用绝对值的几何意义来解题

表示数轴上到1和-2的距离之和等于4的点
二、求代数式的最值
例2 、求|x－2007|+|x－2008|的最小值是 1
2007
2008
解：由绝对值的几何意义知， |x－2007|+|x－2008|表示数轴上的一点到表示数2007和2008两 点的距离的和，要使和最小，则这点必在2007～2008之间（包 括这两个端点）取值，故|x－2007|+|x－2008|的最小值为1.
(2)当 2 x 1时,
(3)当x 1时, x 1 x 1 原不等式 x2 ( x 1) ( x 2) 5 x 2
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
2 x 1 2 x 1 x . 原不等式 (1 x) ( x 2) 5 3 5
用绝对值的几何意义解题
防城港市高级中学 数学组 李铮
在数轴上，
a 0-a
x -a xa
Leabharlann Baidu
表示原点到a的距离
表示数轴上某一个点到a的距离
表示数轴上某一个点到-a的距离
x（ - - a）
一、解绝对值方程
例1 方程|x－3|＝4的解为 -1或7 ．
几何意义：数轴上到3的距离等于4的点
4 4 7
解得x≥2或x≤-1
练习：不等式|x＋2|+|x－3|<7的解是 -1<x<4 ． 1
-1 -2
5
3
1
4
分析：不等式表示数轴上到-2的距离加上到3的距 离大于7的点。显然-2到3的距离就是5了，所以这 些点在-2到3之间和之外都有。现在找到距离之和 等于7的点，再分析。
作 业
用绝对值的几何意义解下面的题
练习：|x－2|－| x－5| 的最大值是 3 最小值是 -3 ．
-3 -3~3 3
，
2
5 6 7 8 9、、、
解：把数轴上表示x的点记为P．由绝对值的几何意义知，|x －2|－| x－5|表示数轴上的一点到表示数2和5两点的距离 的差，当P点在2的左边时，其差恒为－3；当P点在5的右边 时，其差恒为3；当P点在2～5之间（包括这两个端点）时， 其差在－3～3之间（包括这两个端点）．
不等式|ax-b|<c和|ax-b|>c是否也适用？
解不等式|x-1|+|x+2|≥5
方法一:利用|x-1|=0,|x+2|=0的零点,分段讨论去绝对值
解: (1)当x 2时, 这种解法体现了分类讨论的思想 x 2 x 2 x 3. 原不等式 (1 x) ( x 2) 5 x 3
-2 -3 1 -2 2 x
函数的零点是-3,2.
由图象可知,当x 3或x 2时,y 0,
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}. 这种方法体现了函数与方程的思想．
例题：解不等式|x-1|+|x+2|≥5 1
-1 -2
3
1
1
2
表示数轴上到1的距离加上到2的距 离大于等于5的点
1.解不等式1<|2x+1|<3. 2.解不等式|x+3|+|x-3|>8.
2 x 6, x 2 即 y 2， 2 x 1 2 x 4， x 1
2 x 6, x 2 y 2， 2 x 1 2 x 4， x 1
y
如图,作出函数的图象,
取y x -1 x 2 - 5 0
三、解不等式
例3、不等式|x|<1的解集 不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合.
-1
0
1
∴不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
关键：先找到等于的点，再分析
例4不等式|x-3|<4的解是 -1<x<7
．
例5不等式|x-3|>4的解是 x>7或x<-1 ．
4 4 7
-1
3
关键：找到什么时候等于， 然后“大于在两边，小于在中间”
解不等式|x-1|+|x+2|≥5
方法二：通过构造函数，利用函数的图象求解．
解:原不等式化为 | x 1| | x 2 | 5 0,
构造函数 y x -1 x 2 - 5，化简得
1 - x） （ - x 2），x 2 （ y （ （x 2）， 2 x 1 1 - x） （x - 1 ） （x 2），x 1
-1
3
方程|ax-b|=c怎么办？
练习：方程|2x－3|＝4的解为 -0.5或3.5 ．
|2x－3|＝4
3 2x- 4 2
3 x- 2 2
几何意义：数轴上到1.5的距离等于2的点
2 2 3.5
-0.5
1.5
练习：方程|x－1|+|x＋2|＝4的解为 -2.5或1.5
．
3
-2.5 -2
1 1.5 2