⅱ,20,12分）已知函数f(x)=lnx−x+1x−1.（1）讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;（2）设x0是f(x)的一个零点,证明曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线y=e x的切线. 答案：（1）f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞) .因为f′(x)=1x +2(x−1)2＞0,所以f(x)在（0,1）和(1,+∞)上单调递增.因为f(e)=1−e+1e−1＜0,f(e2)=2−e2+1e−1=e2−3e2−1＞0,所以f(x)在(1,+∞)上有唯一零点x1,即f(x1)=0.又0＜1x1＜1,f(1x1)=−lnx1+x1+1x1−1=−f(x1)=0,故f(x)在（0,1）上有唯一零点1x1. 综上,f(x)有且仅有两个零点.（2）证明：因为1x0=e−lnx0,所以点B(−lnx0,1x0)在曲线y=e x上.由题设知f(x0)=0,即lnx0=x0+1x0−1,故直线AB的斜率k=1x0−lnx0−lnx0−x0=1x0−x0+1x0−1−x0+1x0−1−x0=1x0.又曲线y=e x在点B(−lnx0,1x0)处切线的斜率是1x0,曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处切线的斜率也是1x0,所以曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线y=e x的切线.。
数学高考复习名师精品教案：第103课时：第十三章 导数-导数小结
数学高考复习名师精品教案第103课时：第十三章 导数——导数小结课题：导数小结一．课前预习：1．设函数()f x 在0x x =处有导数，且1)()2(lim 000=∆-∆+→∆x x f x x f x ，则0()f x '=（C ） ()A 1 ()B 0 ()C 2 ()D 212．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下图（1）所示，则()y f x =的图象最有可能的是 （ D ）()A ()B ()C ()D3．若曲线3yx px q =++与x 轴相切，则,p q 之间的关系满足（ A ）()A 22(()032p q += ()B 23()(023p q +=()C 2230p q -= ()D 2230q p -= 4．已知函数23()2f x ax x =-的最大值不大于16，又当11[,42x ∈时，1()8f x ≥，则a =1． （1）5．若对任意3,()4,(1)1x R f x x f '∈==-，则()f x =42x -．四．例题分析：例1．若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,)+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围．解：2()1(1)[(1)]f x x ax a x x a '=-+-=---，令()0f x '=得1x =或1x a =-，∴当(1,4)x ∈时，()0f x '≤，当(6,)x ∈+∞时，()0f x '≥，∴416a ≤-≤，∴57a ≤≤．例2．已知函数3()f x ax cx d =++(0)a ≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-，（1）求()f x 的单调区间和极大值；（2）证明对任意12,(1,1)x x ∈-，不等式12|()()|4f x f x -<恒成立．解：（1）由奇函数的定义，应有)()(x f x f -=-，R x ∈，即d cx ax d cx ax ---=+--33，∴ 0=d ，∴cx ax x f +=3)(，∴c ax x f +='23)(，由条件2)1(-=f 为)(x f 的极值，必有0)1(='f ，故⎩⎨⎧=+-=+032c a c a ， 解得1=a ，3-=c ，∴x x x f 3)(3-=，)1)(1(333)(2-+=-='x x x x f ，∴0)1()1(='=-'f f ，当)1,(--∞∈x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在单调区间)1,(--∞上是增函数；当)1,1(-∈x 时，0)(<'x f ，故)(x f 在单调区间)1,1(-上是减函数；当),1(∞+∈x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在单调区间),1(∞+上是增函数，所以，)(x f 在1-=x 处取得极大值，极大值为2)1(=-f ．（2）由（1）知，x x x f 3)(3-=)]1,1[(-∈x 是减函数，且)(x f 在]1,1[-上的最大值2)1(=-=f M ，最小值2)1(-==f m ，所以，对任意的1x ，)1,1(2-∈x ，恒有4)2(2)()(21=--=-<-m M x f x f ．例3．设函数321()532ab f x x x x -=+++(,,0)a b R a ∈>的定义域为R ，当1x x =时，取得极大值；当2x x =时取得极小值，1||2x <且12||4x x -=．（1）求证：120x x >；（2）求证：22(1)164b a a -=+；（3）求实数b 的取值范围．（1）证明：2()(1)1f x ax b x '=+-+，由题意，2()(1)10f x ax b x '=+-+=的两根为12,x x ，∴1210x x a=>．（2）12||4x x -==，∴22(1)164b a a -=+． （3）①若102x <<，则10(2)4210b f a b ->⎧⎨'=+-<⎩， ∴412(1)a b +<-，从而222(41)4(1)4(164)a b a a +<-=+， 解得112a >或14a <-（舍） ∴42(1)3b ->，得13b <． ②若120x -<<，则10(2)4230b f a b -<⎧⎨'-=-+<⎩， ∴412(1)a b +<-，从而222(41)4(1)4(164)a b a a +<-=+， 解得112a >或14a <-（舍） ∴42(1)3b ->，∴53b >， 综上可得，b 的取值范围是15(,)(,)33-∞+∞ ．小结：本题主要考查导数、函数、不等式等基础知识，综合分析问题和解决问题的能力．五．课后作业：1．函数3223125y x x x =--+在[0,3]上的最大值与最小值分别是 （ ） ()A 5、15- ()B 5、4 ()C 4-、15- ()D 5、16-2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是 （ ）()A 在区间(,0)-∞内，)(x f 为增函数 ()B 在区间(0,2)内，)(x f 为减函数()C 在区间(2,)+∞内,)(x f 为增函数()D 在区间(,0)(2,)-∞+∞ 内)(x f 为增函数3．设)(x f 在0x x =处可导，且000(3)()lim 1x f x x f x x∆→-∆-=∆，则)(0x f '等于（ ） ()A 1 ()B 13- ()C 3- ()D 31 4．设对于任意的x ，都有0)(),()(0≠-=-'-=-k x f x f x f ，则0()f x '=（ ）()A k ()B k - ()C k 1 ()D k 1- 5．一物体运动方程是)/8.9(3120022s m g gt s =+=，则3=t 时物体的瞬时速度为 ．6．已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值．（1）讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；（2）过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程．7．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x （吨）与每吨的价格P （元/吨）之间的关系为21242005P x =-，且生产x 吨的成本为50000200R x =+元，问：该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入-成本）8．已知1,0b c >->，函数()f x x b =+的图象与函数2()g x x bx c =++的图象相切，（1）求,b c 的关系式（用c 表示b ）；（2）设函数()()()F x f x g x =在(,)-∞+∞内有极值点，求c 的取值范围．。
高二数学导数模块知识点总结(3篇)
高二数学导数模块知识点总结（3篇）高二数学导数模块知识点总结（精选3篇）高二数学导数模块知识点总结篇1导数：导数的意义-导数公式-导数应用(极值最值问题、曲线切线问题)1、导数的定义：在点处的导数记作：2、导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①=f/(_0)表示过曲线=f(_)上P(_0,f(_0))切线斜率。
V=s/(t)表示即时速度。
a=v/(t)表示加速度。
3、常见函数的导数公式:4、导数的四则运算法则：5、导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。
(2)求极值的步骤：①求导数;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。
导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。
学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧!导数是微积分中的重要基础概念。
当函数=f(_)的自变量_在一点_0上产生一个增量Δ_时，函数输出值的增量Δ与自变量增量Δ_的比值在Δ_趋于0时的极限a如果存在，a即为在_0处的导数，记作f(_0)或df(_0)/d_。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
江苏省铜山县高中数学 第一章 导数及其应用小结与复习(1)教案 新人教A版选修2-2
第一章 导数及其应用教学目的：提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力 授课类型：复习课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、知识点汇总： 1. 知识网络2.方法总结(1)导数的概念是本章学习的关键，它不但提供了一般的求导方法，并且常见函数的导数，函数的和、差、积、商的导数法则，复合函数的求导法则等都是由定义得出的；(2)导数的概念实质是函数值相对于自变量的变化率，是变量的变化速度在数学上的一种抽象； (3)在导数的定义中“比值xy∆∆叫做函数)(x f y =在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率”； (4)复合函数的求导，应分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解为基本初等函数或较简单寒暑，然后用复合函数求导法则求导；(5)用导数方法判别或证明函数在给定区间上的单调性，相对与定义法解决单调性问题是十分简捷的；(6)函数极值的确定，实际是建立在对函数单调性的认识基础上的；(7)在实际问题中，若函数只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较；(8)理解和掌握导数及其有关概念是本章学习的基础；会对简单的初等函数进行求导是本章的重点；会求一些实际问题的最大值与最小值是培养能力的关键．3.概念与公式(1)导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y=，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/(2)导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-(3)导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，(4)可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导(5)可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.(6)求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx y ∆=∆∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xy x ∆∆→∆0lim(7) 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x sin )'(cos -=(8)法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭(9)复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x(ϕ (x ))=f ′(u ) ϕ′(x ).(10)复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．(11)对数函数的导数： x x )'(ln =xx a a log 1)'(log = (12)指数函数的导数：x x e e =)'( a a a x x ln )'(=(13) 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数(14)用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间(15)极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点(16)极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点(17)极大值与极小值统称为极值（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点(18)判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值(19) 求函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f (x )在这个根处无极值(20)函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个(21)利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值二、讲解范例：例1设f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤>0 0 1sin 22x x x x x ，问f (x )在x =0的导数是否存在？解：.0lim 00lim )(lim 0200==--=---→→→x x x x f x x x011sin lim01sinlim)(lim 0200==-=+++→→→xx xx x x f x x x ∵f (x )在x =0处的左右导数相等， ∴f (x )在x =0处导数存在，且f ′(0)=0.例2 设a 、b 为常数,问a 、b 为何值时,函数f (x )=⎩⎨⎧>+≤<220 ln x b ax x x 在x =2处可导.解：2ln 21lim 22ln ln lim)(lim 222xx x x x f x x x -=--=---→→→ 22221221211lim ln(1)lim ln(1)ln 2222222x x x x x e x ---→→--=+=+==- 22ln 2)2(lim22ln lim)(lim 222--++-=--+=+++→→→x b a x a x b ax x f x x x )22ln 2(lim 2--++=+→x b a a x要使)22ln 2(lim 2--+++→x b a a x 存在.则2a +b －ln2=0， a x b a a x =--+++→)22ln 2(lim 2.∵f (x )在x =2处可导.∴⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=12ln 2102ln 221b a b a a 例3 求函数y =x 3－4x 2+3x +1的图象过横坐标为0和1的点处的切线间的夹角. 解：y ′=(x 3－4x 2+3x +1)′=3x 2－8x +3y ′|x =0=3，y ′|x =1=3－8+3=－2设x =0和x =1处的切线的倾斜角分别为α、β. ∴tan α=3>1=tan45°，45°<α<90° tan β=－1，90°<β<180° tan(β－α)=23)1(131tan tan 1tan tan =⨯-+--=+-αβαβ.∴β－α=arctan2(∵0°<β－α<90°) ∴切线间的夹角为arctan2. 例4求函数y =|x 3|的导数.解：y =⎩⎨⎧<-≥00 33x x x x∴当x >0时，y ′=(x 3)′=3x 2当x <0时，y ′=(－x 3)′=－3x 23322000000lim lim()0,lim lim 000x x x x x x x x x x --++→→→→---=-===-- ∵y =|x 3|在x =0左右两侧的导数相等 ∴y =|x 3|在x =0处可导且y ′|x =0=0∴y ′=⎪⎩⎪⎨⎧>=<-0 30 00322x x x x x三、课堂练习：1．已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x 0∈（a ，b ）则hh x f h x f n )()(000lim--+→ 的值为（ ）A.f ’(x 0)B.2 f’(x 0)C.-2 f’(x 0)D. 0 2.f(x)=ax 3+3x 2+2，若f’(-1)=4，则a 的值为（） A ．19/3 B.16/3 C.13/3 D. 10/33.设y=8x 2-lnx ，则此函数在区间(0,1/4)和(1/2,1)内分别为（） A ．单调递增，单调递减 B.单调递增，单调递增 C.单调递减，单调递增 D.单调递减，单调递减4.设y=tanx ，则y’=()A.sec 2x B.secx ·tanx C.1/(1+x 2) D.-1/(1+x 2)5.曲线y=x 3+x-2 在点P 0处的切线平行于直线y=4x-1，则点P 0点的坐标是（） A ．(0,1) B.(1,0) C.(-1,0) D.(1,4) 6.给出下列命题：(1)若函数f(x)=|x|，则f’(0)=0；(2)若函数f(x)=2x 2+1图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)，则xy∆∆=4+2Δx (3)加速度是动点位移函数S(t)对时间t 的导数； (4)y=2cosx+lgx ，则y’=-2cosx·sinx+x1 其中正确的命题有（ ）A. 0个B.1个C.2个D.3个7．y=x 2e x的单调递增区间是8．函数y=x+2cosx 在区间[0，21]上的最大值是 答案：1.B 2.D 3.C 4.A 5. B 6.B 7.(-∞,-2)与(0,+ ∞) 8.36+π四、小结 ：(1)导数的相关知识点；(2)求导数的一般公式和方法 五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记：。
人教版数学高二人教A版选修2-2第一章《导数及其应用》章末小结
章末小结知识点一导数的概念与几何意义求曲线的切线的方法求曲线的切线分两种情况(1)求点P(x0，y0)处的切线，该点在曲线上，且点是切点，切线斜率k ＝y′|x＝x0.(2)求过点P(x1，y1)的切线方程，此点在切线上不一定是切点，需设出切点(x0，y0)，求出切线斜率k＝y′|x＝x0，利用点斜式方程写出切线方程，再根据点在切线上求出切点坐标即可求出切线方程．已知函数y＝x3－x，求函数图象(1)在点(1，0)处的切线方程；(2)过点(1，0)的切线方程．解析：(1)函数y＝x3－x的图象在点(1，0)处的切线斜率为k＝y′|x＝1＝(3x2－1)|x＝1＝2，所以函数的图象在点(1，0)处的切线方程为y＝2x－2.(2)设函数y＝x3－x图象上切点的坐标为P(x0，x30－x0)，则切线斜率为k＝y′|x＝x0＝3x20－1，切线方程为y－(x30－x0)＝(3x20－1)(x－x0)，由于切线经过点(1，0)，所以0－(x30－x0)＝(3x20－1)(1－x0)，整理，得2x 30－3x 20＋1＝0，即2(x 30－1)－3(x 20－1)＝0，所以2(x 0－1)(x 20＋x 0＋1)－3(x 0＋1)(x 0－1)＝0， 所以(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， 解得x 0＝1或x 0＝－12.所以P (1，0)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，38，所以切线方程为y ＝2x －2或y ＝－14x ＋14.知识点二 导数与函数的单调性 求函数f (x )的单调区间的方法步骤 (1)确定函数f (x )的定义域； (2)计算函数f (x )的导数f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，得到函数f (x )的递增区间；解不等式f ′(x )<0，得到函数f (x )的递减区间．提醒：求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误．(2014·高考大纲卷)函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在区间(1，2)是增函数，求a 的取值范围． 解析：(1)因为函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x ， 所以f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3.令f ′(x )＝0，即3ax 2＋6x ＋3＝0，则Δ＝36(1－a )。
导数综合运算知识点总结
导数综合运算知识点总结一、导数的定义及意义：1. 导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记为f'(a)，定义为极限$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$其中f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的导数。
2. 导数的几何意义：函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的切线斜率。
也即在点x=a处，函数f(x)的变化率。
3. 导数的物理意义：如果函数f(x)表示某一物理量y关于另一物理量x的变化规律，那么函数f'(x)表示物理量y关于物理量x的变化率。
4. 导数的符号：函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)的符号表示函数f(x)在点x=a处的增减情况。
当f'(a)>0时，函数f(x)在点x=a处是增加的；当f'(a)<0时，函数f(x)在点x=a处是减小的；当f'(a)=0时，函数f(x)在点x=a处是不变的。
二、导数的运算法则：1. 基本导数法则：(常数函数规则、幂函数规则、指数函数规则、对数函数规则、三角函数规则、反三角函数规则、双曲函数规则)。
2. 复合函数的导数法则：函数f(g(x))的导数等于f'(g(x))g'(x)。
链式法则。
3. 反函数的导数法则：如果函数y=f(x)在区间I上单调、可导，并且在区间I上f'(x)≠0，则有反函数x=f^(-1)(y)在区间J上也可导，并且在区间J上f^(-1)'(y)=1/f'(f^(-1)(y))。
4. 参数方程的导数：如果x=f(t)、y=g(t)是参数方程，且函数f(t)、g(t)在t处可导，则参数方程x=f(t)、y=g(t)的导数dx/dt=f'(t)、dy/dt=g'(t)。
5. 隐函数的导数：若函数F(x，y)=0表示隐函数，且F(x,y)在点P(x0,y0)的邻域内具有连续偏导数，则隐函数y=f(x)的导数dy/dx可用偏导数表示：dy/dx=-∂F/∂x/∂F/∂y。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考对导数的考查形式多样，难易均有，可以在选择题和填空题中出现，主要以导数的运算，导数的几何意义，导数的应用为主(研究单调性、极值和最值等)；也容易在解答题中出现，有时候作为压轴题，考查导数的综合应用，主要以函数为背景，以导数为工具，考查运用导数研究函数的单调性、极值和最值问题，在函数、不等式、解析几何等知识网络交汇点命题．专题一利用导数研究函数的图象通过导数研究函数图象的变化规律，是考试的热点题型．导数绝对值的大小，反映了函数变化的快慢，在图象上表现为陡缓；导数的正负，反映了函数的增减性，在图象上表现为升降．y＝f(x)的导数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()分析：解答本题可以从导函数递增，即切线斜率越来越大入手分析．解析：因为函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )在区间[a ，b ]上是增函数，即在区间[a ，b ]上各点处函数的变化率是递增的，故图象应越来越陡峭．由图易知选A.答案：A专题二 导数几何意义的应用导数的几何意义主要应用在研究函数图象的切线问题中，此时关键是抓住切点，它是联结曲线和其切线的“桥梁”，在做题中若题中没有给出切点，往往需要设出切点．特别提醒：审题时注意两种说法：“在某点处的切线与”与“过某点的切线”不一样．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程． 解析：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∵直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，∵直线l 过点(0，0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16整理得：x 30＝－8，∴x 0＝－2.∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵切线与直线y ＝－x 4＋3垂直， ∴切线的斜率k ＝4.设切点坐标(x 0、y 0)、则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18. 即切点为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18.即y ＝4x －18或y ＝4x －14.专题三 利用导数研究函数单调性导数与函数的单调性相结合的常见问题：(1)判断单调性；(2)求函数的单调区间；(3)已知单调性，求参数的值．特别提醒：(1)要在定义域内求单调区间；单调区间不能“∪”连接．(2)已知单调性，求参数的值时，注意端点值的处理．函数f (x )＝ln x －a （x －1）x(x >0，a ∈R )． (1)试求f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求证：函数f (x )的图象存在唯一零点的充要条件是a ＝1.分析：解答(1)可以利用解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0得函数的单调区间；(2)可以从充分性与必要性两方面来证明．(1)解析：f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2(x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)，单调递增；当a >0时，x ∈(0，a )，f ′(x )<0，f (x )在(0，a )上单调递减；x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增．综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a >0时，f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．(2)证明：充分性：a ＝1时，由(1)知，在x ＝1处有极小值也是最小值，即f (x )min ＝f (1)＝0.而f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴在(0，＋∞)上有唯一的零点x ＝1.必要性：f (x )＝0在(0, ＋∞)上有唯一解，且a >0，由(1)知，在x ＝a 处有极小值也是最小值f (a )，f (a )＝0，即ln a －a ＋1＝0.令g (a )＝ln a －a ＋1，g ′(a )＝1a －1＝1－a a. 当0<a <1时，g ′(a )>0，g (a )在(0，1)上单调递增；当a >1时，g ′(a )<0，g (a )在(1，＋∞)上单调递减．∴在(0，＋∞) 上有唯一解a ＝1，使得g (a )＝0.专题四 利用导数研究函数的极值与最值利用导数求函数的极值和最值也是高考的热点内容之一，在主客观题中均有体现．(1)应用导数求函数极值的一般步骤：①确定函数f (x )的定义域；②解方程f ′(x )＝0的根；③检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号，若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值，若左负右正，则f (x )在此根外取得极小值，否则，此处不是f (x )极值点．(2)求函数f (x )在[a ，b ]上最值的步骤：①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．特别地：①当f (x )在[a ，b ]上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得；②当f (x )在(a ，b )内只有一个极值点时，若在这一点处f (x )有极大(或极小)值，则可以判定f (x )在该点处取得最大(最小)值，这里(a ，b )也可以是(－∞，＋∞)．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝kf (x ＋2)，其中常数k 为负数，且f (x )在区间 [0，2]上有表达式f (x )＝x (x －2)．(1)求f (－1)，f (2.5)的值；(2)写出f (x )在 [－3，3]上的表达式，并讨论函数f (x )在[－3，3]上的单调性；(3)求出f (x )在[－3，3]上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的值．解析：(1)f (－1)＝kf (－1＋2)＝kf (1)＝k ×1×(1－2)＝－k .∵f (0.5)＝kf (2.5)，∴f (2.5)＝1k f (0.5)＝1k ⎝⎛⎭⎫－34＝－34k. (2)∵f (x )＝x (x －2)，x ∈[0，2]，设－2≤x <0，则0≤x ＋2<2，∴f (x )＝kf (x ＋2)＝k (x ＋2)(x ＋2－2)＝kx (x ＋2)．设－3≤x <－2，则－1≤x ＋2<0，∴f (x )＝kf (x ＋2)＝k 2(x ＋2)(x ＋4)．设2<x ≤3，则0<x －2≤1.又∵f (x －2)＝kf (x )，∴f (x )＝1k f (x －2)＝1k(x －2)(x －4)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k 2（x ＋2）（x ＋4），－3≤x <－2，kx （x ＋2），－2≤x <0，x （x －2），0≤x ≤2，1k （x －2）（x －4），2<x ≤3.k <0，由二次函数知识得f (x )在[－3，－2]上是增函数，在[－2，－1]上是增函数，在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是减函数，在[1，2]上是增函数，在(2，3]上是增函数．(3)由函数f (x )在[－3，3]上的单调性可知，f (x )在x ＝－3或x ＝1处取得最小值f (－3)＝－k 2或f (1)＝－1，而在x ＝－1或x ＝3处取得最大值f (－1)＝－k 或f (3)＝－1k. 故有：①k <－1时，f (x )在x ＝－3处取得取小值f (－3)＝－k 2，在x ＝－1处取得最大值f (－1)＝－k .②k ＝－1时，f (x )在x ＝－3与x ＝1处取得最小值f (－3)＝f (1)＝－1，在x ＝－1与x ＝3处取得最大值f (－1)＝f (3)＝1.③－1<k <0时，f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝－1，在x ＝3处取得最大值f (3)＝－1k. 专题五 导数的综合应用导数是研究函数非常有用的工具，可以和许多考点相联系．(1)解决恒成立问题．(2)数形结合，研究函数的图象交点情况(方程根的个数问题)．已知函数f (x )＝13ax 3－bx 2＋(2－b )x ＋1在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值点且0<x 1<1<x 2<2.(1)证明a >0；(2)求z ＝a ＋2b 的取值范围．分析：已知函数的极值点，即知f ′(x )＝0的根及不等式f ′(x )>0的端点，从而可证明(1)：解答(2)可以把问题转化为线性规划，利用图解法．解析：f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b .(1)由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，知x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根．所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)，当x <x 1时，f (x )为增函数，f ′(x )>0，由x －x 1<0，x －x 2<0得a >0.(2)在题设下，0<x 1<1<x 2<2等价于⎩⎪⎨⎪⎧f ′（0）>0，f ′（1）<0，f ′（2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －2b ＋2－b <0，4a －4b ＋2－b >0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －3b ＋2<0，4a －5b ＋2>0.由不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线：2－b ＝0，a －3b ＋2＝0，4a －5b ＋2＝0所围成的ΔABC 的内部(如图所示)，其三个顶点分别为：A ⎝⎛⎭⎫47，67，B (2，2)，C (4，2)．z 在这三点的值依次为167，6，8. 所以z 取值范围⎝⎛⎭⎫167，8.专题六 生活中的导数导数在生活中的应用主要有：(1)利用导数的意义，可以解决瞬时变化率问题；(2)利用导数可以解决实际生活，生产中的优化问题．设某物体一天中的温度T 是时间t 的函数，T (t )＝at 3＋bt 2＋ct ＋d (a ≠0)，其中温度的单位是 ℃，时间的单位是小时．中午12：00相应的t ＝0，中午以后相应的t 取正数，中午12：00以前相应的t 取负数(如早上8：00相应的t ＝－4下午16：00相应的t ＝4)．若测得该物体在早上8：00的温度为8 ℃，中午12：00的温度为60 ℃，下午13：00的温度为58 ℃，且已知该物体的温度早上8：00与下午16：00具有相同的变化率．(1)求该物体的温度T 关于时间t 的函数关系式；(2)该物体在上午10：00到下午14：00这段时间(包括端点)何时温度最高？最高温度是多少？分析：本题函数关系式已经给出，只需确定其中的系数即可；解答(2)时可以利用导数求该函数的最值．解析：(1)因为T ′＝3at 2＋2bt ＋c ，而T ′(－4)＝T ′(4)，故48a －8b ＋c ＝48c ＋8b ＋c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧T （0）＝d ＝60，T （－4）＝－64a ＋16b －4c ＋d ＝8，T （1）＝a ＋b ＋c ＋d ＝58，48a ＋8b ＋c ＝48a －8b ＋c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－3，d ＝60.∴T (t )＝t 3－3t ＋60(－12≤t ≤12)．(2)在上午11：00与下午14：00，该物体温度最高，最高温度是62 ℃.。