平面向量的平行与垂直

基础知识回顾：
1．平行(共线)向量定义：
方向 记作
相ar∥同或br；相反
的非零向量叫平行向量。
2. 垂直向量定义：
若 、两个非零向量所成r 角为r 90 ，则称这两 个向量垂直。记作 a⊥ b
3.平面向量的平行与垂直的判定
向量关系式 坐标关系式
a // b
a b
x1y2 x2 y1 0
(b 0)
(5,
2),
uuur BD
(10,
4)
uuur 2BP
uuur
uuur
uuur
AP (2, 1), AC (8, 4) 4AP
uuur uuur
又 BP、BD 共起点B ，
uuur uuur AP、AC
共起点A，
则B、P、D三点共线，
A、P、C三点共线 。
ar、br 是不共线的两个非零向量，OuuMuur
ab
a b 0 x1x2 y1y2 0
(a 0, b 0)
一、基础训练
r
r
rr
1.已知平面向量 a (3,1),b (x, 3), a // b,则x
等于_____-_9______
r
r
2.已知平面向量a=（1,－3），b =（4,－2），
r a
r b
与
r a
垂直，则
是_____-_1______
ur uur
uuur ur uur
3.Cu若uBur e1eu,r1e2是3eu两 ur2,Cu个uDur不共2eur1线e的 uur2,向 若A量, B, ,已D知三A点B 共 2线e1 ，ke则2,
k=_____-8_____.
设A（4，1），B（-2，3），C（k，-6），若
△ABC为直角三角形且∠B= 9，0求k的值。
r ma
uuur
，ON
r nb
uuur OP
r a
r b
，其中
m、n、、
R
，且
mn 0
，若M、P、N
三点共线，则
m
n
=
1
.
例4：设向量a (4cos,sin), b (sin ,4cos),
c (cos,4sin ) (1)若a与b 2c垂直，求 tan( )的值；
（2）若 tan tan 16,求证：a // b.
解：当B 90，BA (6,2), BC (k 2,9) B 90 BA BC,
BA BC 6(k 2) (2)(9) 0k 5.
如图所示,已知A(4,5),B(1,2),C(12,1), D(11,6)及P(6,4),求证:B、P、D三点共线， A、P、C三点共线。
解：uBuPur
且
4
，
k t 2 1 (t2 4t 3) 1 (t 2)2 7
t4
4
故当t=-2时， k t 2
t
a 7
4
有最小值 7
4
4
小结
1.向量的平行（共线）和垂直是向量夹角的两个特殊
情形：两向量平行（共线）即向量的夹角为0或 ，
两向量垂直即向量的夹角为 ，无论是符号语言
2
还是坐标语言，它们都可以通过向量的数量积来刻画。 2.证明将三点共线转化为过共起点的向量共线。
3. 已知a,b是不共线的向量，AB a b,
AC a b(, R),则A, B,C三点共线的充要条件是
是_______1__.
已知
O
为 ABC
uuur
所在平面内一点，满足 OA
2
uuur BC
2
uuur OB
2
uuur 2 CA
uuur OC
2
uuur AB
2
，则点 O
是 ABC的
__垂___心
(1) 由
rr a与b
2cr垂直
，ar g(br
2cr )
ar gbr
2ar gcr
r 0,
即 4sin( ) 8cos( ) 0,tan( ) 2;
(2) 由tan tan 16得sin sin 16cos cos ,
即4 cos 4cos sin sin 0
ar
/
r /b
练习
r
，r
r，
rr r
1．已知向量
a
(3,1)
r
b
r
(1, 3r)
c
(k,
2)
，若
10
(a
c)
b
则k= 0
;若(
a ，
c)
∥
b
则k
=
3
． ，
2. 已知向量a (1, 2) b (2,3) 若向量 c 满足(c a) / /b
77
c (a b) ，则c ___(__9_,__3_) _______
。
4. 平面上三个向量 a,b, c 的模均为1，它们相互
之间的夹角均为120°，求证：(a
b)
⊥c
5. 已知
a(
3,1),
b
(
1 2
,,
3) 2
存在实
数xk和t,y使若得不等x式k
解
a ， b a
a源自文库
t b
(t
t2
0
2
a
3)b, y ka tb
恒成立，求a的取值范
有 xy
得
t3 3t k