二次函数压轴存在性之角度
中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习(含答案解析)
中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习（含答案解析）一．相似三角形的存在性1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴的交点为C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x 轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）如图：∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OB＝OC＝4，∴△BOC是等腰直角三角形，∵△PMN和△OBC相似，∴△PMN是等腰直角三角形，∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，∴∠MPN＝90°，PM＝PN，设P（m，m2﹣m﹣4），∴|m﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，∴m﹣1＝m2﹣m﹣4或m﹣1＝﹣m2+m+4，解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，∴P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．2．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A（﹣1，0），∴B（3，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入抛物线的解析式，则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：∵∠APB+∠ACB＝180°，∴∠CAP+∠CBP＝180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，由（1）知，OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠APC＝∠ABC＝45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP＝OA＝1，∴P（0，﹣1）．（3）存在，理由如下：由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∴D（1，4），由抛物线的对称性可知，E（2，3），∵A（﹣1，0），∴AD＝2，DE＝，AE＝3．∴AD2＝DE2+AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．∵点M在直线l下方的抛物线上，∴设M（t，﹣t2+2t+3），则t＞2或t＜0．∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，若△MEF与△ADE相似，则EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或（舍）或﹣，∴M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．3．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+c与y 轴交于点P（0，4）．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4），∴c＝4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；（2）△BCQ是直角三角形．理由如下：将抛物线y＝﹣x2+4向左平移1个单位长度，得新抛物线y＝﹣（x+1）2+4，∴平移后的抛物线顶点为Q（﹣1，4），令x＝0，得y＝﹣1+4＝3，∴C（0，3），令y＝0，得﹣（x+1）2+4＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0），A（1，0），如图1，连接BQ，CQ，PQ，∵P（0，4），Q（﹣1，4），∴PQ⊥y轴，PQ＝1，∵CP＝4﹣3＝1，∴PQ＝CP，∠CPQ＝90°，∴△CPQ是等腰直角三角形，∴∠PCQ＝45°，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠BCQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△BCQ是直角三角形．（3）在x轴上存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似．∵△ABC是锐角三角形，∠ABC＝45°，∴以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，必须∠NBT＝∠ABC＝45°，即点T在y轴的右侧，设T（x，0），且x＞0，则BT＝x+3，∵B（﹣3，0），A（1，0），C（0，3），∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝3，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x+3，由，解得：，，∴M（﹣，），N（，），∴BN＝×＝，①当△NBT∽△CBA时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；②当△NBT∽△ABC时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；综上所述，点T的坐标T（，0）或（，0）．（4）抛物线y＝﹣x2+4的顶点为P（0，4），∵直线BC的解析式为y＝x+3，∴直线BC与y轴的夹角为45°，当抛物线沿着垂直直线BC的方向平移到只有1个公共点时，平移距离最小，此时向右和向下平移距离相等，设平移后的抛物线的顶点为P′（t，4﹣t），则平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+4﹣t，由﹣（x﹣t）2+4﹣t＝x+3，整理得：x2+（1﹣2t）x+t2+t﹣1＝0，∵平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点，∴Δ＝（1﹣2t）2﹣4（t2+t﹣1）＝0，解得：t＝，∴平移后的抛物线的顶点为P′（，），平移的最短距离为．二．直角三角形的存在性4．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C 坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB为直角三角形，请求出点P 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）存在．理由：如图1中，设D （t ，t 2+t ﹣4），连接OD ．令y ＝0，则x 2+x ﹣4＝0，解得x ＝﹣4或2，∴A （﹣4，0），C （2，0），∵B （0，﹣4），∴OA ＝OB ＝4，∵S △ABD ＝S △AOD +S △OBD ﹣S △AOB ＝×4×（﹣﹣t +4）+×4×（﹣t ）﹣×4×4＝﹣t 2﹣4t ＝﹣（t +2）2+4，∵﹣1＜0，∴t ＝﹣2时，△ABD 的面积最大，最大值为4，此时D （﹣2，﹣4）； （3）如图2中，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，过点B 作BM ⊥抛物线的对称轴于点M ．则N （﹣1.0）．M （﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．5．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC 于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣3x+4；（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+4，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），∴DH＝﹣n2﹣4n，∵DH∥OC，∴＝＝，∵OC＝4，∴DH＝3，∴﹣n2﹣4n＝3，解得n＝﹣1或n＝﹣3，∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝90°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，∵∠DOF＝45°，∴DF＝DO，∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，∴∠NDO＝∠MFD，∴△MDF≌△NOD（AAS），∴DM＝ON，MF＝DN，∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，∴D点纵坐标为2，∴﹣x2﹣3x+4＝2，解得x＝或x＝，∴D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，∴∠LFO＝∠KDF，∵DF＝FO，∴△KDF≌△LFO（AAS），∴KD＝FL，KF＝LO，∴KL＝t+4﹣t＝4，∴D点纵坐标为4，∴﹣x2﹣3x+4＝4，解得x＝0或x＝﹣3，∴D（0，4）或（﹣3，4）；综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．三．等腰三角形的存在性6．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）证明：∵正方形OBDC，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF；（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，3），①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，∴∠FDM为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴DF＝DM，∴∠M＝∠DFM，∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，∵BM∥OC，∴∠M＝∠MOC，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，∴∠M＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；②如图，当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴MF＝DM，∴∠BDF＝∠MFD，∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BMO＝2∠BOM，∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，∴∠BOM＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．7．（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P 运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：8k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4；（2）过C作CG⊥PD于G，如图：设P（m，﹣m2+m+4），∴PD＝﹣m2+m+4，∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴PG＝PD﹣DG＝﹣m2+m+4﹣4＝﹣m2+m，∵CP＝CE，CG⊥PD，∴GE＝PG＝﹣m2+m，∵∠GCE＝∠OBC，∠CGE＝90°＝∠BOC，∴△CGE∽△BOC，∴＝，即＝，解得m＝0（舍去）或m＝4，∴P（4，6）；（3）存在点P，使得CE＝FD，理由如下：过C作CH⊥PD于H，如图：设P（m，﹣m2+m+4），由A（﹣2，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝2x+4，根据PF∥AC，设直线PF解析式为y＝2x+b，将P（m，﹣m2+m+4）代入得：﹣m2+m+4＝2m+b，∴b＝﹣m2﹣m+4，∴直线PF解析式为y＝2x﹣m2﹣m+4，令x＝0得y＝﹣m2﹣m+4，∴F（0，﹣m2﹣m+4），∴OF＝|﹣m2﹣m+4|，同（2）可得四边形CODH是矩形，∴CH＝OD，∵CE＝FD，∴Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），∴∠HCE＝∠FDO，∵∠HCE＝∠CBO，∴∠FDO＝∠CBO，∴tan∠FDO＝tan∠CBO，∴＝，即＝，∴﹣m2﹣m+4＝m或﹣m2﹣m+4＝﹣m，解得m＝2﹣2或m＝﹣2﹣2或m＝4或m＝﹣4，∵P在第一象限，∴m＝2﹣2或m＝4．8．（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CB交对称轴于点Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B关于对称轴x＝1对称，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，∴M点与A点重合，∴M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH 交于H，过点M作MG⊥HG交于G，∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），∵M点在对称轴的左侧，∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；如图2，当P点在M点下方时，同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）；综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．9．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE 内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE ＝S△OPG+S△EPG＝PG•AE＝×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，△OPE面积最大，此时，P点坐标为（，﹣）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则E（3，3），∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝（舍）或，∴P的坐标为（，）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1＝（舍）或m2＝，∴P的坐标为（，）；③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1＝或m2＝（舍）；P的坐标为（，）；④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m＝或（舍），P的坐标为：（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．方法二：作直线DE：y＝x﹣2，E（1，﹣1）是D点（2，0）绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小倍得到，易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°，且到O点距离缩小倍的轨迹，联立直线DE和抛物线解析式得x2﹣4x+3＝x﹣2，解得x1＝，x2＝，同理可得x3＝或x4＝；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．10．（2023•澄城县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C（0，3），直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在对称轴l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）、点C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得．解得．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．则该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．故设M（1，m）．∵A（﹣1，0）、点C（0，3），∴AC2＝10，AM2＝4+m2，CM2＝1+（m﹣3）2．①若AC＝AM时，10＝4+m2，解得m＝±．∴点M的坐标为（1，）或（1，﹣）；②若AC＝CM时，10＝1+（m﹣3）2，解得m＝0或m＝6，∴点M的坐标为（1，0）或（1，6）．当点M的坐标为（1，6）时，点A、C、M共线，∴点M的坐标为（1，0）；③当AM＝CM时，4+m2＝1+（m﹣3）2，解得m＝1，∴点M的坐标为（1，1）．综上所述，符合条件的点M的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，0）或（1，1）．11．（2023•碑林区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，∴a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+2；（2）∵BM＝5﹣2t，∴M（2t﹣1，0），设P（2t﹣1，m），∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，∵PB＝PC，∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，∴m＝4t﹣5，∴P（2t﹣1，4t﹣5），∵PC⊥PB，∴×＝﹣1，∴t＝1或t＝2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）．12．（2023•东洲区模拟）抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴正半轴交于点C．（1）求此抛物线解析式；（2）如图①，连接BC，点P为抛物线第一象限上一点，设点P的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S最大时P点坐标；（3）如图②，连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，设BC直线解析式为：y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴y＝﹣x+3，由题意可知P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），S＝S△PBE+S△PCE，S＝PE•OB＝（﹣m2+2m+3+m﹣3）×3，，∵，∴当时，S有最大值，此时P点坐标为；（3）存在，M1（1，0），，，M4（1，1），①当AC＝AM时，如图，设对称轴l与AB交于点E，则，∵AM2＝AE2+EM2，∴，解得：，∴M点的坐标为或，②当AC＝MC时，则OC为AM的垂直平分线．因此M与E重合，因此，M点的坐标为（1，0），③当AM＝CM时，如图，设M点的坐标为（1，n），则AM2＝22+n2＝4+n2，CM2＝12+（3﹣n）2，∴4+n2＝12+（3﹣n）2，解得：n＝1，∴M点的坐标为（1，1），综上可知，潢足条件的M点共四个，其坐标为M1（1，0），，，M4（1，1）．13．（2023•三亚一模）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC 与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）求四边形ABDC的面积；（3）P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC ＝S△ABC时，求点P的坐标；（4）在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）过点A（﹣2，0）和C（0，8），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+8．令y＝0，得．解得x1＝﹣2，x2＝8．∴点B的坐标为（8，0）．设直线BC的解析式为y＝kx+b．把点B（8，0），C（0，8）分别代入y＝kx+b，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8．（2）如图1，设抛物线的对称轴l与x轴交于点H．∵抛物线的解析式为，∴顶点D的坐标为．∴S四边形ABDC ＝S△AOC+S梯形OCDH+S△BDH＝＝＝70．（3）∵．∴．如图2，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F．设点．∵点F在直线BC上，∴F（t，﹣t+8）．∴．∴．∴．解得t1＝2，t2＝6．∴点P的坐标为（2，12）或P（6，8）．（4）存在．∵△BEM为等腰三角形，∴BM＝EM或BE＝BM或BE＝EM，设M（3，m），∵B（8，0），E（3，5），∴BE＝＝5，EM＝|m﹣5|，BM＝＝，当BM＝EM时，＝|m﹣5|，∴m2+25＝（m﹣5）2，解得：m＝0，∴M（3，0）；当BE＝BM时，5＝，∴m2+25＝50，解得：m＝﹣5或m＝5（舍去），∴M（3，﹣5）；当BE＝EM时，5＝|m﹣5|，解得：m＝5+5或m＝5﹣5，∴M（3，5+5）或（3，5﹣5），综上所述，点M的坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，5﹣5）．14．（2023•南海区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a ＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC 于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，得，解得，∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＝0时，y＝3，∴C（0，﹣3），∵B（3，0），∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PN∥y轴，∴∠MNP＝45°，∵PM⊥BC，∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，设BC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴BC解析式为y＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，∴P（，），故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，∵∠CEQ＝90°，∴∠QEM+∠CEN＝90°，∵∠QEM+∠MQE＝90°，∴∠EQM＝∠CEN，∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，∴△EMQ≌△CNE（AAS），∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，∴|x Q|+MQ＝CN，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣2，x＝3（舍去），∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），②如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），④如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）41。
二次函数压轴题之等角存在性
构造相等角除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是今年二次函数压轴题中常见的题型，根据题目给的不同的条件，选择恰当的方式去构造相等角，是此类问题的关键．回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下： （1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等； （2）角平分线：角平分线分的两个角相等； （3）等腰三角形：等边对等角； （4）全等（相似）三角形：对应角相等；（5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等； （6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．也许还有，但大部分应该都在此了，同样，在抛物线背景下亦可用如下思路构造相等角．圆周角定理：∠1=∠221三角函数：若tan ∠1=tan ∠2，则∠1=∠212全等三角形：∠1=∠212等腰三角形：∠1=∠212角平分线：∠1=∠212平行：∠1=∠3，∠2=∠3321想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值，因此在以上6种方案当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角．选择较多未必是好事，挑出关键性条件确定恰当方法才是更重要的~【2017来宾中考删减】如图，已知抛物线过点A （4，0），B （-2，0），C （0，-4）． （1）求抛物线的解析式；（2）点C 和点1C 关于抛物线的对称轴对称，点P 在抛物线上，且1PAB CAC ∠=∠，求点P的横坐标．【分析】 （1）抛物线：2142y x x =--； （2）由题意得：1C 坐标为（2，-4），考虑到A 、C 、1C 三点坐标均已知，故可求1CAC ∠的三角函数值． 思路1：构造直角三角形过点1C 作1C H ⊥AC 交AC 于H 点，不难求得H 点坐标为（1，3），故1HC =HA =∴11tan 3CAC ∠=，则1tan 3PAB ∠=．转化“1tan 3PAB ∠=”为“13PA k =”，即13PA k =±．①当13PA k =时，设P A 解析式为13y x b =+，将A （4，0）代入，得：1433y x =-，联立方程：21144233x x x --=-，解得：14x =，243x =-，故1P 坐标为416,39⎛⎫-- ⎪⎝⎭； ②当13PA k =-时，设P A 解析式为13y x b =-+，将A （4，0）代入，得：1433y x =-+，联立方程：21144233x x x --=-+，解得：14x =，283x =-，故2P 坐标为820,39⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上所述，P 点坐标为43-或83-．思路2：发现特殊角．如图构造等腰直角三角形AMC ，易解M 点坐标为（4，-4）， 故△AMC 是等腰直角三角形．∠MAC =45°， 考虑11tan 2MAC ∠=，可知11tan 3CAC ∠=， 下同思路1求解P 点坐标．【2019德州中考删减】如图，抛物线2542y mx mx =--与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，与y 轴交于点C ，且21112x x -=． （1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上一点D （1，-5），直线BD 与y 轴交于点E ，动点M 在线段BD 上，当∠BDC =∠MCE 时，求点M 的坐标．【分析】（1）21112x x -==，解得：23m =． 抛物线：225433y m m =--．（2）思路：化角度正切值为“k ”令2254033m m --=，解得：132m =-，24m =， 即A 点坐标为3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 点坐标为（4，0）．考虑C （0，-4）、D （1，-5），连接BC ，易证△BCD 是直角三角形，tan 4BC BDC CD ∠===， 若∠MCE =∠BDC ，则tan ∠MCE =4，14CE k =． 设CE 解析式为：144y x =--，又BD 解析式为：52033y x =-，联立方程：15204433x x --=-，解得：3223x =，故M 点坐标为32100,2323⎛⎫- ⎪⎝⎭．【2018娄底中考】如图，抛物线2y ax bx c =++与两坐标轴相交于点A （-1，0）、B （3，0）、C （0，3），D 是抛物线的顶点，E 是线段AB 的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D 点的坐标； （2）F （x ，y ）是抛物线上的动点：①当x >1，y >0时，求△BDF 的面积的最大值； ②当∠AEF =∠DBE 时，求点F 的坐标．【分析】（1）抛物线：223y x x =-++，D 点坐标为（1，4）；（2）①铅垂法可解，当F 坐标为（2，3）时，△BDF 面积最大，最大值为1；②思路1：构造平行线．考虑到A 、E 、B 三点均在x 轴上，故可构造EF ∥BD 即可得角相等．FFOA B C DExy F过点E 作EF ∥BD 交抛物线与F 点， 考虑到BD 解析式：26y x =-+， 故可求EF 的解析式为：22y x =-+， 联立方程：22322x x x -++=-+，解得：12x =22x =+．故F点坐标为(22-+．将EF 作关于x 轴的对称，如图，交点亦为满足条件的F 点，x且翻折后的直线解析式为：22y x =-， 联立方程：22322x xx -++=-，解得：1x =2x =． 故F 点坐标为()2-．综上，F 点坐标为(22-+或()2-．思路2：三角函数值．设F 点坐标为()2,23m m m -++，过F 点作FH ⊥x 轴交x 轴于H 点，则H 点坐标为(),0m ，223FH m m =-++，1EH m =-，222323tan 211m m FH m m AEF EH m m -++--∠====--解得：12x =22x =+，3x =4x =． 故F 点坐标为(22-+或()2-．【2019海南中考】如图，已知抛物线25y ax bx =++经过A （-5，0），B （-4，-3）两点，与x 轴的另一个交点为C ，顶点为D ，连结CD ． （1）求该抛物线的表达式；（2）点P 为该抛物线上一动点（与点B 、C 不重合），设点P 的横坐标为t ．该抛物线上是否存在点P ，使得∠PBC =∠BCD ？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线：265y x x =++；（2）①当点P 在直线BC 上方时，如图，过点B 作DC 的平行线，与抛物线交点即为P 点， 不难求得直线BP 解析式为：25y x =+，联立方程：26525x x x ++=+，解得：14x =-，20x =， 故P 点坐标为（0，5）．②当点P在直线BC下方时，思路1：利用三角函数值．连接BD，可得BD⊥BC，可得1 tan3BCD∠=，若∠PBC=∠BCD，则需满足1 tan3PBC∠=，但鉴于BC并非水平或竖直直线，故1tan3PBC∠=这个条件并不好用．考虑到B、C点坐标的特殊性，可以发现，过点B作BM⊥x轴，易得△BMC是等腰直角三角形，即有∠MBC=∠MCB，可转化问题“∠PBC=∠BCD”为“∠PBC+∠CBM=∠BCD+∠BCM”，即∠PBM=∠DCM．由题意得：tan2DCM∠=，故tan2PBM∠=，转化为直线BP的条件即为“12BPk=”，可得直线BP解析式为：112y x=-，联立方程：21 6512x x x++=-，解得：14x=-，23 2x=-．故P点坐标为37,24⎛⎫--⎪⎝⎭．综上所述，P点坐标为（0，5）或37,24⎛⎫--⎪⎝⎭．思路2：构造对称．不难发现，情况①中的直线BP和情况②中的直线BP是关于直线BC对称，故两个BP的k相乘为1，可知情况②中的12BPk=．可知BP解析式：112y x=-．同思路1求得P点坐标．【2017丹东中考删减】如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的一边AB 在x 轴上，∠ABC =90°，点C （4，8）在第一象限内，AC 与y 轴交于点E ，抛物线234y x bx c =++经过A 、B 两点，与y 轴交于点D （0，-6）．（1）请直接写出抛物线的表达式；（2）若点M 是x 轴上一点（不与点A 重合），抛物线上是否存在点N ，使CAN MAN ∠=∠．若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．备用图【分析】 （1）抛物线：233642y x x =--； （2）思路：角平分线构造相等角①当M 点在A 点右边时，作∠CAM 角平分线，与抛物线交点即为所求N 点．令2336042x x --=，解得：14x =，22x =-， 故A 点坐标为（-2，0），AN =6，BC =8． 即4tan 3CAB ∠=，根据特殊角的结果，可得11tan tan 22NAB CAB ∠=∠=， 故直线AN 解析式为：112y x =+， 联立方程：233161422x x x --=+，解得：12x =-，2143x =， 故N 点坐标为1410,33⎛⎫⎪⎝⎭．②当M 点在A 点左边时，作∠CAM 角平分线，其所在直线与抛物线交点即为所求N 点． 由题意可知此时AN 与情况①中的角平分线互相垂直， 可知AN 解析式：24y x =--，联立方程：23362442x x x --=--，解得：12x =-，243x =，故N 点坐标为420,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上所述，N 点坐标为1410,33⎛⎫ ⎪⎝⎭、420,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．构造等腰三角形：等边对等角 【2018玉林中考删减】如图，直线y =-3x +3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线2y x bx c =-++与直线y =c 分别交y 轴的正半轴于点C 和第一象限的点P ，连接PB ，得△PCB ≌△BOA （O 为坐标原点）．若抛物线与x 轴正半轴交点为点F ，设M 是点C ，F 间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m ．（1）直接写出点P 的坐标和抛物线的解析式； （2）求满足∠MPO =∠POA 的点M 的坐标．【分析】（1）P （3，4），抛物线：234y x x =-++； （2）当M 点在C 、P 之间的抛物线上时，思路：构造平行 M 点在C 点位置时，PM ∥OA ，有∠MPO =∠POA ， 此时M 点坐标为（0，4）；当M 点在P 、F 之间的抛物线上时， 思路：构造等腰三角形 延长PM 与x 轴交于点N ，若∠MPO =∠POA ，则△OPN 为等腰三角形，其中NP =NO， 设N 点坐标为（n ，0）， 则NO =n ，NP =，当NO =NP 时，即n =解得：256n =， 直线PN 解析式为：2410077y x =-+， 联立方程：2241002377x x x -++=-+， 解得：13x =，2247x =． 故M 点坐标为24124,749⎛⎫⎪⎝⎭．综上所述，M 点坐标为（0，4）或24124,749⎛⎫⎪⎝⎭．【2019泰安中考删减】若二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴、y 轴分别交于点A （3，0）、B （0，-2），且过点C （2，-2）．（1）求二次函数表达式；（2）在抛物线上（AB 下方）是否存在点M ，使∠ABO =∠ABM ？若存在，求出点M 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由．【分析】 （1）抛物线：224233y x x =--； （2）考虑到3tan 2ABO ∠=，但tan2ABO ∠并不可求，以及AB 平分∠OBM 也并不容易转化，故考虑其他思路． 思路1：构造全等三角形．作△AOB 关于AB 的对称的△ANB ，BN 与抛物线的交点即为M 点． 求N 点坐标：构造△AEN ∽△NFB ，不难解得N 点坐标为2436,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭．故直线BN 解析式为：5212y x =--， 联立方程：2245223312x x x --=--，解得：10x =，2118x =． 即M 点横坐标为118，故M 点到y 轴的距离为118．思路2：构造等腰三角形考虑直接分析∠ABO=∠ABM并不容易，可寻找与∠ABO的相等角．过点A作AH⊥x轴，延长BM与AH交于H点，则∠BAH=∠ABO=∠ABH，△ABH是等腰三角形，即AH=BH，设H点坐标为（3，m），则AH=-m，BH=令m-=134m=-．故H点坐标为13 3,4⎛⎫-⎪⎝⎭．由B、H两点坐标求直线BH解析式：5212y x=--，下同思路1，可求M点横坐标为118．如图，已知点A （-1，0），B （3，0），C （0，1）在抛物线2y ax bx c =++上． （1）求抛物线解析式；（2）在x 轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q ，使∠BQC =∠BAC ？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）抛物线：212133y x x =-++；（2）思路：圆周角定理，构造辅助圆考虑到∠BAC 和∠BQC 所对的边均为BC ，故构造△ABC 的外接圆，与该抛物线对称轴的交点即为Q 点．△ABC 外接圆圆心记为M 点，则M 在线段AB 的垂直平分线上， 即M 点在抛物线的对称轴上，设M 点坐标为（1，m ）， 根据MA =MC，解得：m =-1，故M 点坐标为（1，-1）， 圆M故MQ =∴Q 点坐标为(1,1-．根据题意要求，Q 点x 轴下方且在抛物线对称轴上，故仅此一点．如图，直线y =-x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，抛物线2y x bx c =-++经过点B 、C ，与x 轴另一交点为A ，顶点为D ． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得∠APB =∠OCB ？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线：223y x x =-++；（2）由点坐标可知：∠OCB =45°，故P 点需满足∠APB =45°，思路1：构造辅助圆．过点A 作AM ⊥BC 交BC 于M 点，以M 点为圆心，MA 为半径作圆，与对称轴的交点即为所求P 点．易求M 点坐标为（1，2），且= ∴P 点坐标为(1,2+．此外在x 轴的下方还有一个对称的P点(1,2--． 综上所述，P 点坐标为(1,2+或(1,2--．思路2：利用特殊角的三角函数．考虑到P 点在对称轴上且A 、B 两点距离对称轴距离相等，故对称轴即∠APB 的角平分线，∴22.5APE BPE ∠=∠=︒考虑tan 22.51︒，即AEPE故2PE ==，故P 点坐标为()2．同理在x 轴的下方还有一对称的点P，坐标为(1,2--． 综上所述，P 点坐标为(1,2+或(1,2--．。
中考数学倒计时30：二次函数压轴的十几种问题方法思路总结
中考数学倒计时30：二次函数压轴的十几种问题方法思路总结二次函数压轴题当中，同学们会遇到各种各样的解答问题，那么最常见的那些，今天就带同学们一块总结一下，方便大家记忆解题方法。
我们只说一下方法，过程就不再详细说了，在以前的题目中都有过程。
1.首先是最简单的一种问题，给定两个固定点，然后在对称轴或者抛物线上找一点，使得该点和两个固定点组成的两个线段之和最小，即线段和最小值问题，遇到该种问题，一般直接找某个固定点关于某直线的对称点，然后寻找三点共线时的动点；2.线段和基础上延续而来的三角形或四边形周长最小值问题，同样会出现固定的点，那么就会有固定的边长，所以只需要找到另外的边长之和最小，同样使用找对称点的方法；3.垂直于x轴的一条直线，被抛物线和直线截取的两端线段之间的关系，如最大差值，或者相等、2倍关系。
最大差值问题需要找到该垂线与抛物线和直线的两个交点的纵坐标，利用纵坐标表示的线段来进行线段差的计算，将会得到另一种二次函数，那么进行配方变顶点式，得到差值的最大值；而线段倍数关系则相对更简单，只需要表示出两线段的长度，利用倍数关系建立方程即可；（注意纵坐标的正负未知，所以表示出的线段加上绝对值符号，如此就能避免遗漏一些情况）4.动点和两固定点组成的三角形面积最大值问题，该问题一般会在一段局限的图像上找一点，和其他两个固定点组成三角形，求三角形面积最大，只需要对固定点所在的直线进行平移，使平移后的直线与抛物线只要一个交点，利用判别式=0求出平移距离，从而解出交点坐标；如果要求三角形面积，一般利用面积分割法进行计算，如果有一边在轴上就会更简单；5.四边形面积最大值问题：和三角形面积类似，一般会有三个已定的点，那么就有一个固定的三角形，所以只需要动点和其中相邻的两个定点组成的三角形面积最大即可，同样使用直线平移法求出点的坐标即可；而面积同样利用面积分割法求取；6.直角三角形的存在性：一个动点和两个定点的情况，可以直接利用勾股定理求出动点的坐标；如果是两个动点，一个定点，则可利用直线垂直法，注意利用三角函数去推；同时还要注意情况讨论，三个角可能有不同情况的直角；7.等腰三角形的存在性：和直角三角形类似，包含情况讨论，如果是两个定点和一个动点，那么利用线段长相等解得动点坐标即可；如果是两个动点和一个定点，利用底边中线和底边垂直的性质，使用直线垂直法解得；8.平行四边形存在性：平行四边形对边相等，这本就是一个有利条件，所以一般利用平行且相等的两个线段来寻找；如果是菱形，只需要在平行四边形基础上加上临边相等或者对角线垂直来求解；9.正方形的存在性：一般来说正方形就比较特殊了，所以相对的有利条件也比较多，所以求解会更容易些；10.整数坐标点的存在性：该问题并不是很常见，一般在较难的压轴题中才会出现，在一个范围内寻找符合条件的动点，但前提是坐标需要是整数，所以需要找到横纵坐标的范围，在范围内去求解；11.由动点形成的整数面积问题：例如一个动点和两个定点组成的三角形面积，要求面积为整数，需要先利用平移法找到最大面积的值，然后在范围内寻找面积取整时的动点位置或者个数有多少，需要注意的是只有最大面积时的动点是一个，若无限定条件，其他整数面积时的动点则会同时出现两个，所以同学们不要忽略了；12.全等、相似三角形问题：二次函数中的全等、相似问题有时候简单有时候较难，所以要看运气如何，如果给定了对应点则还好点，如果题中只是说让两个三角形全等或相似，并未给出△∽/≌△这种形式，那么就要考虑多种情况存在了，尤其是在相似问题中，情况讨论较多，所以寻找角是很重要的，但一般又不会出现度数，所以这个时候同学们千万不要忘记三角函数；13.特殊点的存在性：类似什么共谐点、好点，遇到这类问题，一般会直接让写出答案，所以同学们在草纸上可以利用各种技巧性方法进行计算，类似一些高中的可用知识“直线垂直”“点到直线的距离”“两直线的夹角”等，没事可以先看看这些知识点的用法，反正上了高中都要学，所以不如先提前看一下，在遇到直接写答案的题目时如果用上了绝对是优势；14.至于其他的，老师一下子也想不起来，常见的就是上面这十几个种类，如果大家需要分享其他类型可以在留言中给出，方便其他人能够看到。
二次函数压轴题 倍角公式
二次函数压轴题倍角公式
二次函数的压轴题通常是指通过顶点形式表示的二次函数，即
y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。
倍角公式是指三角函数中的
倍角公式，常见的有正弦函数、余弦函数和正切函数的倍角公式。
这两个概念看似不相关，但在数学学科中有一定的联系。
首先，我们来看二次函数的压轴题。
二次函数y=a(x-h)^2+k中，a决定了抛物线的开口方向和大小，a>0时开口向上，a<0时开口向下；(h,k)是抛物线的顶点，h决定了抛物线在x轴的平移，k决定
了抛物线在y轴的平移。
压轴题就是通过这个顶点形式的二次函数
来进行一系列的变形、平移、拉伸等操作，考察学生对二次函数性
质的理解和把握。
而倍角公式则是三角函数中的重要公式，它们用于求解角的两
倍或半角的三角函数值。
常见的正弦函数的倍角公式是
sin(2θ)=2sinθcosθ，余弦函数的倍角公式是
cos(2θ)=cos^2(θ)-sin^2(θ)，正切函数的倍角公式是
tan(2θ)=(2tanθ)/(1-tan^2(θ))。
这些公式在解题中经常会用到，尤其是在三角恒等式的证明和化简中起着重要作用。
虽然二次函数的压轴题和三角函数的倍角公式看似是两个不同的数学概念，但它们都是数学学科中重要的内容，都需要我们掌握扎实的数学基础和灵活运用的能力。
在学习和解题过程中，我们需要深入理解二次函数的性质和变形规律，同时也要熟练掌握三角函数的倍角公式及其应用，这样才能更好地应对数学学科中的各种问题和挑战。
二次函数压轴之直角三角形的存在性问题,方法集锦
②
AF BG
BF CG
得
3 m
3
3 (m2 3m)
解得m1 2 7(舍去), m 2 7
C2 (2 7,5 7)
方法一:一线三角构相似
① ②合并
第一种情况
E
设C(m, m2 3m)如图可得AOB : BEC
C
AO BO 得
3
3
BE EC |m2 3m 3| |m|
①
解得m1 2 7, m 2 7
C=900, AC2 CB2 AB2 (m 3)2 (m2 3m)2 m2 (m2 3m 3)2 18
m1
0,
m2
3 2
17
,
m3
3 2
17
C(0, 0),C(3 17 , 2)C(3 17 , 2)
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
方法三:利用勾股定理
设C(m,m2 -3m)A(3,0)B(0,3) AB2 18, AC 2 (m 3)2 (m2 3m)2 BC 2 m2 (m2 3m 3)2
如图,抛物线y x2 3x,与x轴交于O、A，直线y=-x+3与y轴交于点B, 与抛物线交于A、D, 问:抛物线上是否存在点P使ABC为直角三角形,并求出P点的坐标
如图,抛物线y x2 3x,与x轴交于O、A，直线y=-x+3与y轴交于点B, 与抛物线交于A、D, 问:抛物线上是否存在点P使ABC为直角三角形,并求出P点的坐标
如图,抛物线y x2 3x,与x轴交于O、A，直线y=-x+3与y轴交于点B, 与抛物线交于A、D, 问:抛物线上是否存在点P使ABC为直角三角形,并求出P点的坐标
如图,抛物线y x2 3x,与x轴交于O、A，直线y=-x+3与y轴交于点B, 与抛物线交于A、D, 问:抛物线上是否存在点P使ABC为直角三角形,并求出P点的坐标
二次函数压轴存在性之角度.docx
函数图像上点的存在性问题中的全等、相像与角度
板块一二次函数与一个知
在抛物线上找点，满意特别角，
探究用用来刻画直线与抛物线的位置关系。
探究一：在平面直角坐标系XOy中.点P为弛物线y=χ2上一动点,是否存在点P,使乙POX为45。
.若存在,恳求出点P的坐标；不存在.说明理由.
探究二在平面直角坐标系Xoy中点P为抛物线y=χ2上一动点.点A的坐标为(⅛,0).是否存在点P,使NPAX分别为45。
或30”若存在总求出点P的坐标；不存在.说明理由
探究三：在平面三角坐标系XOy中,点P为抛物线y=χ?上一动点,点A的坐标为(1.0),若点P使乙PAX最小Jg求出点P的坐标.
探究四：二次函数y=x，-2x-3的图像与X轴交于A、8两点（点A在点B的左恻），与y轴交于C点,在二次函数的图像上是否存在点R使得乙PAC为饯角。
若存在.请你求出P点的横坐标的取值范围：若不存在,请你说明理由
探究五：二次函数图象经过点A(-3.0),8(-1.8),C(0,6),直线Y=2∕3X+2与丫轴交于点D点P为二次函数图象上一动点,若乙PAD=45°.求点P的坐标.
探究六：如图.在平面直角坐标系Xoy中，点P为抛物线y=χ2上一动点.点A的坐标为(4.2),若NAOP=45。
，则点P的坐标为？。
专题11 二次函数压轴-性质运用及存在性问题(解析版)
决胜2020年中考数学压轴题全揭秘专题11二次函数压轴-性质运用及存在性问题【考点1】二次函数性质综合运用【例1】（2018•朝阳区二模）已知二次函数222(0)y ax ax a =--≠．（1）求该二次函数图象的对称轴；（2）若该二次函数的图象开口向上，当15x -时，函数图象的最高点为M ，最低点为N ，点M 的纵坐标为112，求点M 和点N 的坐标； （3）对于该二次函数图象上的两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设11t x t +，当23x 时，均有12y y ，请结合图象，直接写出t 的取值范围． 【分析】（1）利用对称轴公式计算即可； （2）构建方程求出a 的值即可解决问题；（3）当11t x t +，23x 时，均满足12y y ，推出当抛物线开口向下，点P 在点Q 左边或重合时，满足条件，可得13t +，由此即可解决问题；【解析】解：（1）该二次函数图象的对称轴是212ax a==； （2）该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线1x =，15x -，∴当5x =时，y 的值最大，即11(5,)2M ． 把11(5,)2M 代入222y ax ax =--，解得12a =．∴该二次函数的表达式为2122y x x =--． 当1x =时，52y =-，5(1,)2N ∴-．（3）t 的取值范围12t -．【点拨】本题考查二次函数的性质，函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式1-1】（2018•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y ax ax a a =--≠，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）． （1）求点A 和点B 的坐标；（2）若点(,)P m n 是抛物线上的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点D ．①在0a >的条件下，当22m -时，n 的取值范围是45n -，求抛物线的表达式； ②若D 点坐标(4,0)，当PD AD >时，求a 的取值范围．【分析】（1）解方程2230ax xa a --=即可得到A 点和B 点坐标；（2）①由于抛物线的对称轴为直线1x =，而22m -时，n 的取值范围是45n -，则4n =-为二次函数的最小值，从而得到抛物线的顶点坐标为(1,4)-，然后把顶点坐标代入223y ax ax a =--中求出a 即可得到抛物线解析式；②利用D 点坐标(4,0)，PD x ⊥轴得到点P 的横坐标为4，从而得到(4,5)P a ，然后利用PD AD >得到|5|5a >，从而解不等式得到a 的范围．【解析】解：（1）把0y =代入二次函数得：2(23)0a x x --=即(3)(1)0a x x -+=， 13x ∴=，21x =-，点A 在点B 的左侧， (1,0)A ∴-，(3,0)B ；（2）①抛物线的对称轴为直线1x =，22m -时，n 的取值范围是45n -，4n ∴=-为二次函数的最小值，2m =-时，5n =，∴抛物线的顶点坐标为(1,4)-把(1,4)-代入223y ax ax a =--得234a a a --=-，解得1a =，∴抛物线的解析式为223y x x =--；②D 点坐标(4,0)，PD x ⊥轴，∴点P 的横坐标为4，当4x =时，2235y ax ax a a =--=，D 点坐标为(4,0)，A 点坐标为(1,0)-5AD ∴=PD AD >|5|5a ∴>， 1a ∴>或1a <-．【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当0a >时，抛物线向上开口；当0a <时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置． 当a 与b 同号时（即0)ab >，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即0)ab <，对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于(0,)c ．抛物线与x 轴交点个数由△决定：△240b ac =->时，抛物线与x 轴有2个交点；△240b ac =-=时，抛物线与x 轴有1个交点；△240b ac =-<时，抛物线与x 轴没有交点．【考点2】存在性问题【例2】（2019•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2221y x mx m =-+-（1）求抛物线的对称轴（用含m 的式子去表示）；（2）若点1(2,)m y -，2(,)m y ，3(3,)m y +都在抛物线2221y x mx m =-+-上，则1y 、2y 、3y 的大小关系为 312y y y >> ；（3）直线y x b =-+与x 轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点B ，过点B 作垂直于y 轴的直线l 与抛物线2221y x mx m =-+-有两个交点，在抛物线对称轴右侧的点记为P ，当OAP ∆为钝角三角形时，求m 的取值范围．【分析】（1）函数的对称轴为：2bx m a=-=；（2）函数对称轴为x m =，函数开口向上，x m =时函数取得最小值，即可求解； （3）当OAP ∆为钝角三角形时，则20m +<或23m +>，分别求解即可． 【解析】解：（1）函数的对称轴为：2bx m a=-=； （2）函数对称轴为x m =，函数开口向上，x m =时函数取得最小值， 故：312y y y >>；（3）把点A 的坐标代入y x b =-+的表达式并解得：3b =，则点(0,3)B ，直线表达式为：3y x =-+， 当3y =时，22213y x mx m =-+-=， 则2x m =±，则点(2,3)P m +， 当OAP ∆为钝角三角形时， 则20m +<或23m +>， 解得：2m <-或1m >．【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、不等式的基本性质、钝角三角形判断的方法等知识点，难度不大．【变式2-1】（2017•西城二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y ax ax a a =+->与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．（1）求抛物线的对称轴及线段AB 的长；（2）抛物线的顶点为P ，若120APB ∠=︒，求顶点P 的坐标及a 的值；（3）若在抛物线上存在一点N ，使得90ANB ∠=︒，结合图象，求a 的取值范围．【分析】（1）令0y =得：2230ax ax a +-=，解关于x 的方程可求得点A 和点B 的横坐标，然后可求得AB 的长，利用抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴方程；（2）如图1所示，利用抛物线的对称性可知：2AH =，60APH ∠=︒，然后可求得23PH ，从而可的点P 的坐标，最后将点P 的坐标代入抛物线的解析式可求得a 的值；（3）以AB 为直径作H ，则点N 在H 上，当点P 在H 上或点P 在H 外时，90ANB ∠=︒，故此2HP ，接下来，依据2HP 列不等式求解即可．【解析】解：（1）令0y =得：2230ax ax a +-=，即(3)(1)0a x x +-=，解得：3x =-或1x =， (3,0)A ∴-、(1,0)B ．∴抛物线的对称轴为直线1x =-，4AB =．（2）如图1所示：设抛物线的对称轴与x 轴交于点H ． 120APB ∠=︒，4AB =，PH 在对称轴上，2AH ∴=，60APH ∠=︒．23PH ∴=． ∴点P 的坐标为23(1,-． 将点P 的坐标代入得：234a =-，解得3a =． （3）如图2所示：以AB 为直径作H ．当90ANB ∠=︒，∴点N 在H 上．点N 在抛物线上，∴点N 为抛物线与H 的交点．∴点P 在圆上或点P 在圆外．2HP ∴．将1x =-代入得：4y a =-． 4HP a ∴=．42a ∴，解得12a． a ∴的取值范围是12a． 【点拨】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，找出90ANB ∠=︒的条件是解题的关键．1．（2018•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数22y x hx h =-+的图象的顶点为点D ． （1）当1h =-时，求点D 的坐标；（2）当11x -时，求函数的最小值m ．（用含h 的代数式表示)m【分析】（1）把1h =-代入22y x hx h =-+，化为顶点式，即可求出点D 的坐标；（2）先根据二次函数的性质得出x h =时，函数有最小值2h h -．再分1h -，11h -<<，1h 三种情况求解即可．【解析】解：（1）当1h =-时，2221(1)2y x x x =+-=+-，则顶点D 的坐标为(1,2)--； （2）2222()y x hx h x h h h =-+=-+-，x h ∴=时，函数有最小值2h h -．①如果1h -，那么1x =-时，函数有最小值，此时2(1)2(1)13m h h h =--⨯-+=+； ②如果11h -<<，那么x h =时，函数有最小值，此时2m h h =-； ③如果1h ，那么1x =时，函数有最小值，此时21211m h h h =-⨯+=-．2．（2019•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy 中，直线1(0)y kx k =+≠经过点(2,3)A ，与y 轴交于点B ，与抛物线2y ax bx a =++的对称轴交于点(,2)C m ． （1）求m 的值；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）1(N x ，1)y 是线段AB 上一动点，过点N 作垂直于y 轴的直线与抛物线交于点2(P x ，2)y ，3(Q x ，3)y （点P 在点Q 的左侧）．若213x x x <<恒成立，结合函数的图象，求a 的取值范围． 【分析】（1）将点A 坐标代入1y kx =+求出1k =，再根据直线过点C 即可求得m 的值；（2）由（1）得出抛物线对称轴为1x =，据此知2b a =-，代入得222(1)y ax ax a a x =-+=-，从而得出答案；（3）当0a >时，画出图形．若抛物线过点(0,1)B 知1a =．结合函数图象可得01a <<．0a <时显然不成立．【解析】解：（1）1(0)y kx k =+≠经过点(2,3)A ，213k ∴+=，解得1k =．直线1y x =+与抛物线2y ax bx a =++的对称轴交于点(,2)C m ， 1m ∴=．（2）抛物线2y ax bx a =++的对称轴为1x =，∴12ba-=，即2b a =-． 222(1)y ax ax a a x ∴=-+=-．∴抛物线的顶点坐标为(1,0)．（3）当0a >时，如图，若抛物线过点(0,1)B ，则1a =． 结合函数图象可得01a <<．当0a <时，过点N 垂直于y 轴的直线与抛物线没有交点，不符合题意． 综上所述，a 的取值范围是01a <<．3．（2018•西城区二模）抛物线2:41(0)M y ax ax a a =-+-≠与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），抛物线的顶点为D ．（1）抛物线M 的对称轴是直线 ；（2）当2AB =时，求抛物线M 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，直线:(0)l y kx b k =+≠经过抛物线的顶点D ，直线y n =与抛物线M 有两个公共点，它们的横坐标分别记为1x ，2x ，直线y n =与直线l 的交点的横坐标记为33(0)x x >，若当21n --时，总有13320x x x x ->->，请结合函数的图象，直接写出k 的取值范围．【分析】（1）根据抛物线的函数表达式，利用二次函数的性质即可找出抛物线M 的对称轴；（2）根据抛物线的对称轴及2AB =即可得出点A 、B 的坐标，根据点A 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线M 的函数表达式；（3）利用配方法求出抛物线顶点D 的坐标，依照题意画出图形，观察图形可得出(25)2k b +<-，再利用一次函数图象上点的坐标特征可得出122k b +=，将122b k =-代入(25)2k b +<-中即可求出k 的取值范围．【解析】解：（1）抛物线M 的表达式为241y ax ax a =-+-，∴抛物线M 的对称轴为直线422ax a-=-=． 故答案为：2x =．（2）抛物线241y ax ax a =-+-的对称轴为直线2x =，抛物线M 与x 轴的交点为点A 、B （点A 在点B 左侧），2AB =，∴点A 的坐标为(1,0)，点B 的坐标为(3,0)．将(1,0)A 代入241y ax ax a =-+-，得：410a a a -+-=， 解得：12a =-，∴抛物线M 的函数表达式为213222y x x =-+-． （3）2213112(2)2222y x x x =-+-=--+，∴点D 的坐标为1(2,)2；当2y =-时，2132222x x -+-=-，解得：25x =或25x =直线y n =与直线l 的交点的横坐标记为33(0)x x >，且当21n --时，总有13320x x x x ->->， (25)2k b ∴+<-．直线:(0)l y kx b k =+≠经过抛物线的顶点D ， 122k b ∴+=， 122b k ∴=-， 1(25)222k k ∴+-<-， 5k ∴>．4．（2018•东城区二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23(0)y ax bx a =+-≠经过点(1,0)A -和点(4,5)B ． （1）求该抛物线的表达式；（2）求直线AB 关于x 轴的对称直线的表达式；（3）点P 是x 轴上的动点，过点P 作垂直于x 轴的直线l ，直线l 与该抛物线交于点M ，与直线AB 交于点N ．当PM PN <时，求点P 的横坐标P x 的取值范围．【分析】（1）根据待定系数法，可得二次函数的解析式；（2）根据待定系数法，可得AB 的解析式，根据关于x 轴对称的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案；（3）根据PM PN <，可得不等式，根据函数与不等式的关系，可得答案．【解析】解：（1）将(1,0)A -，(4,5)B 代入函数解析式，得 3016435a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为223y x x =--；（2）设AB 的解析式为y kx b =+，将(1,0)A -，(4,5)B 代入函数解析式，得 045k b k b -+=⎧⎨+=⎩， 解得11k b =⎧⎨=⎩，直线AB 的解析式为1y x =+，直线AB 关于x 轴的对称直线的表达式(1)y x =-+，化简，得 1y x =--；（3）设2(,23)M n n n --，(,1)N n n +， PM PN <，即2|23||1|n n n --<+①当1n <-时，223(1)n n n --<-+，化简，得220n n --<， 由22y n n =--与x 轴的交点，得220n n --<的解是12n -<<（不符合题意，舍）， ②当13n -<时，2(23)1n n n ---<+，化简，得 220n n -->，由22y n n =--与x 轴的交点，得 220n n -->的解是1n <-或2n >， 23n ∴<<；当3n 时，2231n n n --<+， 化简，得 2340n n --<，由234y n n =--与x 轴的交点，得 2340n n --<的解是14n -<<，34n ∴<，综上所述：24n <<， 方法二：2|23||1|n n n --<+， |(3)(1)||1|n n n ∴-+<+， |3|1n ∴-<， 24n ∴<<．当PM PN <时，求点P 的横坐标P x 的取值范围是24P x <<．5．（2017•海淀区一模）平面直角坐标系xOy 中，抛物线2222y mx m x =-+交y 轴于A 点，交直线4x =于B 点．（1）抛物线的对称轴为x = （用含m 的代数式表示）； （2）若//AB x 轴，求抛物线的表达式；（3）记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点），若对于图象G 上任意一点(p P x ，)p y ，2p y ，求m 的取值范围．【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线2bx a=-，代入数据即可得出结论； （2）由//AB x 轴，可得出点B 的坐标，进而可得出抛物线的对称轴为2x =，结合（1）可得出2m =，将其代入抛物线表达式中即可；（3）分0m >及0m <两种情况考虑，依照题意画出函数图象，利用数形结合即可得出m 的取值范围．【解析】解：（1）抛物线的对称轴为2(2)2m x m m--==．故答案为：m ．（2）当0x =时，22222y mx m x =-+=，∴点(0,2)A ．//AB x 轴，且点B 在直线4x =上，∴点(4,2)B ，抛物线的对称轴为直线2x =，2m ∴=，∴抛物线的表达式为2282y x x =-+．（3）当0m >时，如图1． (0,2)A ，∴要使04p x 时，始终满足2p y ，只需使抛物线2222y mx m x =-+的对称轴与直线2x =重合或在直线2x =的右侧．2m ∴；当0m <时，如图2， 在04p x 中，2p y 恒成立．综上所述，m 的取值范围为0m <或2m ．6．（2017•西城一模）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2(21)5y mx m x m =-++-的图象与x 轴有两个公共点．（1）求m 的取值范围；（2）若m 取满足条件的最小的整数， ①写出这个二次函数的解析式；②当1n x 时，函数值y 的取值范围是64y n --，求n 的值；③将此二次函数平移，使平移后的图象经过原点O ．设平移后的图象对应的函数表达式为2()y a x h k =-+，当2x <时，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围．【分析】（1）由抛物线与x 轴有两个交点，可得出关于x 的方程2(21)50mx m x m -++-=有两个不相等的实数根，利用根的判别式△0>结合二次项系数非零，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围；（2）①取（1）中m 的最小整数，将其代入二次函数解析式中即可； ②找出抛物线的对称轴为32x =，根据二次函数的性质结合“当1n x 时，函数值y 的取值范围是64y n --”，即可得出关于n 的一元二次方程以及一元一次不等式，解之即可得出n 的值； ③根据平移的性质可得出1a =，由二次函数的性质可得出2h ，再将(0,0)代入二次函数解析式中可得出2k h =-，进而即可得出k 的取值范围．【解析】解：（1）二次函数2(21)5y mx m x m =-++-的图象与x 轴有两个公共点，∴关于x 的方程2(21)50mx m x m -++-=有两个不相等的实数根，∴2[(21)]4(5)0m m m m ≠⎧⎨=-+-⨯⨯->⎩， 解得：124m >-且0m ≠．（2）①124m >-且0m ≠，m 取其内的最小整数， 1m ∴=，∴二次函数的解析式为234y x x =--．②抛物线的对称轴为3322x -=-=，10>， ∴当32x时，y 随x 的增大而减小． 又1n x 时，函数值y 的取值范围是64y n --，∴234411346n n n n ⎧--=-⎪⎨⎪--=-⎩，解得：2n =-．③根据平移的性质可知，1a =， 当2x <时，y 随x 的增大而减小，2h ∴．平移后的图象经过原点O ，20(0)h k ∴=-+，即2k h =-，4k ∴-．7．（2019•西城区二模）在平面直角坐标系xOy 中．已知抛物线22y ax bx a =++-的对称轴是直线1x =． （1）用含a 的式子表示b ，并求抛物线的顶点坐标；（2）已知点(0,4)A -，(2,3)B -，若抛物线与线段AB 没有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围； （3）若抛物线与x 轴的一个交点为(3,0)C ，且当m x n 时，y 的取值范围是6m y ，结合函数图象，直接写出满足条件的m ，n 的值．【分析】（1）利用2bx a=-来求得a 和b 的关系，再将其代入原解析式； （2）分0a >和0a <两种情况来讨论，结合图象作出判断；（3）先求出抛物线的解析式，再求出6y =时的x 值，然后分最小值是顶点纵坐标和不是顶点纵坐标两种情况来讨论．【解析】解：（1）12ba-=， 2b a ∴=-．∴抛物线为222y ax ax a =-+-，当1x =时，222y a a a =-+-=-，∴抛物线的顶点坐标为：(1,2)-．答：2b a =-；抛物线的顶点坐标为：(1,2)-． （2）若0a >，抛物线与线段AB 没有公共点；若0a <，当抛物线经过点(2,3)B -时，它与线段Ab 恰有一个公共点， 此时3442a a a -=-+-，解得1a =-． 抛物线与线段AB 没有公共点，∴结合函数图象可知，10a -<<或0a >．（3）抛物线与x 轴的一个交点为(3,0)C ，代入222y ax ax a =-+-得 0962a a a =-+-，12a ∴=， ∴抛物线为21322y x x =--， 当m x n 时，y 的取值范围是6m y ， 令6y =得：213622x x ==--， 解得3x =-（舍)或5x =∴由自变量的最小值为m 与函数值的最小值也为m ，由21322y x x y x⎧=--⎪⎨⎪=⎩得2430x x --=，27x ∴=+或272x =>-，此时顶点(1,2)-包含在范围内，不符合要求，故舍去；故满足条件的m ，n 的值为：27m =5n =；或2m =-，5n =．8．（2019•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y mx mx m =+->与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，该抛物线的顶点D 的纵坐标是4-． （1）求点A 、B 的坐标；（2）设直线与直线AC 关于该抛物线的对称轴对称，求直线的表达式；（3）平行于x 轴的直线b 与抛物线交于点1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y ，与直线交于点3(P x ，3)y ．若132x x x <<，结合函数图象，求123x x x ++的取值范围．【分析】（1）根据题意求得1m =，从而求得解析式，令0y =，解方程即可求得A 、B 的坐标； （2）根据轴对称求得对称点的坐标，然后根据待定系数法即可求得； （3）由1212x x +=-，得出122x x +=-，由题意可知321x -<<，即可求得12341x x x -<++<-． 【解析】解：（1）抛物线223(0)y mx mx m =+->的顶点D 的纵坐标是4-，∴212444m m m--=-，解得1m =，223y x x ∴=+-， 令0y =，则3x =-或1， (3A ∴-，0)(1B ，0)；（2）2223(1)4y x x x =+-=+-，∴抛物线的对称轴为1x =-，点(0,3)C -关于抛物线的对称轴的对称点坐标是(2,3)E --，点(3,0)A -关于该抛物线的对称轴的对称点坐标是(1,0)B ，设直线的表达式为y kx b =+， 点(2,3)E --和点(1,0)B 在直线上 ∴230k b k b -+=-⎧⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=-⎩，∴直线的表达式为1y x =-；（3）由对称性可知1212x x +=-， 122x x ∴+=-， 132x x x <<，321x ∴-<<，12341x x x ∴-<++<-．9．（2017•怀柔区一模）已知二次函数221(0)y ax ax a a =++->． （1）求证：抛物线与x 轴有两个交点； （2）求该抛物线的顶点坐标；（3）结合函数图象回答：当1x 时，其对应的函数值y 的最小值范围是26y ，求a 的取值范围．【分析】（1）只要证明△0>即可解决问题； （2）利用顶点坐标公式计算即可；（3）求出抛物线经过(1,2)和(1,6)时的a 的值即可解决问题； 【解析】（1）证明：△2(2)4(1)4a a a a =--=， 0a ∴>， 40a ∴>，∴△0>，∴抛物线与x 轴有两个交点；（2）212aa-=-，24(1)(2)14a a a a --=-， ∴抛物线的顶点坐标为(1,1)--；（3）二次函数221y ax ax a =++-经过(1,2)时，231a a =+-，解得34a =， 二次函数221y ax ax a =++-经过(1,6)时，631a a =+-，解得74a =， ∴观察图象可知，函数值y 的最小值范围是26y ，a 的取值范围为3744a．10．（2017•朝阳区一模）在平面直角坐标系中xOy 中，抛物线2211222y x mx m m =-++-的顶点在x 轴上．（1）求抛物线的表达式； （2）点Q 是x 轴上一点，①若在抛物线上存在点P ，使得45POQ ∠=︒，求点P 的坐标；②抛物线与直线2y =交于点E ，F （点E 在点F 的左侧），将此抛物线在点E ，F （包含点E 和点)F 之间的部分沿x 轴平移n 个单位后得到的图象记为G ，若在图象G 上存在点P ，使得45POQ ∠=︒，求n 的取值范围．【分析】（1）利用配方法得出关于m 的方程，可得m 的值，可得函数解析式；（2）①由题意得，点P 是直线y x =与抛物线的交点，联立抛物线解析式可求点P 的坐标．②根据当E 点移动到点(2,2)时，2n =．当F 点移动到点(2,2)-时，6n =-．依此可求n 的取值范围． 【解析】解：（1）2221112()2222y x mx m m x m m =-++-=-+-， 由题意，可得20m -=． 2m ∴=，21 / 21 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 21(2)2y x ∴=-．（2）①由题意得，点P 是直线y x =与抛物线的交点． 21(2)2x x ∴=-，解得135x =+235x = P ∴点坐标为(35+，35)或(35，35)． ②45POQ ∠=︒， E ∴点或F 点的横、纵坐标的绝对值相等， ∴当E 点移动到点(2,2)时，2n =． 当F 点移动到点(2,2)-时，6n =-． 由图象可知，符合题意的n 的取值范围是62n -．。
2022年中考数学复习之二次函数压轴题40个问题
中考复习之二次函数压轴40个问题主要题型：1.二次函数之面积问题2.二次函数之特殊三角形的存在性问题3.二次函数之特殊四边形的存在性问题4.二次函数之线段最值问题5.二次函数之角度问题题目：如图,抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC＝３，OA＝１，顶点为D第1问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D.求二次函数的解析式；解:设:设二次函数解为y=a(x+1)(x-3)将(0,3)代入得a=-1,故二次函数解析式为y=-x2+2x +3第2问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D1.判断∆BCD的形状；解:D(1,4),B(3,0),C(0,3),方法一:BC=32,CD=2,BD=25,BC2+CD2=BD2,故∆BCD是直角三角形；方法二:KCD =1,KBC=-1,KCD∙KBC=-1,故CD⊥CB,所以∆BCD是直角三角形；yxBCAODyxBCAODyxBCAODyxBCAOD第3问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D, 2. 四边形ABDC 的面积解:BC:y =-x +3,铅垂法:E(1,2)DE=2,S BCD ∆=21∙2∙3=3 S ABDC 四=21∙4∙3+3=9第4问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D, 1. P 为直线BC 上方抛物线上一点,求∆PBC 面积最大值及P 点坐标；解:方法一:设P(m,-m+2m+3)S PBC ∆=21∙3∙[-m 2+2m+3-(m+3)] =23(-m 2+3m),当m=23时,S 有最大值,此时P(23,415)S m ax =827 方法二:平移BC 至抛物线相切时,面积可取最大值设切线为y =-x +n,与抛物线y =-x 2+2x+3联立得x2-3x +n -3=0,∆=0,n=23,y =415,故P(23,415)S m ax =827y xBCAODy xBCAODEy xBCAOD第5问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D5点M 为BC 上方抛物线上一点,过点M 作y 轴的平行线交BC 于点N,求MN 的最大值；解:设点M(m,-m 2+2m+3),BC:y =-x +3,则点N(m,-m+3)MN=-m 2+2m+3-(-m+3)=-m 2+3m 当m=23时,MN m ax =49第6问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OC=3,OA=1,顶点为D, 6. 在对称轴上找一点P,使∆ACP 的周长最小,并求出最小值解:点A 、B 关于对称轴对称,连接BP,则BP=AP,PA+PC=PB+PC,当点B 、P 、C 三点共线时,可取最小值,此时P(1,2),∆ACP 周长的最小值为10+32第7问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 在y 轴上找一点E,使∆BDE 为直角三角形,求出E 点坐标, 方法一:y xBCAOPDy xBCAODy xNBCAODMy xBCAOD P1.DE ⊥BE 时,设E(0,m)易知∆DEF~∆EBO,OE DF =BO EF ,即m 1=34m-,m=3或1,故E 1(0,1)、E 2(0,3)2. DE ⊥DB 时,设E(0,m)易知∆DEN~∆BDM,BM DN =DM EN ,即m 1=34m -,m=27故E ；(0,27)3. DB ⊥BE 时,设E(0,m),易知∆DBF~∆BEG,BG DF =EG BF ,即m -2=34,m=-23,故E 4(0,-23)第8问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 在y 轴上找一点F,使∆BDF 为等腰三角形,求出F 点坐标；2. BD=DF,设F(0,m),22)4()01(m -+-=25,m=4+9 或4-19,F 1(0,4+19);F 2(0,4-19)yxFBCAODExyN MBCAODExy GFEBCAODxy BCAODF2.BD=BF,设F(0,m),22)0()03(m -+-=25,m=±11,F 1(0,11),F 2(0,-11)3.DF=BF,设F(0,m),22)0()03(m -+-=22)4()01(m -+-,m=1,F 4(0,1)第9问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 求抛物线上一点N,使S ABN ∆=S ABC ∆；解:设N 点的坐标(m,n),则∆ABC 与∆ABN 底相同,故n=±3,-m 2+2m+3=3或者-m 2+2m+3=3得m 1=0,m 2=2,m 3=1-7,m 4=1+7,N(0,3),(2,3),(1-7,-3),(1+7,-3)第10问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D, 1. 在抛物线上找一点Q,使S BDQ ∆=S AOC ∆解:设Q(m,-m 2+2m+3),S AOC ∆=23,BD ：y =-2x +6,铅垂高QS=|-m 2+2m+3-(-2m+6)| S BDQ ∆=|-m 2+2m+3-(-2m+6)|∙21∙1=23得m=0或4Q(0,3),(4,-5),xBCAODFBCAOD FBCAODFBCAODN第11问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.在抛物线上找一点E,使BE 平分∆ABC 的面积； 解:BE 平分∆ABC 的面积,故BE 经过AC 的中点,AC 中点(-21,23),BE:y =-73x +79; 与抛物线联立得-x 2+2x +3=-73+79x =-74或722,E(-74;4919)或(722；491849)第12问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA =1,顶点为D 1.在对称轴上找一点M,使|MB -MC|取最大值,并求出最大值；解:点B 关于对称轴对称的点A,连接MA,则MB=MA,MA -MC<AC, 当点A 、C 、M 共线时,|MB -MA|m ax =AC=10, AC:y =3x x +3,M(1,6)第13问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.M 、N 为对称轴上的两点(M 在N 点上方),且MN=1,求四边形ACNM 周长的最小值； 解:A 关于对称轴对称的点B,连接BN,则BN=AN,将点向下平移1个单位得C’、N,则C’N=CM, 故CM+BN=C’N+BN,当C’、N 、B 共线时,取最小值(CM+BN)m in =13,故ACNM 周长得最小值为1+10+13BCAODQABCODEABCODM第14问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.E 在抛物线对称轴上,在抛物线上找一点F,使得点四边形ACFE 为平行四边形； 解:设E(1,m)F(n,-n 2+2n+3),A(-1,0),C(0,3),A 平行至点C 与E 平移至点F, n=1+1=2,m+3=-n 2+2n+3,m=0,故E(1,0)F(2,3)第15问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.M 为y 轴上一点,在坐标平面内找一点N,使A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为菱形； 解:当 ACM 为等腰三角形时,问题转化为等腰三角形问题 1.ACNM 为菱形时,M(0,3),N(1,0),2.AMCN 为菱形时,M(0,34),N(-1,35),3.ACMN 为菱形时,M(0,3+10),N(-1,10)ABCODMNABCODM NC'ABCODEFABCODMN ABCONDM4.ACMN 为菱形时,M(0,3-10),N(-1,-10)第16问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.E 为x 轴上一点,以BE 为边的正方形BEFG ； 另一点G 在抛物线上,求点F 坐标；设E(m,0)则EF=|-m 2+2m+3|由EF=EB 得3-m=|-m 2+2m+3|,m=0或m=-2故F(0,3)或F(-2,-5)第17问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 是抛物线上任意一点,过点P 作PE ⊥y 轴于点E,交直线BC 于点G ；过点G 作GF ⊥x 轴,连接EF,求EF 的最小值；连接OG,则OG=EF,当OG ⊥BC 时,OG 最小,即EF 最小,故EF m in =233x C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.M 在抛物线上CB 上方一点过点M 作y 轴的平行线,交BC 于点E,则ME 的最大值是多少? 解:设M(m,-m 2+2m+3),BC :y =-x +3,E(m,3-m),ME=-m 2+2m+3-(3-m)=-m 2+3m,当m=23ABCONDMABCNODMGCABO EFF CABOE GFEGCABOPFEGCABOP时,ME m ax =49第19问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.求一点P,使∠POC=∠PCO ； 解:点P 在OC 得垂直平分线上,-x2+2x +3=23,x =1±210P 1(1-210,23)P 2(1+210,23)第20问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.E(2,-2),M 为x 轴上一点,且∠EMO=∠CMO ； 1.M 在右侧时,易知∆CMO~∆EMG,设M(m,0)则有2-m m =23,m=6 2.M 在左侧时,同理易知∆CMO~∆EMG ,m m --2=23,m=6(舍) 第21问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 是直线y =x 上的动点,当直接y =x 平分∠APB 时,求点P 的坐标； 如图,∆PAO ≅∆PEO,此时OE=OA=1,故E(0,-1),EB ：y =31x -1,与y =x 得x =-23,P(-23,-23) ECABOMPPCABOCABOEMG第22问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.点P 在抛物线上,且∠ABP=∠CBD,求P 坐标；解:C(0,3)D(1,4)B(3,0)tan ∠CBD=31,故tan ∠PBO=31,OE=1或者OF=1,PB ：y =-31x +1或y 且=31x -1,联立可得P 1(-32,911)P 2(-23,-23)第23问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.在抛物线上找一点P,使∠ACP=450；方法1:∠OCB=∠ACP=450,得∠ACO=∠ECB,故tan ∠ECB=31,作EH ⊥BC,设BH=m,则EH=m;CH=3m,故4m=32,m=423,E(23,0)故CE:y =-2x +3,联立得P(4,-5) 方法2:由12345模型得tan ∠ECO=21得E(23,0)第24问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 在抛物线上,∠DBP=450； 由tan ∠CBD=31,∠CBD+∠CBP=450,而∠PBO+∠CBP=450,故tan ∠PBO=31,BP:y =-31x +1,P(-32,911) ECABOPPEFCABODPPHECABOPDP第25问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.点P 在抛物线上,∠PCB=150,求点P 的坐标；解:由∠BCO=450得∠PCO=30或∠PCO=600,故PC:y =-3x +3或y =-33x +3联立得P(2+3,-23)P(2+33,3328-)第26问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.直线y =31x -1与y 轴交于点E,求∠EBC -∠CBD ； 由tan ∠DBC=tan ∠EBO=31,故∠EBC -∠CBD=450第27问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.过点P(3,0)作直线与抛物线交于F 、G 、FM 、GN 分别垂直于x 轴,求PM,PN ；设F(1x ,1y )G(2x ,2y ),直线y =k (x +3)与抛物线y =-2x +2x +3联立得2x +(k -2)x +3k -3=0;1x +2x =2-k ,1x •2x =3k -3,PM •PN=(1x +3)(2x +3)=1x •2x +3(1x +2x )+9=12CABOPDPPF CABODPEECABODENMGFCABOPD第28问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DP 是第一象限抛物线上,PE ⊥AB,求BEAE的值,若PE 2=AE •BE,求P 点坐标 设P(m,-m 2+2m+3),AE=m+1,BE=3-m,BE AE =mm -+31,(m+1)(3-m)=(-m 2+2m+3)2得m=1+3,P(1+3,1)第29问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,N(0,-1),求23BM+MN 的最小值, 过点B 作I ⊥x 轴,MH ⊥I,∠MBH=600,MH=23BM,23BM+MN=MH+MN,当N 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值(23BM+MN)min=3第30问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,求21BM+OM 的最小值 过点B 作I:y =3x -33,MH ⊥I,∠MBH=300,MH=21BH,21BH+OM=MH+OM,当Q 、M 、H共线且垂直于I 时取最值(21BM+MN )min=233xy EBCAOPxy BCA O MN H第31问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,求22BM+OM 的最小值 过点B 作I,I 与直线MN 夹角450,MH ⊥I,∠MBH=450,MH=22BM,22BM+OM=MH+OM,当Q 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值两着色三角形相似,得cos150=426,(21BM +MN)min=423-63第32问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D在AB 上是否存在点M,使CM+21BM 取最小值. 过点B 作I,I 与x 轴夹角为300,MH=21BM,21BM+CM=MH+CM,当C 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值(21BM+CM)min=2333+第33问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为Dxy BCAMO Hxy BCAMOHxy BCAO M EHM 是抛物线上一点,作MH ⊥x 轴,交BC 于点E,当ME:EH=3:2时,求M 点的横坐标, 设M(m,-m 2+2m+3),则E(m,3-m),ME=-m 2+2m+3-(3-m),EH=3-m,ME:EH=3：2 即有-m 2+2m+3-(3-m)=23(3-m) m=23第34问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于顶点为D P 是抛物线上一点,且∠PAB=2CBD,求P 点坐标. tan ∠CBD=31,tan ∠PAB=tan2∠CBD=43(12345模型) 设P(m,-m 2+2m+3)(1)tan ∠PAB=1322+++-m m m =43,m=49,P(49,1639)(2)tan ∠PAB=1322+--m m m =43,m=415,P(415,1657)第35问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DF(1,415)直线y =417,(1)证明:M 上任意一点到直线y =417距离等于到F 点的距离, M(m,-m 2+2m+3),MH=417-(-m 2+2m+3)=m 2-2m+45MF=222)41532()1(-++-+-m m m =m 2-2m+45,故MH=MF xyEBCAOMHxy BCAODPP第36问:如图,抛物线与x 轴交于、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DF(1,415)直线y =417,(2)证明:N(2,-1)M 为抛物线上一点,求NM+MF 的最小值 由(1)可知MF=MH,故NM+MF=MN+MH,(NM+MF)min=421第37问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D ∠BAC 的角平分线交y 轴于点M,绕点M 作直线I,与x 轴交于点E,与A 交于点F,求证:AE 1+AF 1为定值 过点M 、F 、C 作x 轴的平行线,交AC 于点G,交AM 于点H 、I ，易知:∆AEM~∆HFM,∆AFH~∆ACI,AO GM =AC CG ,CI GM =AC AG ,相加得AO GM +CI GM =AC CG +ACAG=1 即有AO 1+AC 1=GM 1,同理可得AE 1+AF 1=GM1=1+1010第38问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D P 为第四象限抛物线上一点,且tan ∠APC=21,求出点P 的坐标； 过点C 作CE ⊥AC,取一点E 使CE=2AC,过点C 作MN||x 轴,作A M ⊥MN 、EN ⊥MN,易知∆ACM~∆CEN,CN=6,EN=2,E(6,1),P 为以AE 为直径的圆与抛物线的交点AE 的中点F,F(25,21) xy BCOFMHxy BCNOFMHA过点易知AE HF AFACGM AO =CG AC ，GM CI =AGAC，GM AO +GM CI =CG AC +AGAC =1即有1AO +1AC =1GM，同1AE +1AF =1GM =11010xy H G FEMBCOIPF=225,设P(m,-m 2+2m+3),PF 2=(m -25)2+(-m 2+2m+325)2=225m=255,y =2531--,P(255,2531--)第39问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 直线y =x -3与抛物线交于点P,在x 轴正半轴上找一点E,使tan(∠PBO+∠PEO)=25 在x 轴上找一点F,使tan ∠HPF=25,∠HPF=450+∠BPH=∠PBO+∠PEO=450+∠PEO, 故∠BPF=∠PEO,故∆BEP~∆BPF,BP BE =BF BP ,即253-m =21525,m -3=320,m=329故E(329,0)第40问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 对称轴与BC 交于点E,在直线BC 上找一点P,使∆ABP 与∆DEB 相似,∠BED=1350=∠ABP,故P 在CB 的延长线上,DE=2,BE=22,AB=3,1.当∆EDB~∆BAP,AB DE =BP EB ,即42=BP22,BP=42,P(7,-4) 2.∆EDB~∆BPA 时,BP=22,P(5,-2)AxyN MPFEBCOAH PE FAxyIHEBCODP 1P 2。
二次函数角度存在性问题解题策略(非定弦定角类)
二次函数任意角解题策略（非定弦定角类）针对已知角的动点，求角一边与抛物线或直线的交点例1、如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A（1，0），、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），点D是y轴左侧的抛物线上一动点，连接AC，当∠DAB＝∠ACO时，求点D的坐标．分析：D的坐标，坐标即“横平竖直”，横纵坐标比即为直角三角形，两直角边的关系。
由于∠DAB＝∠ACO ，tan∠DAB＝tan∠ACO，则很容易得到点D坐标的绝对值之比。
然后通过二次函数解析式表示D的坐标，利用比值求解。
解：过点D作x轴的垂线，交x轴于点H，如图2所示．设点D的坐标为（m，m2+2m﹣3）．∵∠DAB＝∠ACO，∴tan∠DAB＝tan∠ACO，即＝，∴总结：一般来说，角度问题都可通过正切处理解决，有定角，则该角的正切值定，可得坐标的横纵比。
此题简单在所求角的一边是确定的，刚好在X轴上，易于构造直角三角形解决问题。
倘若，角的一边不在坐标轴上，那问题又该如何处理，上述做法是否仍然可行？且看下例。
例2、如图，抛物线y＝﹣x2+x+2．与直线y＝x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点N．若存在点P，使∠PCN＝45°，请写出相应的点P的坐标．分析：首先根据题意可大概画出图形，应有两种可能，一种是点P在CD 上方，一种是在CD下方。
点N 对解题并无影响，∠PCN即为∠PCD。
点C（0,2），若能再在PC上得一个点的坐标求出直线CP解析式，联立二次函数求交点，问题便迎刃而解。
由于45°是特殊角，可构造等腰直角三角形，在利用一线三直角模型，得全等三角形，进一步得到点的坐标。
如何构造一线三直角模型呢，关键是直角顶点的选取，首先探究当点P在CD上方的情况。
法一：如图1-1所示,易证△CEG≌△EDF（AAS），想办法求出点E的坐标，结合点C即可求直线CP.法二：如图1-2所示。
2020中考压轴 二次函数 角的存在性问题 课件共18张
）
3、（1）分类讨论，本题已明确动点位置，故不需分类；
（2）画图找点，如图所示
（3）设点求解，设M（m，23 ??2
?
4m?
3
2），过O作
OE ⊥AB交BM延长线于E，交AB于G，作EF⊥y轴于F,分别解
直角三角形AOB,OBG,OEF可求E（
24 13
，-
36 13
），所以直线BE为
y=- 5 x-2 ，与抛物线解析式联立方程组可得M横坐标为11 .
BC下方的二次函数图象上．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图①，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；
(3)如图②，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好
等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
略解：
1、??= 1 ??2 ? 3 ??? 2，2、最大值4
交点法的方法和步骤： 1、分类讨论，一般分两类，一是点在x轴上方；一是点在x轴下方； 2、画图找点，根据题意画草图找点帮助分析； 3、设点求解，构造等腰三角形或直角三角形求过动点的直线解析式，
利用直线和抛物线交点求法即可求解。
以本题为例：
1、??= 2 ??2 ? 4 ??? 2
3
3
2、（4，
10 3
与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），
点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
??=
1 ?2
???
2 2+
8
（2）点F 是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F 的坐标；
2020中考数学压轴题全揭秘精品专题16 二次函数的存在性问题
决胜2020中考数学压轴题全揭秘精品专题16二次函数的存在性问题【典例分析】【考点1】二次函数与相似三角形问题【例1】已知抛物线23y ax bx =++与x 轴分别交于(3,0)A -，(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）点F 是线段AD 上一个动点． ①如图1，设AF k AD =，当k 为何值时，2CF AD =1. ②如图2，以A ，F ，O 为顶点的三角形是否与ABC ∆相似？若相似，求出点F 的坐标；若不相似，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--+，D 的坐标为(1,4)-；（2）①12k =；②以A ，F ，O 为顶点的三角形与ABC ∆相似，F 点的坐标为618,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或(2,2)-．【解析】(1)将A 、B 两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点D(1,4)-；(2)①由A 、C 、D 三点的坐标求出AC =DC =，AD =，可得ΔACD 为直角三角形，若1CF AD 2=，则点F 为AD 的中点，可求出k 的值； ②由条件可判断DAC OBC ∠∠=，则OAF ACB ∠∠=，若以A ，F ，O 为顶点的三角形与ΔABC 相似，可分两种情况考虑：当AOF ABC ∠∠=或AOF CAB 45∠∠︒==时，可分别求出点F 的坐标． 【详解】(1)Q 抛物线2y ax bx 3=++过点A(3,0)-，B(1,0)，933030a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为2y x 2x 3=--+；()22y x 2x 3x 14=--+=-++Q ， ∴顶点D 的坐标为(1,4)-；(2)①Q 在Rt ΔAOC 中，OA 3=，OC 3=，222AC OA OC 18∴=+=，()D 1,4-Q ，()C 0,3，()A 3,0-，222CD 112∴=+=， 222AD 2420∴=+=，222AC CD AD ∴+=，ΔACD ∴为直角三角形，且ACD 90∠︒=，1CF AD 2=Q ， ∴F 为AD 的中点，AF 1AD 2∴=， 1k 2∴=；②在Rt ΔACD中，DC 1tan ACD AC 3∠===， 在Rt ΔOBC 中，OB 1tan OCB OC 3∠==， ACD OCB ∠∠∴=， OA OC =Q ，OAC OCA 45∠∠︒∴==，FAO ACB ∠∠∴=，若以A ，F ，O 为顶点的三角形与ΔABC 相似，则可分两种情况考虑： 当AOF ABC ∠∠=时，ΔAOF ΔCBA ∽，OF BC ∴P ，设直线BC 的解析式为y kx b =+，03k b b +=⎧∴⎨=⎩，解得：33k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y=3x+3-，∴直线OF 的解析式为y=3x -，设直线AD 的解析式为y=mx+n ，430k b k b -+=⎧∴⎨-+=⎩，解得：26k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AD 的解析式为y=2x 6+，263y x y x =+⎧∴⎨=-⎩，解得：65185x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，618F ,55⎛⎫∴- ⎪⎝⎭．当AOF CAB 45∠∠︒==时，ΔAOF ΔCAB ∽，CAB 45∠︒=Q ，OF AC ∴⊥，∴直线OF 的解析式为y=x -，26y x y x =-⎧∴⎨=+⎩，解得：22x y =-⎧⎨=⎩， ()F 2,2∴-，综合以上可得F 点的坐标为618,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或(2,2)-． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．【变式1-1】如图，抛物线2y 2ax x c =++经过(1,0)A -，B 两点，且与y 轴交于点(0,3)C ，抛物线与直线1y x =--交于A ，E 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）坐标轴上是否存在一点Q ，使得AQE ∆是以AE 为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．（3）P 点在x 轴上且位于点B 的左侧，若以P ，B ，C 为顶点的三角形与ABE ∆相似，求点P 的坐标．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）存在，()40Q ，或()04-，，理由见解析；（3）3p 05⎛⎫ ⎪⎝⎭，或9p 02⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 【解析】（1）将A 、C 的坐标代入2y 2ax x c =++求出a 、c 即可得到解析式；（2）先求出E 点坐标，然后作AE 的垂直平分线，与x 轴交于Q ，与y 轴交于Q'，根据垂直平分线的性质可知Q 、与A 、E ，Q'与A 、E 组成的三角形是以AE 为底边的等腰三角形，设Q 点坐标(0,x)，Q'坐标(0,y)，根据距离公式建立方程求解即可；（3）根据A 、E 坐标，求出AE 长度，然后推出∠BAE=∠ABC=45°，设()p 0m ，，由相似得到PB ABBC AE=或PB AEBC AB=，建立方程求解即可．【详解】（1）将(1,0)A -，(0,3)C 代入2y 2ax x c =++得：203a c c -+=⎧⎨=⎩，解得13a c =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线解析式为2y 23=-++x x （2）存在，理由如下：联立y 1x =--和2y x 2x 3=-++，2y 123x y x x =--⎧⎨=-++⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩或45x y =⎧⎨=-⎩∴E 点坐标为(4,-5)，如图，作AE 的垂直平分线，与x 轴交于Q ，与y 轴交于Q'，此时Q 点与Q'点的坐标即为所求， 设Q 点坐标(0,x)，Q'坐标(0,y)， 由QA=QE ，Q'A= Q'E 得：()()()221405--=-++x x ()()()()2222010045++-=-++y y 解得4x =，4y =故Q 点坐标为()40，或()04-， （3）∵(1,0)A -，()45E -，∴()22145=52=--+AE当2230x x -++=时，解得1x =-或3 ∴B 点坐标为(3,0)， ∴3OB OC ==∴45ABC ∠=︒，4AB =，32BC =，由直线1y x =--可得AE 与y 轴的交点为(0,-1)，而A 点坐标为(-1,0) ∴∠BAE=45°设()p 0m ，则3m BP =-， ∵PBC ∆和ABE ∆相似 ∴PB AB BC AE =或PB AE BC AB =，即3252=或52432=解得35m =或92m =-， ∴3p 05⎛⎫ ⎪⎝⎭，或9p 02⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，是中考常见的压轴题型，熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质是解题的关键．【变式1-2】如图，已知抛物线1(2)()y x x m m=-+-(m ＞0)与x 轴相交于点A ，B ，与y 轴相交于点C ，且点A 在点B 的左侧.（1）若抛物线过点（2，2），求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点H ，使AH+CH 的值最小，若存在，求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M ，使得以点A ，B ，M 为顶点的三角形与△ACB 相似？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）211242y x x =-++；（2）点H 的坐标为（1，32）；（3）当m=222+时，在第四象限内抛物线上存在点M ，使得以点A ，B ，M 为顶点的三角形与△ACB 相似. 【解析】 分析：（1）把点（2，2）代入1(2)()?(0)y x x m m m=-+->中，解出m 的值即可得到抛物线的解析式； （2）由（1）中所得解析式求出点A 、B 、C 的坐标，由题意可知，点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，这样连接BC 与对称轴的交点即为所求的点H ，根据B 、C 的坐标求出直线BC 的解析式即可求得点H 的坐标；（3）由解析式1(2)()?(0)y x x m m m=-+->可得点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，0）、（m ，0）和（0，2），如下图，由图可知∠ACB 和∠ABM 是钝角，因此存在两种可能性：①当△ACB ∽△ABM ，②△ACB ∽△MBA ，分这两种情况结合题中已知条件进行分析解答即可. 详解：（1）把点（2，2）代入抛物线， 得2=()()1222m m-+-. 解得m=4.∴抛物线的解析式为()()2111y x 2x 4x x 2442=-+-=-++. （2）令211y x x 2042=-++=，解得12x 2x 4=-=，. 则A （-2，0），B （4，0）.对称轴x=-121124=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭. ∵ 211y x x 242=-++中当x=0时，y=2，∴点C 的坐标为（0，2）.∵点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC 与对称轴的交点即为点H ，此时AH+CH 的值最小， 设直线BC 的解析式为y=kx+b ，把B （4，0），C （0，2）代入得：402k b b +=⎧⎨=⎩ ，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ，∴直线BC 的解析式为y=1x 22-+. ∵当x=1时，y=1122-⨯+=32.∴点H 的坐标为（1，32）.（3）假设存在点M ，使得以点A ，B ，M 为顶点的三角形与△ACB 相似. 如下图，连接AC ，BC ，AM ，BM ，过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，由图易知，∠ACB 和∠ABM 为钝角， ①当△ACB ∽△ABM 时，有AC AB =ABAM，即2AB AC?AM =. ∵A （-2，0），C （0，2），即OA=OC=2， ∴∠CAB=∠BAM=o 45.∵MN ⊥x 轴，∴∠BAM=∠AMN=45°， ∴AN=MN.∴可设M 的坐标为：（x ，-x-2）（x ＞0）， 把点M 的坐标代入抛物线的解析式，得：-x-2=()()1x 2x m m-+-. 化简整理得：x=2m ，∴点M 的坐标为：（2m ，-2m-2）. ∴()())222m 22m 222m 1++--=+.∵2AB AC?AM =，AC=22AB=m+2， ∴())2m 22222m 1+=+. 解得：m=222±. ∵m ＞0， ∴m=222+.②当△ACB ∽△MBA 时，有AB MA =CBBA，即2AB CB?MA =. ∵∠CBA=∠BAM ，∠ANM=∠BOC=o 90， ∴△ANM ∽△BOC ，∴MN AN =COBO. ∵BO=m ，设ON=x ， ∴2MN x +=2m ，即MN=2m（x+2）.令M （x ，()2x 2m-+）（x ＞0）， 把M 点的坐标代入抛物线的解析式，得()2x 2m -+=()()1x 2x m m-+-.解得x=m+2.即M （m+2，()2m 4m-+）.∵2AB CB?MA =，CB=2m 4AN m 4+=+，，MN=()2m 4m+， ∴()()()222224m 4m 2m 4?m 4m ++=+++. 化简整理，得16=0，显然不成立.综上所述，当m=222+时，在第四象限内抛物线上存在点M ，使得以点A ，B ，M 为顶点的三角形与△ACB 相似.点睛：本题是一道二次函数和几何图形综合的题目，解题的要点有以下两点：（1）“知道点A 、B 是关于抛物线的对称轴对称的，连接BC 与对称轴的交点即为所求的点H”是解答第2小题的关键；（2）“能根据题意画出符合要求的图形，知道∠ACB 和∠ABM 为钝角，结合题意得到存在：①当△ACB ∽△ABM ，②△ACB ∽△MBA 这两种可能情况”是解答第3小题的关键. 【考点2】二次函数与直角三角形问题【例2】如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()2,1-，图象与y 轴交于点()0,3C ，与x 轴交于A 、B 两点．()1求抛物线的解析式；()2设抛物线对称轴与直线BC 交于点D ，连接AC 、AD ，求ACD V 的面积；()3点E 为直线BC 上的任意一点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线交于点F ，问是否存在点E 使DEF V 为直角三角形？若存在，求出点E 坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)22(2)143y x x x =--=-+ ;(2)2;(3)见解析. 【解析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，把C 点坐标代入可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得A 、B 坐标，利用待定系数法可求得直线BC 解析式，利用对称轴可求得D 点坐标，则可求得AD 2、AC 2和CD 2，利用勾股定理的逆定理可判定△ACD 为直角三角形，则可求得其面积； （3）根据题意可分∠DFE=90°和∠EDF=90°两种情况，当∠DFE=90°时，可知DF ∥x 轴，则可求得E 点纵坐标，代入抛物线解析式可求得E 点坐标；当∠EDF=90°时，可求得直线AD 解析式，联立直线AC 和抛物线解析式可求得点E 的横坐标，代入直线BC 可求得点E 的坐标． 【详解】解：()1∵抛物线的顶点坐标为()2,1-， ∴可设抛物线解析式为()2(2)10y a x a =--≠，把()0,3C 代入可得2(02)13a --=，解得1a =，∴抛物线解析式为22(2)143y x x x =--=-+；()2在243y x x =-+中，令0y =可得2430x x -+=，解得1x =或3x =，∴()1,0A ，()3,0B ，设直线BC 解析式为3y kx =+，把()3,0B 代入得：330k +=，解得1k =-， ∴直线BC 解析式为3y x =-+，由()1可知抛物线的对称轴为2x =，此时231y =-+=， ∴()2,1D ，∴22AD =，210AC =，28CD =， ∵222AD CD AC +=，∴ACD V 是以AC 为斜边的直角三角形，∴11222ACD S AD CD =⋅==V ； ()3由题意知//EF y 轴，则90FED OCB ∠=∠≠o ，∴DEF V 为直角三角形，分90DFE ∠=o 和90EDF ∠=o 两种情况， ①当90DFE ∠=o 时，即//DF x 轴，则D 、F 的纵坐标相同， ∴F 点纵坐标为1，∵点F 在抛物线上，∴2431x x -+=，解得2x =E 的横坐标为2 ∵点E 在直线BC 上，∴当2x =31y x =-+=-2x =-31y x =-+=+∴E 点坐标为(2或(2-； ②当90EDF ∠=o 时， ∵()1,0A ，()2,1D ， ∴直线AD 解析式为1y x =-， ∵直线BC 解析式为3y x =-+， ∴AD BC ⊥，∴直线AD 与抛物线的交点即为E 点，联立直线AD 与抛物线解析式有2431x x x -+=-，解得1x =或4x =， 当1x =时，32y x =-+=，当4x =时，31y x =-+=-， ∴E 点坐标为()1,2或()4,1-，综上可知存在满足条件的点E ，其坐标为(2或(2+或()1,2或()4,1-． 【点睛】考查了待定系数法求函数解析式，利用已知的顶点坐标，列出方程组，可以求出函数解析式.【变式2-1】如图，经过x 轴上(10)(30)A B -，，，两点的抛物线2(1)4y m x m =--（0m <）交y 轴于点C ，设抛物线的顶点为D ，若以DB 为直径的⊙G 经过点C ，求解下列问题：（1）用含m 的代数式表示出C D ，的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）能否在抛物线上找到一点Q ，使BDQ △为直角三角形？如能，求出Q 点的坐标，若不能，请说明理由。
二次函数压轴题基本方法和结构
二次函数压轴基本结构和解题方法一、线1、线段与距离 （1）改“斜”归正已知：A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2),直线AB ：y =kx +b ，AB ⊥BC 水平线段：AC =|x 1−x 2| 铅垂线段：AC =|y 1−y 2|斜线段： AB =√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√k 2+1|x 1−x 2|（2）点到直线距离公式：d =PH =|km +b −n|√k 2+1（3）于涵定理 一般位置：条件：直线AB 交抛物线（二次项系数为a ）于AB 两点，铅垂线PQ 交抛物线于P ，交直线AB 于P ，AE ⊥PQ ，BF ⊥PQ 结论：①PQ =|a|∙AE ∙BF ；S △PAB =12PQ ∙(AE +BF )=12|a |∙AE ∙BF ∙(AE +BF )=12|a (x A −x P )(x P −x B )(x A −x B )|特殊位置① 若AB 为水平直线： PQ =|a|∙AQ ∙BQ ② 若AB 为水平直线，且AP ⊥BP ： PQ =1|a|（PQ =|a|∙AQ ∙BQ ，且PQ 2=AQ ∙BQ ）③ 若AB 为水平直线，且P 为抛物线顶点（类似于圆中的垂径结构）AB =√4PQ|a|④ 若AB 为x 轴，且P 为抛物线顶点:AB =√∆|a|（4）焦点准线焦点准线的定义：将抛物线的顶点向上/下平移14|a|个单位，就得到焦点和准线的位置。
焦点：F(−b2a ,14a)；准线：直线y=−14a条件：点P是抛物线上任意一点，过P点的直线（非铅垂线）与抛物线有位移公共点（“切线”），与对称轴交于S，与过顶点的水平线交于A，PM⊥准线于M；PQ过焦点F，过P、Q 的切线交于T结论：①PF=PM,DE=DF②PF=FS③FA⊥PS,PA=SA④当直线PQ绕焦点F转动时候，T点在准线上移动（阿基米德三角形特殊情况）⑤TP⊥TQ,TM=TN⑥以MN为直径的圆切PQ于F，以PQ为直径的圆切MN于T准线2、平行“弦”条件：AB//CD//l P结论：x A+x B=x C+x D=2x P变式一：若CE和DF为铅垂线，则AE=BF变式二：若将抛物线向下平移交直线AB于E、F，则AE=BF变式三：将抛物线沿着PQ方向平移，若AB//PQ，则AB=EF，AE=BF3、线段相等和比值（1）左右对称（纵向角平分线）特殊情况：条件：P为抛物线（顶点为M）对称轴上一点，过P点的直线PA交抛物线于C，过C作水平直线BC交抛物线于B点，连接AB交对称轴于Q，连接PB交抛物线于D；结论：①k PA+k PB=0；②PM=QM一般情况：条件：过抛物线内一点T作铅垂、水平直线，交抛物线于M、B、C，在铅垂线上取一点P，连接PC交抛物线于A，连接AB交铅垂线于Q结论：TBTC =QMPM（2）上下对称条件：水平直线与抛物线交于P、Q两点，直线PA、PB分别交抛物线于A、B，且∠APQ=∠BPQ，连接AB,过Q点的直线作抛物线的切线。
江苏专版【中考压轴题突破系列05】二次函数中的角的存在性问题
【中考压轴题专题突破】二次函数中的角的存在性问题1．直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是直线AB上方抛物线上一点；①当△PBA的面积最大时，求点P的坐标；②在①的条件下，点P关于抛物线对称轴的对称点为Q，在直线AB上是否存在点M，使得直线QM与直线BA的夹角是∠QAB的两倍？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过点B和点C，与x轴交于另一点A，连接AC．（1）求点A的坐标；（2）若点Q在直线BC上方的抛物线上，连接QC，QB，当△ABC与△QBC的面积比等于2：3时，直接写出点Q的坐标：（3）在（2）的条件下，点H在x轴的负半轴，连接AQ，QH，当∠AQH＝∠ACB时，直接写出点H的坐标．3．如图1，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，连接AC、BC，点D是线段BC上方抛物线上的一个动点，当S△BCD＝S时，求点D的坐标；△ABC（3）在抛物线上是否存在点P，使得∠CPO＝∠BPO？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴分别交于点C，其中点A（﹣1，0），点C（0，2），且∠ACB＝90°（1）求抛物线的解析式．（2）点P是线段ABC一动点，过P作PD∥AC交BC于D，当△PCD面积最大时，求点P的坐标．（3）点M是位于线段BC上方的抛物线上一点，当∠ABC恰好等于△BCM中的某个角时，求点M的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．6．在平面直角坐标系中，已知矩形OABC中的点A（0，4），抛物线y1＝ax2+bx+c经过原点O和点C，并且有最低点G（2，﹣1），点E，F分别在线段OC，BC上，且S△AEF＝S，CF＝1，直线BE的解析式为y2＝kx+b，其图象与抛物线在x轴下方的图象交于矩形OABC点D．（1）求抛物线的解析式；（2）当y1＜y2＜0时，求x的取值范围；（3）在线段BD上是否存在点M，使得∠DMC＝∠EAF，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．二次函数中的角的存在性问题参考答案与试题解析1．【分析】（1）直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，2），将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）①△PBA的面积S＝PN×OA＝×4×（﹣m2+m+2+m﹣2）＝﹣m2+4m，即可求解；②（Ⅰ）若：∠QM1B＝2∠QAM1，则QM1＝AM1，则（a﹣）2+（a﹣3）2＝（a﹣4）2+（﹣a+2）2，即可求解；（Ⅱ）若∠QM2B＝2∠QAM1，则∠QM2B＝∠QM1B，QM1＝QM2，M2、M1关于B对称，即可求解．【解答】（1）直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，2），将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）①过点P作y轴的平行线交BC于点N，设P（m，﹣m2+m+2），点N（m，﹣m+2），则：△PBA的面积S＝PN×OA＝×4×（﹣m2+m+2+m﹣2）＝﹣m2+4m，当m＝2时，S最大，此时，点P（2，5）；②点P（2，5），则点Q（，5），设点M（a，﹣a+2）；（Ⅰ）若：∠QM1B＝2∠QAM1，则QM1＝AM1，则（a﹣）2+（a﹣3）2＝（a﹣4）2+（﹣a+2）2，解得：a＝，故点M1（，）；（Ⅱ）若∠QM2B＝2∠QAM1，则∠QM2B＝∠QM1B，QM1＝QM2，作QH⊥AB于H，BQ的延长线交x轴于点N，则tan∠BAO＝＝，则tan∠QNA＝2，故直线QH表达式中的k为2，设直线QH的表达式为：y＝2x+b，将点Q的坐标代入上式并解得：b＝2，故直线QH的表达式为：y＝2x+2，故H（0，2）与B重合，M2、M1关于B对称，∴M2（﹣，）；综上，点M的坐标为：（，）或（﹣，）．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．2．【分析】（1）直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，则点B、C的坐标分别为：（5，0）、（0，5），即可求解；（2）过点A作直线BC的平行线n交y轴于点M，则点M（0，1），则CM＝5﹣1＝4，在点C上方取CN＝CM＝6，过点N作直线m交抛物线于点Q（Q′），则点Q为所求，即可求解；（3）分点Q（6，5）、点Q（﹣1，12）两种情况，分别求解即可．【解答】（1）直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，则点B、C的坐标分别为：（5，0）、（0，5），则c＝5，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝﹣6，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣6x+5；（2）过点A作直线BC的平行线n交y轴于点M，则点M（0，1），则CM＝5﹣1＝4，在点C上方取CN＝CM＝6，过点N作直线m交抛物线于点Q（Q′），则点Q为所求，则点N（0，11），则直线m的表达式为：y＝﹣x+11…②，联立①②并解得：x＝﹣1或6，故点Q（﹣1，12）或（6，5）；（3）过点A作AK⊥BC于点K，AB＝4，则AK＝BK＝2，AC＝，则sin∠ABC＝＝＝sinα，则tan；①当点Q（6，5）时，过点H作HR⊥AQ交QA的延长线于点R，由点A、Q的坐标知，tan∠QAB＝1＝tanβ，故β＝45°，AQ＝5，则HR＝AR＝x，tan∠HQR＝tanα＝＝＝，解得：x＝10，AH＝x＝20，故点H（﹣19，0）；②当点Q（﹣1，12）时，同理可得：点H（﹣，0）；综上，点H的坐标为：（﹣19，0）或（﹣，0）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．3．【分析】（1）将点A（﹣1，0）代入得：﹣1﹣b+3＝0，解得：b＝2，即可求解；（2）DH＝﹣a2+2a+3﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a，，整理得a2﹣3a+2＝0，即可求解；（3）①如图2，作BC的垂直平分线交抛物线于点P1、P2，此时∠CPO＝∠BPO，△BOC 是等腰直角三角形，OP垂直平分BC，即可求解；②如图3，作△BOC的外接圆，与抛物线交于点P3、P4，过点P3作x轴平行线交y轴于点N，过点B作P3N的垂线交NP3的延长线于点M，即可求解．【解答】（1）将点A（﹣1，0）代入得：﹣1﹣b+3＝0，解得：b＝2，∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）当﹣x2+2x+3＝0时解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0）、B（3，0），∴AB＝4，∵C（0，3），∴OC＝3∴∵，∴∵B（3，0）、C（0，3），∴y BC＝﹣x+3如图1，设D（a，﹣a2+2a+3），过点D作x轴垂线，交BC于点H，则H（a，﹣a+3）∴DH＝﹣a2+2a+3﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a∴，整理得a2﹣3a+2＝0解得：a1＝1，a2＝2，当a＝1时，y＝4；当a＝2时，y＝3∴D（1，4）或D（2，3）；（3）存在①如图2，作BC的垂直平分线交抛物线于点P1、P2，此时∠CPO＝∠BPO，∵△BOC是等腰直角三角形，OP垂直平分BC∴y OP＝x，由得x2﹣x﹣3＝0，解得：，∴，；②如图3，作△BOC的外接圆，与抛物线交于点P3、P4∵BO＝CO，∴∠BP3O＝∠CP3O∵BC为直径，∴∠BP3C＝90°过点P3作x轴平行线交y轴于点N，过点B作P3N的垂线交NP3的延长线于点M ∵∠CNP3＝∠P3MB＝∠CP3B＝90°∴∠NP3C+∠MP3B＝90°，∠MP3B+∠MBP3＝90°∴∠NP3C＝∠MBP3，∴tan∠NP3C＝tan∠MBP3，∴设，则∴，整理得：m2﹣m﹣1＝0解得：当时，点P在第二象限，此时∠CPO＞∠BPO，故舍去当时，，∴P3（，）；综上所述：；；．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本性质、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．4．【分析】（1）根据射影定理求出点B（4，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），将点（0，2）代入求出a＝﹣，然后化为一般式即可；（2）过点P作y轴的平行线交BC于点E，设P（m，0），用待定系数法分别求出直线BC，直线AC，直线PD的解析式，可表示出点E，点D的坐标，然后根据三角形面积公式列出二次函数解析式，利用二次函数的性质求解即可；（3）分两种情况求解：当∠BCM＝∠ABC时和当∠CBM＝∠ABC时，由相似三角形的性质可求出点M的坐标．【解答】（1）∵A（﹣1，0），C（0，2），∴OA＝1，OC＝2，∵∠ACB＝90°，∴由射影定理可得：OC2＝OA•OB，∴OB＝4，∴点B（4，0），设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4），将点（0，2）代入上式得：a×1×（﹣4）＝2解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝；（2）如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点E，设P（m，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（4，0），C（2，0）代入得，，∴，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，∴，同样的方法可求得直线AC的解析式为y＝2x+2，可设直线PD的解析式为y＝2x+b，把P（m，0）代入得b＝﹣2m，联立，解得，．∴．∴＝＝﹣．故当m＝＝时，S最大，此时P（，0）．（3）由题意知，∠BMC≠∠ABC，当∠BCM＝∠ABC时，CM∥AB，如图2，∴点C与点M关于抛物线的对称轴对称，∴M（3，2）；当∠CBM＝∠ABC时，如图3，过M作MF⊥BC于F，过F作y轴的平行线，交x轴于G，交过M平行于x轴的直线于K，∵∠CBM＝∠ABC，∠BFM＝∠BGF，∴△MFK∽△FGB，同理可证：△MBF∽△MFK∽△FBG∽△CBO，∴，．设G（n，0），则F（n，﹣+2），∴，KF＝﹣，∴M（），代入抛物线解析式可解得，n＝，n＝4（舍去）．∴，）．综合以上可得M点的坐标为（3，2）或（）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法求出抛物线的解析式及理解运用分类讨论的思想方法．5．【分析】（1）本题所求二次函数的解析式含有两个待定字母，一般需要两个点的坐标建立方程组，现在可求A、B点坐标，代入列方程组可解答；（2）根据∠ADC＝90°，∠ACD＝∠BCP，可知相似存在两种情况：①当∠CBP＝90°时，如图1，过P作PN⊥y轴于N，证明△AOB∽△BNP，列比例式可得结论；②当∠CPB＝90°时，如图2，则B和P是对称点，可得P的纵坐标为﹣2，代入抛物线的解析式可得结论；（3）分两种情况：①当∠PBQ＝2∠OAB时，如图3，作辅助线，构建相似三角形，证明△BOE∽△HPB，得，设P（x，x2﹣x﹣2），则H（x，x﹣2），列方程可得结论；②当∠BPQ＝2∠OAB时，如图4，同理作辅助线，设点P（t，t2﹣t﹣2），则H（t，t﹣2），根据面积法表示PQ的长，证明△PBQ∽△EOF，可得BQ的长，最后根据勾股定理可得结论．【解答】（1）令x＝0，得y＝x﹣2＝﹣2，则B（0，﹣2），令y＝0，得0＝x﹣2，解得x＝4，则A（4，0），把A（4，0），B（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c（a≠0）中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）∵PM∥y轴，∴∠ADC＝90°，∵∠ACD＝∠BCP，∴以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，存在两种情况：①当∠CBP＝90°时，如图1，过P作PN⊥y轴于N，设P（x，x2﹣x﹣2），则C（x，x﹣2），∵∠ABO+∠PBN＝∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠PBN＝∠OAB，∵∠AOB＝∠BNP＝90°，∴△AOB∽△BNP，∴，即＝，解得：x1＝0（舍），x2＝，∴P（，﹣5）；②当∠CPB＝90°时，如图2，则B和P是对称点，当y＝﹣2时，x2﹣x﹣2＝﹣2，x1＝0（舍），x2＝，∴P（，﹣2）；综上，点P的坐标是（，﹣5）或（，﹣2）；（3）∵OA＝4，OB＝2，∠AOB＝90°，∴∠BOA≠45°，∴∠BQP≠2∠BOA，∴分两种情况：①当∠PBQ＝2∠OAB时，如图3，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，∴OE＝AE，∴∠OAB＝∠AOE，∴∠OEB＝2∠OAB＝∠PBQ，∵OB∥PG，∴∠OBE＝∠PHB，∴△BOE∽△HPB，∴，由勾股定理得：AB＝＝2，∴BE＝，∵GH∥OB，∴，即，∴BH＝x，设P（x，x2﹣x﹣2），则H（x，x﹣2），∴PH＝x﹣2﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+4x，∴，解得：x1＝0，x2＝3，∴点P的横坐标是3；②当∠BPQ＝2∠OAB时，如图4，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，过O作OF⊥AB于F，连接AP，则∠BPQ＝∠OEF，设点P（t，t2﹣t﹣2），则H（t，t﹣2），∴PH＝t﹣2﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+4t，∵OB＝4，OC＝2，∴BC＝2，∴OE＝BE＝CE＝，OF＝＝＝，∴EF＝＝＝，S△ABP＝＝，∴2PQ＝4（﹣t2+4t），PQ＝，∵∠OFE＝∠PQB＝90°，∴△PBQ∽△EOF，∴，即，∴BQ＝，∵BQ2+PQ2＝PB2，∴＝，44t2﹣388t+803＝0，（2t﹣11）（22t﹣73）＝0，解得：t1＝5.5（舍），t2＝；综上，存在点P，使得△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，其P点的横坐标为3或．【点评】此题是二次函数的综合题，是中考的压轴题，难度较大，计算量也大，主要考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，相似三角形的性质与判定，并学会构造相似三角形解决问题．6．【分析】（1）可设顶点式解析式，将原点坐标代入即可求出抛物线的解析式；（2）如图1，过点F作FH∥OC，与AE交于点H，通过面积法求出点H的坐标，通过求出直线AH的解析式推出点E坐标，再求出直线BE的解析式，最后求出直线BE与抛物线的交点，即可由二次函数与一次函数之间的关系写出结论；（3）先证点A，B，F，E四点共圆，如图2，作BC得垂直平分线交直线EB于点N，连接NC，求出点N坐标，再作NC的垂直平分线交直线BD于点M，设M（n，2n﹣4），由MN ＝MC，可列出关于n的方程，此时∠DMC＝2∠MNC＝4∠EBC＝4∠EAF，即可写出点M 的坐标．【解答】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，由题意可得h＝2，k＝﹣1且抛物线经过原点，∴0＝a（0﹣2）2﹣1，解得，∴抛物线的解析式为；（2）由（1）可知抛物线的对称轴为x＝2，点O与点C关于x＝2对称，∴C（4，0），OC＝4，∵A（0，4），CF＝1，∴OA＝4，S矩形OABC＝OA•OC＝16，F（4，1），∵，∴S△AEF＝5，如图1，过点F作FH∥OC，与AE交于点H，∴，∴，，设直线AH的解析式为y＝k1x+4，∴，∴k1＝﹣2，∴直线AH的解析式为y＝﹣2x+4，当y＝0时，求得x＝2，∴E（2，0），而B（4，4），∴直线BE：y2＝2x﹣4，∵点D在直线BE上，故D（x，2x﹣4）同时也满足抛物线，故，解得：，（舍去），∴，当0＞y2＞y1时，从图象可得直线在抛物线的上方且都在x轴的下方才满足条件，对应x的取值范围为；（3）∵E（2，0），F（4，1），A（0，4），∴，AF＝5，，∴AE2+EF2＝AF2，而矩形OABC，∴∠AEF＝90°，∠ABC＝90°，∴∠AEF+∠ABC＝180°，∴点A，B，F，E四点共圆，∴∠EAF＝∠EBC如图2，作BC的垂直平分线交直线EB于点N，连接NC，则NB＝NC，∠NBC＝∠NCB，∴∠ENC＝2∠EBC，设N（x N，2），则2＝2x N﹣4，解得x N＝3，∴N（3，2），作NC的垂直平分线交直线BD于点M（n，2n﹣4），B（4，4），C（4，0），∴，，则MN＝MC，∴∠MNC＝∠MCN，∴∠DMC＝2∠MNC＝4∠EBC＝4∠EAF，∴，解得：n＝，∴，综上所述，点M的坐标为．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，圆的有关性质等，解题关键是能够通过作线段的垂直平分线构造2倍角等．。
二次函数存在性问题,角度问题
二次函数存在性问题，角度问题1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在第四象限内的抛物线上，过动点P作x轴的垂线交直线AC于点D，交x轴于点E，垂足为E，求线段PD的长，当线段PD最长时，求出点P的坐标；（3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．2．如图，在直角坐标系中，二次函数经过A（﹣2，0），B（2，2），C（0，2）三个点．（1）求该二次函数的解析式．（2）若在该函数图象的对称轴上有个动点D，求当D点坐标为何值时，△ACD的周长最小．（3）在直线y＝x上是否存在一点E，使得△ACE为直角三角形？有，请求出E点坐标；没有，说明理由．3．如图抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）P是抛物线上直线BC上方的一点，过点P作PQ⊥BC于点Q，求PQ的最大值及此时P点坐标；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠BCM＝∠BCO？若存在，求直线CM的解析式．4．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度；最大时，求点E的坐标及S△ABF（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴相交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．6．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．（1）点A的坐标为，点B的坐标为；（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC 的面积；（3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．（1）求这个抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设动点P的横坐标为m，△PAC的面积为S．请直接写出面积S随着m的增大而减小时m的取值范围．8．如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B．（1）求抛物线解析式；（2）E（m，0）是x轴上一动点，过点E作ED⊥x轴于点E，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接PB．①点E在线段OA上运动，若△PBD是等腰三角形时，求点E的坐标；②点E在x轴的正半轴上运动，若∠PBD+∠CBO＝45°，请直接写出m的值．9．如图在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x+c与两坐标轴分别交于A，B，C三点，且OC＝OB，点G是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）若点M为第四象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，四边形OCMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是x轴上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、A、G为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点P的坐标．10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n 与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣2，0），D（10，﹣12），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A，D重合）．（1）求抛物线和直线l的解析式．（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF 的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N，C，M，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n 与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y ＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．（1）直接写出抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，连接PA、PD，①当△PAD的面积最大时，P点的坐标是；②当AB平分∠DAP时，求线段PA的长．（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+x+c与x轴的另一个交点为A．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，当△BCE面积最大时，求出点M的坐标；（3）在（2）的结论下，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，A，M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标：如果不存在，请说明理由．13．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是顶点，过：S△CEB＝3：5．点C的直线交线段AB于点E，且S△ACE（1）求抛物线的解析式及直线CE的解析式；（2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；（3）已知点H（0，），G（2，0），在抛物线对称轴上找一点F，使AF+FH的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K，使KF+KG的值最小？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）P是直线BC上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到BC的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值；（3）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点N坐标．15．如图，抛物线y＝x2+bx+c过A（4，0），B（2，3）两点，交y轴于点C．动点P从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线CA运动，设运动的时间为t秒．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q．当t＝时，求PQ的长；（3）若在平面内存在一点M，使得以A，B，P，M为顶点的四边形是菱形，求点M的坐标．16．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．已知直线y＝kx+n 过B，C两点．（1）求抛物线和直线BC的表达式；（2）点P是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求的最大值；②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣的图象经过点A（﹣1，0），C（2，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式及其顶点的坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD的最小值；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一个动点，若平面内存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个．18．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B（5，0），C（0，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴直线l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于A（2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，当∠PCB＝∠BCO时，求点P的横坐标．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在该抛物线上且在第一象限．（1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD＝3BD时，求m的值；（3）连接BC，当∠CBA＝2∠BAO时，求点C的坐标．22．如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图②，若点D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜3），连接CD，BD，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；（3）抛物线上是否存在点P，使∠CBP+∠ACO＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，交y轴于点C，CO＝3AO，点P是抛物线上第一象限内的一动点，点Q在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作PD∥y轴交BC于点D，求线段PD长度的最大值；（3）如图2，当BQ交y轴于点M，∠QBC＝∠PBC，∠BCP＝45°，求点M的坐标．。
二次函数压轴题之等腰三角形的存在性问题
2022/1/27
1 等腰三角形存在性问题解决方法； 2 二次函数背景下的等腰三角形问题；
2022/1/27
二次函数压轴题之等腰三角形的存在性问题
A
B
C
分类讨论：一般情况下分三种情况进行讨论
1.AB=AC; 2.BA=BC; 3.CA=CB
2022/1/27
二次函数压轴题之等腰三角形的存在性问题 3.PA=PC
Ｃ
D
A
2022/1/27
P5 E
作AC的垂直平分线与对称轴的交点即为Ｐ PCD APE，PE=1故P5(1,1)
thanks
2022/1/27
第三类讨论
方法一：设x轴上的P(a, 0)由PA=PO得
y
a2 16 (a 3)2, a 7 故P( 25 , 0) 66
同理设y轴上的P(0, b)由PA=PO得
A
O
x
( 25 , 0)(0, 25)
6
4
b2 (4 b)2 9,b 25 P(0, 25)
8
8
方法二：OA的中点为( 3 , 2),直线OA：y 4 x
A
P1
2022/1/27
二次函数压轴题之等腰三角形的存在性问题
Ｃ
P3 A
2.AC=AP
以C为圆心CA为半径作圆，设P3(1, c)P4 (1, d) 由勾股定理得 c2 32 2 5, d 2 32 2 5 c 11, d 11 P3(1, 11)P4 (1, 11)
P4
2022/1/27
2022/1/27
y 1 x2 x 4，对称轴为直线x 1 2
二次函数压轴题之等腰三角形的存在性问题
最新九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题--角度问题
2023年九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题--角度问题1．在平面直角坐标系 xOy 中， 已知抛物线 y =2x −2x −3 与 x 轴交于 A 、 B 两点， 与 y 轴交于 C 点， D 为抛物线顶点．(1)A 点坐标： ；顶点D 的坐标： ；(2)如图1，抛物线的对称轴上是否存在点T ，使得线段TA 绕点T 顺时针旋转90°后，点A 的对应点A '恰好也落在此拋物线上? 若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，连接AD ，交y 轴于点E ，P 是抛物线上第四象限的一个动点，连接 AP 、BE 交于点G ，设BGP ABGSw S=， 则w 有最大值还是最小值？w 的最值是多少？(4)点Q 是抛物线对称轴上一动点， 连接OQ 、AQ ，设 AOQ △ 外接圆圆心为H ， 当 sin OQA ∠的值最大时， 变直接写出点H 的坐标 ．2．如图，抛物线222433y x x =-++与坐标轴分别交于A ，B ，C 三点，P 是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m ．(1)A ，B ，C 三点的坐标为____________，____________，____________；(2)连接AP ，交线段BC 于点D ， ①当CP 与x 轴平行时，求PDDA的值； ①当CP 与x 轴不平行时，求PDDA的最大值； (3)连接CP ，是否存在点P ，使得290BCO PCB ∠+∠=︒，若存在，求m 的值，若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于()()2,08,0A B -、两点，与y 轴交于点()0,4C ，连接AC 、BC ．(1)求抛物线的表达式；(2)将ABC 沿AC 所在直线折叠，得到ADC ，点B 的对应点为D ，直接写出点D 的坐标．并求出四边形OADC 的面积；(3)点P 是抛物线上的一动点，当PCB ABC ∠=∠时，求点P 的坐标．4．如图，已知抛物线的顶点坐标为M （1，4），且经过点N （2，3），与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，点P 在对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）直线CM 与x 轴交于点D ，若DME APE ∠∠=，求点P 的坐标；（3）请探索：是否存在这样的点P ，使ANB 2APE ∠∠=？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图1，抛物线()22212y x t x t t =--+--+与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 右边），与y 轴交于C 点． （1）当12t =时，直接写出点A 、B 、C 的坐标； （2）在（1）的条件下，点P 在y 轴的负半轴上，延长PB 至点M ，使CBM OBC ∠=∠，求直线PM 的解析式；（3）如图2，若点Q 是抛物线上点B ．C 之间的动点，直线QA ．QB 分别交y 轴于D ．E 两点，设点Q 的横坐标为m ，求DEm的值．6．抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 和B （点A 在点B 的左侧），与y 轴负半轴交于点C ，OB OC =，点()2,3D -在抛物线上． （1）求抛物线的解析式；（2）点1(,1)4P m km +（n 为任意实数），当m 变化时，点P 在直线l 上运动，若点A ，D 到直线l 的距离相等，求k 的值；（3）M 为抛物线在第二象限内一动点，若45AMB ∠>︒，求点M 的横坐标M x 的取值范围．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为C(3，6)，与y 轴交于点B(0，3)，点A 是对称轴与x 轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①所示，直线AB 交抛物线于点E ，连接BC 、CE ，求①BCE 的面积； （3）如图①所示，在对称轴AC 的右侧作①ACD ＝30°交抛物线于点D ，求出D 点的坐标；并探究：在y 轴上是否存在点Q ，使①CQD ＝60°？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点小B ，与y 轴分别交于点C ，其中点()1,0A -，点()0,2C ．（1）求抛物线的解析式并确定ABC 形状；（2）点P 是线段AB 上一动点，过P 作//PD AC 交BC 于D ，当PCD 面积最大时，求点P 的坐标；（3）点M 是位于线段BC 上方的抛物线上一点，当ABC ∠恰好等于ABCM 中的某个角时，直接写出M 的坐标．9．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，与x 轴的另一个交点为C ． （1）直接写出点A 和点B 的坐标 （2）求抛物线的解析式（3）D 为直线AB 上方抛物线上一动点①连接DO 交AB 于点E ，若DE①OE ＝3①4，求点D 的坐标①是否存在点D ，使得∠DBA 的度数恰好是∠BAC 的2倍，如果存在，求点D 的坐标，如果不存在，请说明理由．10．如图，抛物线22y ax ax c =-+与x 轴交于点()2,0A -和B 两点，点()6,4C 在抛物线上．（1）直接写出B 点坐标：_________________，抛物线解析式为_________________（一般式）；（2）如图1，D 为y 轴左侧抛物线上一点，且2∠=∠DCA CAB ，求点D 的坐标； （3）如图2，直线y mx n =+与抛物线交于点E 、F ，连接CE 、CF 分别交y 轴于点M 、N ，若·3=OM ON ，求证：直线EF 经过定点，并求出这个定点的坐标．11．如图1，已知抛物线23y ax x c =-+与x 轴交于A 、C 点，与y 轴交于B 点，并与直线4y x =-交于A 、B 两点．（1）点A 的坐标为____；点B 的坐标为___；抛物线的解析式为___．（2）若在直线AB 的下方抛物线上有一点D （不与A ，B 重合），使得2DBA BAC ∠=∠，求点D 的坐标．（3）如图2，在（2）的条件下，过点D 作DE x ⊥轴于E ，在平面内是否存在点M ，使得DEA △绕M 点逆时针旋转90度后得到111D E A △，使111D E A △的两个顶点恰好落在抛物线上，若存在请求出点1D 的坐标，若不存在请说明理由．12．如图，直线3y kx =-与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，经过A ，B 两点的抛物线2(1)=-+y x m 与x 轴负半轴交于点C ．（1）求m 和k 的值；（2）过点B 作//BD x 轴交该抛物线于点D ，连结CD 交y 轴于点E ，连结CB ． ①求BCD OBC ∠+∠的度数；①在x 轴上有一动点F ，直线BF 交抛物线于点P ，若ABP BCD ∠=∠时，求此时点P 的坐标．13．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＜0）与x 轴交于点A （﹣2，0）和点B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝12；连接AC ，BC ，S △ABC ＝15． （1）求抛物线的解析式；（2）①点M 是x 轴上方抛物线上一点，且横坐标为m ，过点M 作MN ①x 轴，垂足为点N ．线段MN 有一点H （点H 与点M ，N 不重合），且①HBA +①MAB ＝90°，求HN 的长； ①在①的条件下，若MH ＝2NH ，直接写出m 的值； （3）在（2）的条件下，设d ＝MANNBHS S ∆∆，直搂写出d 关于m 的函数解析式，并写出m 的取值范围．14．已知，点53,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点()4,3B 和抛物线214y x =，将抛物线214y x =沿着y 轴方向平移经过点53,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，画出平移后的抛物线如图所示．（1）平移后的抛物线是否经过点 ()4,3B ？说明你的理由；（2）在平移后的抛物线上且位于直线AB 下方的图像上是否存在点P ，使7PABS =？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在平移后的抛物线上有点M ，过点M 作直线2y =-的垂线，垂足为N ，连接OM ON 、，当60MON ∠=︒时，求点M 的坐标．15．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，抛物线2(0)y x bx c c =++<的顶点为A ，且与y 轴的交点为B ，过点B 作//BC x 轴交抛物线于点(4,4)C --，在CB 延长线上取点D ，使12BD BC =，连接OC ，OD ，AC 和AD ．（1）求抛物线的解析式；（2）试判断四边形ADOC 的形状，并说明理由；（3）试探究在抛物线上是否存在点P ，使得45POC ∠=︒．若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图1，直线:2l y x =-+与y 轴相交于点A ，抛物线21:(1)L y x m =-+也经过点A ，其顶点为B ．将该抛物线沿直线l 平移使顶点B 落在直线l 上的点D 处，点D 的横坐标为(1)n n >．（1）求点B 坐标；（2）求平移后的抛物线2L 的解析式（用含n 的式子表示）；（3）若平移后的抛物线2L 与原抛物线1L 相交于点C ，且点C 的横坐标为a ． ①请求出a 关于n 的函数关系式；①如图2，连接AC 、CD ，若90ACD ∠=︒，求a 的值．17．如图，抛物线2()20y ax x c a =++＜与x 轴交于点A 和点B (点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧)，与y 轴交于点C ，3OB OC ==． (1)求该抛物线的函数解析式．(2)如图1，连接BC ，点D 是直线BC 上方抛物线上的点，连接OD ，CD ．OD 交BC 于点F ，当32COFCDFSS=：:时，求点D 的坐标．(3)如图2，点E 的坐标为(03)2-，，点P 是抛物线上的点，连接EB PB PE ，，形成的PBE △中，是否存在点P ，使PBE ∠或PEB ∠等于2OBE ∠？若存在，请直接写出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．18．已知抛物线过点A （-4，0），顶点坐标为C （-2，-1）． （1）求这个抛物线的解析式．（2）点B 在抛物线上，且B 点的横坐标为-1，点P 在x 轴上方抛物线上一点，且①PAB=45°，求点P 的坐标．（3）点M 在x 轴下方抛物线上一点，点M 、N 关于x 轴对称，直线AN 交抛物线于点D ．连结MD 交两坐标轴于E 、F 点. 求证：OE=OF ．19．如图1，已知：抛物线2y ax bx c =++过点()()()104358，、，、，，交x 轴于点C ，点B （C在B 左边），交y 轴于点A ． （1）求抛物线的解析式；（2）D 为抛物线上一动点，ABD CAB ABC ∠=∠+∠，求点D 的坐标；（3）如图2，():370l y kx k k =-+≠交抛物线于,M N 两点（,M N 不与,C B 重合），直线,MC NC 分别交y 轴于点I ，点J ，试求此时OI OJ 是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由．20．如图，为已知抛物线25y ax bx =++经过()()5,0,4,3A B ---两点，与x 轴的另一个交点为C ，顶点为D ，连结CD ．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P 为该抛物线上一动点（与点B C 、不重合），设点P 的横坐标为t ． ①当3PBC S ∆=时，求t 的值；①该抛物线上是否存在点P ，使得PBC BCD ∠=∠？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，点A 在x 轴正半轴上，点B 在y 轴正半轴上，OA ＝OB ，点C 的坐标为（﹣1，0），OA ：OC ＝3：1，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，顶点为D ．（1）求a、b、c的值；（2）若直线y＝13x+n与x轴交于点E，与y轴交于点F．①当n＝﹣1时，求①BAF﹣①BAD的值；①若直线EF上有点H，使①AHC＝90°，求n的取值范围．参考答案：1．(1)（-1，0），（1，-4）(2)点T 的坐标为(1，3)或(1，-2)；(3)w 有最小值，最小值为2425； (4)（-12-12，）2．(1)()2,0A -;()3,0B ;()0,4C (2)①15；①940 (3)存在点P ，74m =3．(1)213442y x x =-++ (2)()8,8,24D -(3)()6,4P 或34100,39⎛⎫- ⎪⎝⎭4．（1）y=-x 2+2x+3；（2）P （1，2）或（1，-2）；（3）P （1）或（1，1）．5．（1）5(,0)2A -、1(,0)2B 、5(0,)4C ；（2）20102121y x =-；（3）36．（1）223y x x =--；（2）54-或14-；（3）1M x ＜﹣17．（1）21233y x x =-++；（2）27；（3）D 点坐标为()33D +-，存在，Q 点坐标为(0，或(0，8．（1）213222y x x =-++，直角三角形；（2）3(,0)2p ；（3）M 点坐标为()3,2或528,39⎛⎫ ⎪⎝⎭9．（1）()()4,0,0,2A B -；（2）213222y x x =--+；（3）①()1,3D -或()3,2D -；①存在，()2,3D -． 10．（1）()4,0，211242y x x =--；（2）D 坐标为()6,10-；（3）定点坐标为45,39⎛⎫-- ⎪⎝⎭11．（1）()()4,0,0,4-，234y x x =--；（2）()2,6D -；（3）存在，1543,39D ⎛⎫- ⎪⎝⎭12．（1）4m =-，1k =；（2）①45︒；①(5,12)或720,39⎛⎫- ⎪⎝⎭13．（1）y ＝﹣x 2+x +6；（2）①1；（3）d ＝（m +2）2（﹣2＜m ＜3）．14．（3）M （2）或（，23-）． 15．（1）244y x x =+-；（2）四边形ADOC 是平行四边形，见解析；（3）存在，P 的坐标是(2--或(0,4)-16．（1）()1,1B ；（2）2()2=--+y x n n ；（3）①2n a =；①117．（1）2y x 2x 3=-++；（2）点D 的坐标为(14)，或(2)3，；（3）点P 的坐标为：(14)，或17()24-，或13209()24--，或． 18．（1）y=214x x +；（2）（125，9625）； 19．（1）243y x x =-+；（2）不存在点D ；（3）是，720．（1）265y x x =++；（2）①2t =-或3t =-或t =或t =①点P 的坐标为(32-，74-)或（0，5）21．（1）a =-1，b=2，c=3；（2）①①BAF ﹣①BAD ＝45°；①n 的取值范围n。
中考数学压轴题之--二次函数角度的存在性问题(一)(含答案)
中考数学压轴题之--二次函数角度的存在性问题（一）试卷简介:考查平行四边形存在性问题，从分析平行四边形的顶点开始，确定定点、动点，挖掘不变特征，借助平行四边形的性质以及函数特征建等式解决问题。
一、单选题(共5道，每道20分)1.如图，已知抛物线经过点A（2，0）．设抛物线与x轴的另一交点为B，抛物线的顶点为P．若在直线上存在点D，使四边形OPBD为平行四边形，则点D的坐标为( )A.B.C.或D.，或答案：A解题思路：要使得四边形OPBD为平行四边形，分析定点、动点，O，P，B为定点，D为直线上的动点，四边形四个顶点的位置关系确定．将点A的坐标代入抛物线表达式得，，解得，∴抛物线的表达式为，∴B（6，0），．易求得直线PB的表达式为，与直线平行．要使得四边形OPBD为平行四边形，需OP∥BD．如图，过点B作OP的平行线，与直线的交点即为点D．由O（0，0），可得直线OP的表达式为，由OP∥BD得直线BD的斜率为，结合点B的坐标（6，0），得直线BD的表达式为．由得，，∴点D的坐标为．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性2.如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点A，与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上一动点，E是直线AB上一动点．若以O，D，A，E为顶点的四边形是平行四边形，则点E的坐标为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：1．解题要点①根据题目要求，确定为平行四边形存在性问题．②分析定点、动点，挖掘不变特征．O，A为定点，D，E分别为直线AC和直线AB上的动点，OA为定线段，把OA当作平行四边形的边或对角线来分类讨论．③每种情况下，分析几何特征，画出图形，表达线段长，建等式求解．2．解题过程由得，，即点的坐标为．①当OA为边时，把OA进行平移，有两种情况．如图，当四边形OAED是平行四边形时，∵AB∥OD，∴直线OD的表达式为y=x，∵，∴．如图，当四边形OEDA为平行四边形时，∵OE∥AD，∴直线OE的表达式为，由得，，即点E的坐标为．②当OA为对角线时，如图，四边形OEAD为平行四边形，此时OE∥AD，点E的坐标为．综上得，点E的坐标为．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性3.如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，AD⊥x轴，交BC于点D．P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点Q．设点P的横坐标为m，当以A，D，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，m的值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：1．解题要点①根据题目要求，确定为平行四边形存在性问题．②分析定点、动点，挖掘不变特征．A，D为定点，P，Q为动点，AD∥PQ，要使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，只需AD=PQ．③借助坐标表达线段长，建等式求解．2．解题过程由题意得，A（1，0），B（3，0），C（0，3），∴直线BC的表达式为，点D的坐标为（1，2），∴AD=2．由题意得，AD∥PQ．要使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，只需AD=PQ．①如图，当时，点Q在点P的上方，由题意得，，∴．由得，m=2或m=1（舍去），∴m的值为2．②如图，当时，点P在点Q的上方，则，由得，，∴m的值为．综上得，m的值为．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性4.如图，在矩形OABC中，OA=10，AB=8，点D在AB边上，沿直线CD折叠，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，抛物线经过O，D，C三点．点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，当以M，N，C，E为顶点的四边形是以CE为边的平行四边形时，点M的坐标为( )A.B.C.D.答案：B解题思路：1．解题要点在以M，N，C，E为顶点的四边形中，C，E为定点，M，N分别为抛物线和对称轴上的动点，从固定线段CE入手进行分析．由于CE是平行四边形的边，故利用平移来处理问题．2．解题过程由折叠可知，BD=DE，CE=CB=10．∵在Rt△EOC中，OC=AB=8，CE=10，∴OE=6，∴AE=4．设AD=m，则DE=BD=8-m，在Rt△ADE中，由勾股定理可得，解得，即，∴D（3，10）．由O（0，0），C（8，0），D（3，10）可求得抛物线的解析式为，∴抛物线的对称轴为直线x=4．如图，MN∥CE且MN=CE．①当四边形是平行四边形时，∵点的横坐标为4，∴点的横坐标为12，∴．②当四边形是平行四边形时，∵点的横坐标为4，∴点的横坐标为-4，∴．综上，满足题意的点M的坐标为．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性5.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），过点A的直线交抛物线于另一点D(2，-3)，且tan∠BAD=1．若点M在抛物线上，点N在x轴上，且以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为( )A.B.C.D.答案：C解题思路：1．解题要点①根据题目要求，确定为平行四边形存在性问题．②分析定点、动点，挖掘不变特征．A，D为定点，M，N分别为抛物线和x轴上的动点，AD为定线段，把AD当作平行四边形的边或对角线来分类讨论．③每种情况下，分析几何特征，画出图形，表达线段长，建等式求解．2．解题过程∵tan∠BAD=1，∴．又∵点D的坐标为(2，-3)，∴直线AD的表达式为y=-x-1，∴A（-1，0）．代入得，a=1，∴抛物线的表达式为．①如图，当AD为边时，易得点的纵坐标为-3，点的纵坐标均为3，代入抛物线解析式可得．如图，当AD为对角线时，∵∥，∴点的纵坐标为3，∴．综上，点M的坐标为．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性。
2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题(角度问题)(含答案)
2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题（角度问题）（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点，使P存在，请说明理由．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)在直线上是否存在点，使说明理由．(3)为第一象限内抛物线上的一个动点，且在直线，垂足为，以点为圆心，，且不经过点l C P PM l ⊥M M 2PAB PT S =V M e (4．如图，已知顶点为的抛物线与x 轴交于A ，B 两点，且．(1)求点B 的坐标；(2)求二次函数的解析式；(3)作直线，问抛物线上是否存在点M ，使得，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，，，与y 轴交于点C ，连接．()0,6C -()20y ax b a =+≠OC OB =()20y ax b a =+≠CB ()20y ax b a =+≠15MCB ∠=︒24y ax bx =+-()2,0A -()8,0B AC BC 、(1)求抛物线的解析式；(2)求证：；(3)点P 在抛物线上，且，求点P的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴交于、两点，与y 轴交于点C ，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)在对称轴上是否存在一点M ，使，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P 是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D ，当的值最大时，求此时点P 的坐标及的最大值．∠=∠ACO ABC PCB ACO ∠=∠()230y ax bx a =+-≠()3,0A ()1,0B -AC MCA MAC ∠=∠AC PD AC ⊥PD PD(1)试求抛物线的解析式；(2)点P 是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P 的坐标；(3)若M 是抛物线上一点，且，请直接写出点M 的坐标．BC BCP V MCB ABC ∠=∠(1)求此抛物线的解析式；(2)点E 是AC 延长线上一点，的平分线CD 交⊙于点D ，连接BD ，求点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使得？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．9．综合与实践：如图，抛物线与x 轴交于点和点，与y 轴交于点C ，连接，点D 在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)小明探究点D 位置时发现：如图1，点D 在第一象限内的抛物线上，连接，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值；(3)小明进一步探究点D 位置时发现：点D 在抛物线上移动，连接，存在BCE ∠O 'PDB CBD ∠=∠22y ax bx =++()1,0A -()4,0B BC BD CD BCD △BCD △CD(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，过点D 作轴，垂足为M ，点P 在直线P 作，，求的最大值，以及此时点(3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点得，请写出所有符合条件的点G 的横坐标，并写出其中一个的求解过DM x ⊥PE AD ⊥PF DM ⊥2PE PF +CA 5245CAG ∠=︒(1)填空：___________，___________；(2)点为直线上方抛物线上一动点．①连接、，设直线交线段于点，求的最大值；②过点作于点，连接，是否存在点，使得中的，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的解析式；b =c =D AC BC CD BD AC E DE EBD DF AC ⊥F CD D CDF V 2DCF BAC ∠=∠D(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点D ，使得？若存在，求出所有点不存在，请说明理由；(3)如图2，点E 是点B 关于抛物线对称轴的对称点，点F 是直线OB 动点，EF 与直线OB 交于点G ．设和的面积分别为值．DOB OBC ∠=∠BFG V BEG V S14．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于、两点且点，，与轴的负半轴交于点，．(1)求此抛物线的解析式；(2)在(1)的条件下，连接，点为直线下方的抛物线上的一点，过点作交于点，交直线于点，若，求点的坐标．(3)在(1)的条件下，点为该抛物线的顶点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，过点作于点，该抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点，连接交于点，当时，求的度数．15．已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．O 2y x bx c =++x A B (3B 0)y C OB OC =AC P BC P PQ AC ∥AB Q BC D PD DQ =P D C x R R RH AB ⊥H M DM RH Q 2MQ RQ =MQH ∠24y ax bx =++x ()1,0A ()4,0B y C参考答案：的值最大时，此时，。
2019中考数学 题型训练- 二次函数综合题压轴
2019中考·数学 ---二次函数综合题压轴题型类型1线段问题1.如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6相交于A(,)和B(4,c),点P是直线AB上的动点,设点P的横坐标为n,过点P作PC⊥x轴,交抛物线于点C,交x轴于点M.(1)求抛物线的解析式;(2)当点P在线段AB上运动时(点P不与点A,B重合),是否存在这样的点P,使线段PC的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由;(3)点P在直线AB上自由移动,当点C,P,M中恰有一点是其他两点所连线段的中点时,请直接写出n的值.2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,直线y=x-2与x轴交于点D,与y轴交于点C.点P是x轴下方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x 轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式;(2)若PE=3EF,求m的值;(3)连接PC,是否存在点P,使△PCE是以PC为腰的等腰三角形?若存在,请直接写出m的值;若不存在,请说明理由.3.[2019原创]如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,C(1,0),与y轴交于点B(0,-3).(1)求抛物线的解析式;(2)点P是直线AB下方的抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线,垂足为点F,交直线AB于点E,作PD⊥AB于点D.①当△PDE的周长最大时,求出点P的坐标;②连接AP,以AP为边在其右侧作正方形APMN,随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变.则当顶点M或N恰好落在抛物线的对称轴上时,请直接写出点P的坐标.备用图类型2面积问题4.[2018四川绵阳]如图,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)过点A(,-3)和点B(3,0),过点A 作直线AC∥x轴,交y轴于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线上取一点P,过点P作直线AC的垂线,垂足为D,连接OA,使得以A,D,P为顶点的三角形与△AOC相似,求出点P的坐标;(3)抛物线上是否存在点Q,使得S△AOC=S△AOQ?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.5.[2018山东东营]如图,抛物线y=a(x-1)(x-3)(a>0)与x轴交于A,B两点,抛物线上另有一点C在x轴下方,且△OCA∽△OBC.(1)求线段OC的长度;(2)设直线BC与y轴交于点M,点C恰为BM的中点,求直线BM和抛物线的解析式;(3)在(2)的条件下,直线BC下方的抛物线上是否存在一点P,使得四边形ABPC的面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.6.[2017开封二模]如图,已知抛物线y=a(x+1)(x-5)与x轴从左至右交于A,B两点,与y轴交于点C(0,5).(1)求该抛物线的函数解析式;(2)D是第一象限内抛物线上的一个动点(与点C,B不重合),过点D作DF⊥x轴于点F,交直线BC于点E,连接BD,CD,直线BC能否把△BDF分成面积之比为2∶3的两部分?若能,请求出点D的坐标;若不能,请说明理由;(3)若M为抛物线对称轴上一动点,△MBC为直角三角形,请直接写出点M的坐标.类型3等腰三角形的存在性问题7.[2018山西中考改编]如图,抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于点A(-3,0),B(4,0),与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m,过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交BC于点Q,过点P作PE∥AC交x轴于点E,交BC于点F.(1)求抛物线的解析式;(2)请用含m的代数式表示线段QF的长,并求出m为何值时QF有最大值;(3)试探究在点P运动的过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请直接写出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由.8.[2018洛阳二模]如图,二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A,B两点,交y轴于点C,顶点为点P,经过B,C两点的直线的解析式为y=-x+3. (1)求二次函数的解析式;(2)Q是直线BC下方抛物线上一动点,△QBC的面积是否有最大值?若有,请求出这个最大值和此时点Q的坐标;若无,请说明理由;(3)该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以点C,P,M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.9.如图,二次函数y=x2+bx-的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接DP,过点P作DP的垂线与y轴交于点E.(1)求抛物线的解析式及点B的坐标;(2)当点P在线段AO(点P不与A,O重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值,求出这个最大值;(3)是否存在这样的点P,使△PED是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积;若不存在,请说明理由.备用图类型4直角三角形、等腰直角三角形的存在性问题10.[2018四川眉山中考改编]如图(1),已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(1,0),其对称轴为直线l:x=2,过点A作AC∥x轴交抛物线于点C,∠AOB的平分线交线段AC于点E,点P 是抛物线上一个动点,设其横坐标为m. (1)求抛物线的解析式;(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上运动,连接PE,PO,当m为何值时,四边形AOPE的面积最大?并求出其最大值;(3)如图(2),点F是抛物线的对称轴l上的一点,在对称轴左侧、y轴右侧的抛物线上是否存在点P,使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.图(1)图(2)11.[2018辽宁沈阳中考改编]如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx-1经过点A(-2,1)和点B(-1,-1),抛物线C2:y=2x2+x+1,动直线x=t与抛物线C1交于点N,与抛物线C2交于点M (1)求抛物线C1的解析式; (2)直接．．用含t的代数式表示线段MN的长;(3)当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时,求t的值.备用图12.[2018平顶山二模]如图,已知直线y=x-3与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=x2+bx+c经过点A,B,且交x轴于点C. (1)求抛物线的解析式.(2)点P为抛物线上一点,且点P在直线AB的下方,设点P的横坐标为m.①试求当m为何值时,△PAB的面积最大;②当△PAB的面积最大时,过点P作x轴的垂线PD,垂足为点D,则在直线PD上是否存在点Q,使△QBC为直角三角形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.备用图类型5平行四边形的存在性问题13.[2018濮阳一模]如图,抛物线y=ax2+bx-3经过点A(2,-3),与x轴负半轴交于点B,与y 轴交于点C,且OC=3OB. (1)求抛物线的解析式; (2)点D在y轴上,且∠BDO=∠BAC,求点D 的坐标; (3)点M在抛物线上,点N在抛物线的对称轴上,是否存在以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.14.[2018新乡一模]如图,一次函数y=-x+2分别交y轴、x轴于A,B两点,抛物线y=-x2+bx+c过A,B两点. (1)求抛物线的解析式; (2)作垂直于x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于点M,交这个抛物线于点N.求当t取何值时,MN有最大值,最大值是多少;(3)在(2)的条件下,以A,M,N,D(点D为平面内一点)为顶点作平行四边形,求顶点D的坐标.15.在平面直角坐标系中,我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的“梦想直线”;定义有一个顶点在抛物线上,另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”.已知抛物线y=-x2-x+2与其“梦想直线”交于A,B两点(点A在点B的左侧),与x 轴负半轴交于点C. (1)填空:该抛物线的“梦想直线”的解析式为,点A的坐标为,点B的坐标为; (2)如图,点M为线段CB上一动点,将△ACM以AM 所在直线为对称轴翻折,点C的对称点为N,若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”,求点N的坐标; (3)当点E在抛物线的对称轴上运动时,在该抛物线的“梦想直线”上,是否存在点F,使得以点A,C,E,F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点E,F的坐标;若不存在,请说明理由.备用图类型6矩形、菱形、正方形的存在性问题16.如图,以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A,点B(-1,0),与y 轴交于点C(0,4),作直线AC.(1)求抛物线的解析式;(2)点P在抛物线的对称轴上,且到直线AC和x轴的距离相等.设点P的纵坐标为m,求m的值;(3)点M在y轴上且位于点C上方,点N在直线AC上,点Q为第一象限内抛物线上一点,若以点C,M,N,Q为顶点的四边形是菱形,请直接写出点Q的坐标.备用图17.[2018四川南充]如图,抛物线的顶点为P(1,4),且与y轴交于C(0,3),与x轴交于点A,B.(1)求抛物线的解析式.(2)Q是抛物线上除点P外一点,且△BCQ与△BCP的面积相等,求点Q的坐标.(3)若M,N为抛物线上两个动点,分别过点M,N作直线BC的垂线段,垂足分别为点D,E.是否存在点M,N使四边形MNED为正方形?若存在,请直接写出正方形MNED的边长;若不存在,请说明理由.18.如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=kx+h与x轴相交于点A(-1,0),与y轴相交于点C,与抛物线y=-x2+bx+3的一交点为点D,抛物线过x轴上的A,B两点,且CD=4AC.(1)求直线l和抛物线的解析式;(2)点E是直线l上方抛物线上的一动点,连接AE,DE,求△ADE面积最大时点E的坐标;(3)设点P是抛物线对称轴上一点,点Q在抛物线上,以A,D,P,Q为顶点的四边形能否为矩形?若能,请直接写出点P的坐标;若不能,请说明理由.备用图类型7相似三角形或全等三角形的存在性问题19.[2018四川达州中考改编]如图,抛物线经过原点O(0,0),A(1,1),B(,0).(1)求抛物线的解析式;(2)连接OA,过点A作AC⊥OA交抛物线于点C,连接OC,求△AOC的面积;(3)点M是y轴右侧抛物线上一动点,连接OM,过点M作MN⊥OM交x轴于点N.问:是否存在点M,使以点O,M,N为顶点的三角形与(2)中的△AOC相似?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.备用图20.[2018郑州外国语三模]如图,抛物线y=-x2+(3m+1)x-m(m>,且m为实数)与x轴交于A,B(点B位于点A的右侧,且AB≠OA)两点,与y轴交于点C.(1)填空:点B的坐标为,点C的坐标为(用含m的代数式表示).(2)当m=3时,在直线BC上方的抛物线上有一点M,过点M作x轴的垂线,交直线BC于点N,求线段MN长度的最大值.(3)在第四象限内是否存在点P,使得△PCO,△POA和△PAB中的任意两个三角形都相似(全等是相似的特殊情况)?如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.备用图21.[2018山东潍坊]如图(1),抛物线y1=ax2-x+c与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C(0,),抛物线y1的顶点为G,GM⊥x轴于点M.将抛物线y1平移后得到顶点为B,且对称轴为直线l的抛物线y2.(1)求抛物线y2的解析式.(2)如图(2),在直线l上是否存在点T,使△TAC是等腰三角形?若存在,请求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.(3)点P为抛物线y1上一动点,过点P作y轴的平行线,交抛物线y2于点Q,点Q关于直线l的对称点为R.若以点P,Q,R为顶点的三角形与△AMG全等,求直线PR的解析式.图(1)图(2)备用图类型8角度的存在性问题22.[2018广东]如图,已知顶点为C(0,-3)的抛物线y=ax2+b(a≠0)与x轴交于A,B两点,直线y=x+m过顶点C和点B.(1)求m的值;(2)求抛物线y=ax2+b(a≠0)的解析式;(3)抛物线上是否存在点M,使得∠MCB=15°?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.23.[2018许昌二模]如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,直线y=-x+2经过点A,C. (1)求抛物线的解析式. (2)点P为直线AC上方抛物线上一动点.①连接PO,交AC于点E,求的最大值.②过点P作PF⊥AC,垂足为点F,连接PC,是否存在点P,使△PFC中的一个角等于∠CAB的2倍?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.24.[2018安阳二模]如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+bx+c的图象与坐标轴交于A,B,C三点,其中点B的坐标为(1,0),点C的坐标为(0,4).已知点D的坐标为(0,2),点P为二次函数图象上的一动点. (1)求二次函数的解析式; (2)当点P位于第二象限内二次函数的图象上时,连接AD,AP,以AD,AP为邻边作平行四边形APED,设平行四边形APED的面积为S,求S 的最大值; (3)点F是y轴上一点,是否存在点F,P,使∠PDF与∠ADO互余?若存在,请直接写出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.参考答案1.(1)∵B(4,c)在直线y=x+2上,∴c=6,则B(4,6).∵A(,),B(4,6)在抛物线y=ax2+bx+6上,∴解得故抛物线的解析式为y=2x2-8x+6.(2)存在.易知点P的坐标为(n,n+2)(<n<4),点C的坐标为(n,2n2-8n+6),∴PC=(n+2)-(2n2-8n+6)=-2n2+9n-4=-2(n-)2+.∵-2<0,∴当n=时,线段PC的长取得最大值.(3)n的值为或.2.(1)将A(-1,0),B(3,0)两点的坐标分别代入y=ax2+bx-3中,得解得∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.(2)∵点P的横坐标为m,点P在x轴下方,∴P(m,m2-2m-3),E(m,m-2),F(m,0),且-1<m<3,∴PE=|y E-y P|=|(m-2)-(m2-2m-3)|=|-m2+3m+1|,EF=|y F-y E|=|0-(m-2)|=|-m+2|.∵PE=3EF,∴|-m2+3m+1|=3|-m+2|.①若-m2+3m+1=3(-m+2),整理,得m2-6m+5=0,解得m=1或m=5.∵-1<m<3,∴m=5不合题意,应舍去,∴m=1.②若-m2+3m+1=-3(-m+2),整理,得m2-7=0,解得m=或m=-.∵-1<m<3,∴m=-不合题意,应舍去,∴m=.综上所述,m的值为1或.(3)存在,m的值为1+,1-,或.3.(1)将B(0,-3),C(1,0)分别代入y=x2+bx+c,得解得故抛物线的解析式为y=x2+2x-3.(2)①令y=x2+2x-3=0,得x1=1,x2=-3,∴A(-3,0),∴OA=OB,∴∠BAO=45°,又∵PF⊥AO,∴∠AEF=45°,∴∠PED=45°,∴PD=DE,∴△PDE为等腰直角三角形,△PDE的周长为PE+2×=(1+)PE.设点F的横坐标为m,则PF=-m2-2m+3,FE=AF=m+3,∴PE=PF-FE=-m2-3m=-(m+)2+.∵点P是直线AB下方的抛物线上一动点,∴-3<m<0,∴当m=-时,PE最大,为,此时△PDE的周长最大,点P的坐标为(-,-).②点P的坐标为(,)或(-1-,-2).4.(1)把点A,B的坐标分别代入抛物线的解析式,得解得故抛物线的解析式为y=x2-x.(2)设点P的坐标为(m,n).∵A(,-3),∴C(0,-3),D(m,-3),∴PD=n+3,CO=3,AD=m-,AC=.①当△ADP∽△ACO时,=,即=,∴n=m-6.∵点P在抛物线上,∴n=m2-m,∴m-6=m2-m,解得m1=4,m2=(不合题意,舍去),∴P(4,6).②当△PDA∽△ACO时,=,即=,∴n=m-4.∵点P在抛物线上,∴n=m2-m,∴m-4=m2-m,解得m1=,m2=(不合题意,舍去),∴P(,-).综上所述,点P的坐标为(4,6)或(,-).(3)存在.∵A(,-3),∴AC=,OC=3,∴OA=2.在△AOC中,设边OA上的高为h,则S△AOC=OC·AC=OA·h,即×3×=×2×h,解得h=.∵S△AOC=S△AOQ,∴△AOQ的边OA上的高为.如图,过点O作OR⊥OA,在射线OR上截取OM=,过点M作MN∥OA交y轴于点N,过点M作MH⊥x轴于点H.∵AC=,OA=2,∴∠AOC=30°.∵MN∥OA,∴∠MNO=∠AOC=30°,OM⊥MN,∴ON=2OM=9,∠NOM=60°,∴点N的坐标为(0,9),∠MOB=30°,∴MH=OM=,OH=MH=,∴M(,).设直线MN的解析式为y=kx+c,则解得联立抛物线与直线MN的解析式,得整理,得x2-x-18=0,解得x1=3,x2=-2,故点Q的坐标为(3,0)或(-2,15). 5.(1)由题可知,当y=0时,a(x-1)(x-3)=0,解得x1=1,x2=3,即A(1,0),B(3,0),∴OA=1,OB=3.∵△OCA∽△OBC,∴OC∶OB=OA∶OC,∴OC2=OA·OB=3,则OC=.(2)∵点C是BM的中点,∴点C的横坐标为,又OC=,点C在x轴下方,∴C(,-).设直线BM的解析式为y=kx+b,把点B(3,0),C(,-)分别代入,得解得将C(,-)代入抛物线的解析式,得a=,故抛物线的解析式为y=x2-x+2.(3)存在.设点P的坐标为(m,m2-m+2),过点P作PQ⊥x轴,交直线BM于点Q,则Q(m,m-),∴PQ=m--(m2-m+2)=-m2+3m-3.当△BCP的面积最大时,四边形ABPC的面积最大,S△BCP=PQ·(3-)=PQ=-m2+m-,当m=-=时,S△BCP有最大值,四边形ABPC的面积最大,此时点P的坐标为(,-).6.(1)∵抛物线y=a(x+1)(x-5)经过C(0,5).∴5=a(0+1)(0-5),解得a=-1,∴抛物线的函数关系式为y=-(x+1)(x-5),即y=-x2+4x+5.(2)直线BC能把△BDF分成面积之比为2∶3的两部分.设直线BC的函数关系式为y=kx+b,则解得∴y=-x+5.设D(m,-m2+4m+5),则E(m,-m+5).∴DE=-m2+4m+5+m-5=-m2+5m,EF=-m+5.∵△BDE和△BFE是等高的,∴=.(i)当DE∶EF=2∶3时,即=,解得m1=,m2=5(舍去),此时,D(,).(ii)当DE∶EF=3∶2时,即=,解得m1=,m2=5(舍去),此时,D(,).综上所述,点D的坐标为(,)或(,).(3)点M的坐标为(2,7),(2,-3),(2,6)或(2,-1).7.(1)将点A(-3,0),B(4,0)分别代入y=ax2+bx-4,得解得故抛物线的解析式为y=x2-x-4.(2)如图,过点F作FG⊥PQ于点G,则FG∥x轴.由B(4,0),C(0,-4),得△OBC为等腰直角三角形,∴∠QFG=∠OBC=45°,∴GQ=FG=QF.∵PE∥AC,∴∠1=∠2.∵FG∥x轴,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3.又∵∠FGP=∠AOC=90°,∴△FGP∽△AOC,∴=,即=,∴GP=FG=×QF=QF,∴QP=GQ+GP=QF+QF=QF,∴QF=QP.∵PM⊥x轴,点P的横坐标为m,∠MBQ=45°,∴QM=MB=4-m,PM=-m2+m+4,∴QP=PM-QM=-m2+m+4-(4-m)=-m2+m,∴QF=QP=(-m2+m)=-m2+m.∵-<0,∴QF有最大值,∴当m=-=2时,QF有最大值.(3)存在.点Q的坐标为(,-4)或(1,-3).8.(1)∵直线y=-x+3经过B,C两点,∴B(3,0),C(0,3).∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点B,C,∴解得故二次函数的解析式为y=x2-4x+3.(2)有.设点Q的横坐标为m,则点Q的纵坐标为m2-4m+3.如图,过点Q作x轴的垂线交BC于点D,则点D的坐标为(m,-m+3),∴QD=(-m+3)-(m2-4m+3)=-m2+3m,∴S△QBC=S△QDC+S△QDB=m·QD+(3-m)QD=×3×QD=(-m2+3m)=-(m-)2+.故当m=时,△QBC的面积取最大值,为,此时点Q的坐标为(,-).(3)存在.点M的坐标为(2,7),(2,2-1),(2,)或(2,-2-1).9.(1)将点A坐标代入y=x2+bx-,解得b=1,故抛物线的解析式为y=x2+x-.令y=0,得x2+bx-=0,解得x1=1,x2=-3,故点B的坐标为(1,0).(2)由题意知,正方形ABCD的边长为4,OA=3,OB=1.设PA=t,OE=l.由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°,易得△DAP∽△POE.∴=,即=.∴l=-t2+t=-(t-)2+,故当t=时,l有最大值,即P为AO的中点时,OE的最大值为.(3)存在.由题意知,若△PED是等腰三角形,则PD=PE.①当点P在y轴左侧时,如图(1),设DE与x轴交于点G.图(1)易知△DAP≌△POE,∴OP=AD=4,OE=AP=4-3=1,∴点P的坐标为(-4,0).∵AD⊥x轴,EO⊥x轴,∴△ADG∽△OEG,∴==,∴AG=4GO=AO=,∴重叠部分的面积为S△ADG=××4=.图(2)②当点P在y轴右侧时,如图(2),设DE与x轴交于点G,DP与BC交于点F.同①可得OP=4,OE=AP=7,∴点P的坐标为(4,0).由△ADG∽△OEG,得AG=OG=OA=.由△DCF∽△PBF,得CF=BF=BC=.∴重叠部分的面积S四边形DGBF=4×4-××4-××4=.10.(1)设抛物线与x轴的另一个交点为D,由抛物线的对称性,得D(3,0),则抛物线的解析式可变形为y=a(x-1)(x-3),把A(0,3)代入,得3=3a,解得a=1,故抛物线的解析式为y=x2-4x+3.(2)易得点P的坐标为(m,m2-4m+3),∵OE平分∠AOB,∠AOB=90°,∴∠AOE=45°,∴△AOE是等腰直角三角形,∴AE=OA=3,∴E(3,3).易得直线OE的解析式为y=x,过点P作PG∥y轴,交直线OE于点G,则G(m,m),∴PG=m-(m2-4m+3)=-m2+5m-3,∴S四边形AOPE=+=×3×3+PG·AE=+×3×(-m2+5m-3)=-m2+m=-(m-)2+.∵-<0,∴当m=时,S四边形AOPE有最大值,最大值是.(3)存在.点P的坐标为(,)或(,).11.(1)∵抛物线C1:y=ax2+bx-1经过点A(-2,1)和B(-1,-1),∴解得故抛物线C1的解析式为y=x2+x-1.(2)MN=t2+2.(3)分两种情况讨论.①当∠ANM=90°时,AN=MN,∵AN=t-(-2)=t+2,由(2)得MN=t2+2,∴t+2=t2+2,解得t1=0,t2=1.∵t=0时,∠AMN=90°,不符合题意,舍去,∴t=1.②当∠AMN=90°时,AM=MN,∵AM=t-(-2)=t+2,由(2)得MN=t2+2,∴t+2=t2+2,解得t3=0,t4=1.∵t=1时,∠ANM=90°,不符合题意,舍去,∴t=0.综上所述,t的值为0或1.12.(1)对于直线y=x-3,令x=0,得y=-3,令y=0,得x=6,∴A(6,0),B(0,-3).将点A,B的坐标分别代入y=x2+bx+c,得解得故抛物线的解析式为y=x2-x-3.(2)①由题易知P(m,m2-m-3).如图,过点P作PE⊥x轴,交AB于点E,则E(m,m-3),∴PE=m-3-(m2-m-3)=-m2+2m,∴S△PAB=PE·OA=×(-m2+2m)×6=-(m-3)2+9,∵点P在直线AB下方的抛物线上,∴0<m<6,∴当m=3时,△PAB的面积最大,为9.②存在,点Q的坐标为(3,)或(3,-).13.(1)当x=0时,y=-3,∴C(0,-3).∵OC=3OB,∴OB=1,∴B(-1,0).将A,B两点的坐标代入抛物线的解析式,得解得故抛物线的解析式为y=x2-2x-3.(2)过点B作BF⊥AC,交AC的延长线于点F.易得AF=BF=3,∴∠BAC=45°,∴∠BDO=∠BAC=45°.∵点D在y轴上,∴OB=OD=1,故点D的坐标为(0,1)或(0,-1).(3)存在.如图,当AB为对角线时,易得平行四边形AM1BN1,∴M1(0,-3).当AB为一边时,在▱ABM2N2中,点A的横坐标是2,点N2的横坐标是1,点B的横坐标是-1,由图形平移前后点的坐标关系,得点M2的横坐标是-2,∴点M2的纵坐标为(-2)2-2×(-2)-3=5,∴M2(-2,5).在▱ABN3M3中,点B的横坐标是-1,点N3的横坐标是1,点A的横坐标是2,由图形平移前后点的坐标关系,得点M3的横坐标为4,∴点M3的纵坐标为42-2×4-3=5,∴M3(4,5).14.(1)易知点A,B的坐标分别为(0,2),(4,0).将x=0,y=2代入y=-x2+bx+c,得c=2,将x=4,y=0,c=2代入y=-x2+bx+c,得0=-16+4b+2,解得b=,故抛物线的解析式为y=-x2+x+2.(2)易得M(t,-t+2),N(t,-t2+t+2),则MN=y N-y M=-t2+t+2-(2-t)=-t2+4t=-(t-2)2+4,∴当t=2时,MN有最大值4.(3)易知A(0,2),M(2,1),N(2,5),设D(m,n).当AM是对角线时,AM的中点的坐标为(1,),DN的中点的坐标为(,),∴1=,=,解得m=0,n=-2,此时点D的坐标为(0,-2).当AN是对角线时,AN的中点的坐标为(1,),DM的中点的坐标为(,),∴1=,=,解得m=0,n=6,此时点D的坐标为(0,6).当MN是对角线时,MN的中点的坐标为(2,3),AD的中点的坐标为(,),∴2=,3=,解得m=4,n=4,此时点D的坐标为(4,4).15.(1)y=-x+(-2,2)(1,0)(2)∵抛物线与x轴负半轴交于点C,∴C(-3,0).过点A作AG⊥y轴,垂足为点G.当点N在y轴上时,如图(1),△AMN为抛物线的“梦想三角形”.设N(0,n),∵A(-2,2),C(-3,0),∴AC=,∴AN=AC=.在Rt△AGN中,AG2+GN2=AN2,又AG=2,GN=|n-2|,∴4+(n-2)2=13,解得n=2-3或n=2+3.设M(m,0),当n=2-3时,在Rt△MNO中,ON2+OM2=MN2,即(2-3)2+m2=(m+3)2,解得m=2-2.当n=2+3时,在Rt△MNO中,ON2+OM2=MN2,即(2+3)2+m2=(m+3)2,解得m=2+2.又-3<m≤1,∴m=2+2不合题意,舍去,∴m=2-2,此时n=2-3,∴N(0,2-3).图(1)图(2)当点M在y轴上时,如图(2),△AMN为“梦想三角形”,此时点M与点O重合,在Rt△AGM中,AG=2,GM=2,∴tan∠AMG==,∴∠AMG=30°,∴∠AMC=∠AMN=∠NMB=60°,过点N作NP⊥x轴于点P,在Rt△NMP中,MN=CM=3,∴NP=,OP=,∴N(,).综上所述,点N的坐标为(0,2-3)或(,).(3)E1(-1,-),F1(0,);E2(-1,-),F2(-4,).16.(1)由题意得,c=4,则解得∴抛物线的解析式为y=-x2+x+4.(2)∵抛物线与x轴交于点B(-1,0),对称轴为直线x=1,∴点A的坐标为(3,0).∵直线AC经过点A(3,0),点C(0,4),∴直线AC的解析式为y=-x+4.令对称轴与直线AC交于点D,与x轴交于点E,则DE⊥x轴,点D的坐标为(1,).∴DE=,AE=2,AD=.图(1)①当点P在∠CAB的平分线上时,如图(1),过点P作PH⊥AC于点H,则PH=PE=m,DP=-m.易得△DPH∽△DAE,∴=,即=,解得m=1.图(2)②当点P在∠CAB的邻补角的平分线上时,如图(2),过点P作PG⊥AC于点G,则PG=PE=-m,DP=-m.易得△DPG∽△DAE,∴=,即=,解得m=-4.∴m的值为1或-4.(3)点Q的坐标为(1,)或(,).17.(1)由题可设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4(a≠0),将C(0,3)代入,得a+4=3,∴a=-1,故抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3. (2)易得B(3,0),根据待定系数法,易得直线BC的解析式为y=-x+3.分以下两种情况讨论.①当点Q在直线BC上方时,∵S△PBC=S△QBC,∴PQ∥BC.如图(1),过点P作平行于BC的直线,交抛物线于点Q1,∵P(1,4),∴直线PQ的解析式为y=-x+5.联立y=-x+5与y=-x2+2x+3,得解得∴Q1(2,3).②当点Q在直线BC下方时,如图,设抛物线的对称轴交BC于点G,交x轴于点H,则G(1,2),∴PG=GH=2.过点H作平行于BC的直线,交抛物线于点Q2,Q3.易得直线Q2Q3的解析式为y=-x+1,联立y=-x+1与y=-x2+2x+3,得解得∴Q2(,),Q3(,).综上所述,点Q的坐标为(2,3),(,)或(,).(3)存在.正方形MNED的边长为9或.18.(1)将A(-1,0)代入y=-x2+bx+3,得b=2,故抛物线的解析式为y=-x2+2x+3,过点D作DF⊥x轴于点F,易证△AOC∽△AFD,∴=.∵CD=4AC,∴==,∴点D横坐标为4.把x=4代入y=-x2+2x+3,得y=-5,∴D(4,-5).把A(-1,0),D(4,-5)分别代入y=kx+h,解得k=-1,h=-1,故直线l的解析式为y=-x-1.(2)过点E作EM⊥x轴,交AD于点M,设E(m,-m2+2m+3),则M(m,-m-1),∴EM=-m2+2m+3-(-m-1)=-m2+3m+4,∴S△ADE=×5(-m2+3m+4)=-m2+m+10,当m=-=时,△ADE的面积最大,此时,E(,).(3)以A,D,P,Q为顶点的四边形不能为矩形.理由:设P(1,n),AD2=25+25=50.①若AD是一边,则∠QAD=90°.易知x Q-x P=x A-x D,即x Q-1=-1-4,解得x Q=-4,故点Q的坐标为(-4,-21).此时AQ2=32+212=450,DQ2=82+162=320,∴AQ2+AD2≠DQ2,∴∠QAD≠90°,故此时以A,D,P,Q为顶点的四边形不是矩形.②若AD是对角线,则∠AQD=90°.用同样的方法求得Q(2,3),此时QD2=22+82=68,QA2=32+32=18,∴QD2+QA2≠AD2,∴∠AQD≠90°,故此时以A,D,P,Q为顶点的四边形不是矩形.综上所述,以A,D,P,Q为顶点的四边形不能为矩形.19.(1)设抛物线的解析式为y=ax(x-).将点A的坐标代入,得1=a(1-),解得a=-.故抛物线的解析式为y=-x(x-)=-x2+x.(2)如图,过点C作CD⊥x轴于点D,延长CA交y轴于点E,设AC与x轴交于点H.∵A(1,1),∴∠AOE=45°.∵AC⊥OA,∴△AOE为等腰直角三角形.∴OE=2,∴E(0,2).设直线AC的解析式为y=kx+b.根据题意,得解得故直线AC的解析式为y=-x+2.联立抛物线与直线AC的解析式,得解得∴C(5,-3),∴CD=3.易知H(2,0),∴S△AOC=OH·(1+CD)=×2×4=4.(3)存在,点M的坐标为(,),(,-)或(,-54).过点M作MF⊥x轴于点F,则△MNO∽△FMO.①当点M在x轴上方时,由题意得△MNO∽△AOC,设M(m,-m2+m),则OF=m.∴△FMO∽△AOC,∴=.∵A(1,1),∴OA=.∵C(5,-3),∴AC=4,∴=,∴=.∵m>0,∴-m+=,解得m=,当m=时,-m2+m=,∴M(,).②当点M在x轴下方时.(i)若△MNO∽△AOC,同①可得=.∵m>0,∴m-=,解得m=,当m=时,-m2+m=-,∴M(,-).(ii)若△MNO∽△ACO,可得△FMO∽△ACO,∴=,∴=4,∵m>0,∴m-=4,解得m=.当m=时,-m2+m=-54,∴M(,-54).综上,满足条件的点M的坐标为(,),(,-)或(,-54).20.(1)(3m,0)(0,-m)(2)当m=3时,y=-x2+x-3,点B的坐标为(9,0),点C的坐标为(0,-3),易得直线BC的解析式为y=x-3.设M(a,-a2+a-3),则N(a,a-3),∴MN=-a2+a-3-(a-3)=-a2+3a.∵点M在直线BC上方的抛物线上,∴0<a<9,∴当a=-=时,MN的长有最大值,为-×()2+3×=. (3)存在,点P的坐标为(1,-3),(1,-)或(1,).21.(1)将C(0,),B(1,0)分别代入y1=ax2-x+c,得解得故抛物线y1的解析式为y1=-x2-x+.∵抛物线y1平移后得到抛物线y2,且顶点为B(1,0),∴抛物线y2的解析式为y2=-(x-1)2,即y2=-x2+x-.(2)存在.易得抛物线y2的对称轴l为直线x=1,A(-3,0),设T(1,t),过点T作TE⊥y轴于点E,则TC2=TE2+CE2=12+(-t)2, TA2=TB2+AB2=t2+(1+3)2=t2+16,AC2=.分以下三种情况讨论:①当TC=AC时,12+(-t)2=,解得t1=,t2=;②当TA=AC时,t2+16=,此方程无实数解;③当TA=TC时,12+(-t)2=t2+16,解得t3=-.综上可知,在直线l上存在点T,使△TAC是等腰三角形,此时点T的坐标为(1,),(1,)或(1,-).(3)设P(m,-m2-m+),则Q(m,-m2+m-).∵Q,R关于直线x=1对称,∴R(2-m,-m2+m-).分以下两种情况讨论:①当点P在直线l的左侧时,PQ=-m2-m+-(-m2+m-)=1-m,QR=2-2m,a.当△PQR≌△GMA,即PQ=GM,QR=AM时,易得m=0,∴P(0,),即点P与点C重合,∴R(2,-).设直线PR的解析式为y=kx+b,将P(0,),R(2,-)分别代入,得解得故直线PR的解析式为y=-x+.b.当△PQR≌△AMG,即PQ=AM,QR=MG时,这种情况不存在.②当点P在直线l的右侧时,PQ=-m2+m--(-m2-m+)=m-1,RQ=2m-2,同理可得P(2,-),R(0,-),利用待定系数法,可得直线PR的解析式为y=-x-.综上所述,直线PR的解析式为y=-x+或y=-x-.22.(1)将C(0,-3)代入y=x+m,得-3=0+m,解得m=-3.(2)对于y=x-3,令y=0,得x=3,∴B(3,0).将C(0,-3),B(3,0)分别代入y=ax2+b,得解得故抛物线y=ax2+b(a≠0)的解析式为y=x2-3.(3)存在.分以下两种情况讨论.①若点M在BC上方,设MC交x轴于点D,则∠ODC=45°+15°=60°,∴OD==,∴D(,0).设直线DC的解析式为y=kx-3,把D(,0)代入,得k-3=0,解得k=,故直线DC的解析式为y=x-3.联立直线DC和抛物线的解析式,得解得(不合题意,舍去)∴M(3,6).②若点M在BC下方,设MC交x轴于点E,则∠OEC=45°-15°=30°,∴OE==3.设直线EC的解析式为y=mx-3,把E(3,0)代入,得0=3m-3,解得m=,故直线EC的解析式为y=x-3.联立直线EC和抛物线的解析式,得解得(不合题意,舍去)∴M(,-2).综上所述,点M的坐标为(3,6)或(,-2).23.(1)对于y=-x+2,当x=0时,y=2,当y=0时,x=4,∴A(4,0),C(0,2).∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A(4,0),C(0,2),∴解得故抛物线的解析式为y=-x2+x+2.(2)如图,过点P作PN⊥x轴于点N,交直线AC于点M,则PN∥y轴,∴∠PME=∠OCE.又∵∠PEM=∠OEC,∴△PEM∽△OEC,∴=.∵C(0,2),∴OC=2.设点P的坐标为(t,-t2+t+2),则点M(t,-t+2),∴PM=-t2+t+2-(-t+2)=-t2+2t,∴=-t2+t=-(t-2)2+1.∵-<0,0<t<4,∴当t=2时,有最大值1.(3)存在.点P的坐标为(2,3)或(,).24.(1)∵二次函数y=-x2+bx+c的图象过点B(1,0),C(0,4),∴解得故二次函数的解析式为y=-x2-3x+4.(2)如图,连接PD,过点P作PM⊥x轴于点M,交AD于点N,令-x2-3x+4=0,解得x1=1,x2=-4,∴A(-4,0).设直线AD的解析式为y=kx+t,将A(-4,0),D(0,2)分别代入,得解得故直线AD的解析式为y=x+2.设P(m,-m2-3m+4),则N(m,m+2),∴PN=-m2-3m+4-(m+2)=-m2-m+2,∴S=2S△APD=2(S△APN+S△PND)=2×(PN·AM+PN·MO)=PN·AO=(-m2-m+2)×4=-4(m+)2+.∵-4<m<0,∴当m=-时,S有最大值,为.(3)存在,点P的横坐标为1,-2,或.。
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函数图像上点的存在性问题中的全等、相似与角度
板块一二次函数与一个角
在抛物线上找点，满足特殊角。
探索：用角来刻画直线与抛物线的位置关系。
探索一：在平面直角坐标系xOy中,点P为抛物线y=x²上一动点,是否存在点P,使∠POx为45°,若存在,请求出点P的坐标；不存在,说明理由.
探索二：在平面直角坐标系xOy中,点P为抛物线y=x²上一动点,点A的坐标为（¼,0）,是否存在点P,使∠PAx分别为45°或30°?若存在,请求出点P的坐标；不存在,说明理由.
探索三：在平面直角坐标系xOy中,点P为抛物线y=x²上一动点,点A的坐标为（1,0）,若点P使∠PAx最小,请求出点P的坐标.
探索四：二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）,与y轴交于C点,在二次函数的图像上是否存在点P,使得∠PAC为锐角?若存在,请你求出P点的横坐标的取值围；若不存在,请你说明理由.
探索五：二次函数图象经过点A（-3,0）,B（-1,8）,C（0,6）,直线Y=2/3 X+2与Y轴交于点D,点P为二次函数图象上一动点,若∠PAD=45°,求点P的坐标.
探索六：如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线y=x²上一动点，点A的坐标为（4，2），若∠AOP=45°，则点P的坐标为？。