复变函数习题解答-1

解得 x = 1, y = 11 。 3．证明虚单位 i 有这样的性质：-i=i-1= i 。 4．证明
1) | z |2 = zz # 6) Re( z ) = 1 1 ( z + z ), Im( z ) = ( z − z ) 2 2i
2
证明：可设 z = x + iy ，然后代入逐项验证。 5．对任何 z ， z =| z | 是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对 z 那些
{
}
{
}
Arg i8 − 4i 21 + i = arg i8 − 4i 21 + i + 2kπ = arg(1 − 3i ) + 2kπ
(
)
(
)
= −arctan3 + 2kπ 2．如果等式 解：由于
k = 0,±1,±2, ".
x + 1 + i(y − 3) = 1 + i 成立，试求实数 x, y 为何值。 5 + 3i x + 1 + i(y − 3) [x + 1 + i(y − 3)](5 − 3i ) = 5 + 3i (5 + 3i )(5 − 3i ) =
(3 + 4i )(2 − 5i ) = 5
2i
29 ， 2
26 ⎡ (3 + 4 i )(2 − 5 i ) ⎤ ⎡ (3 + 4 i )(2 − 5 i ) ⎤ = arg ⎢ Arg ⎢ + 2kπ = 2 arctan − π + 2kπ ⎥ ⎥ 2i 2i 7 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = arctan 26 + (2k − 1)π , 7 k = 0,±1,±2, " .
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P( z ) P( z ) ⎛ P( z ) ⎞ = =⎜ ⎟ = X + iY = X − iY ; Q( z ) Q( z ) ⎝ Q( z ) ⎠
P ( z ) = a0 z n + a1 z n −1 + " + an −1 z + an
4
= a0 + a1 z + a2 z 2 + " + an z n = P(z )
（1） z n +
14．求下列各式的值 （1） 解
( 3 − i) ；
5
（2） (1 + i )6 ；
（3） 6 − 1 ；
（4） (1 − i )
1 3
（1）
(
⎡ ⎛ 3 i ⎞⎤ 3 − i = ⎢2⎜ − ⎟ = 2e −i π / 6 ⎜ 2 2 ⎟⎥ ⎢ ⎠⎥ ⎣ ⎝ ⎦
5
)
5
(
)
5
= 32e −i 5π / 6
（4） i 8 − 4i 21 + i = i 2 − 4 i 2 i + i = (− 1)4 − 4(− 1)10 i + i
4 10
( )
( )
= 1 − 4i + i = 1 − 3i
所以
Re i8 − 4i 21 + i = 1, Im i8 − 4i 21 + i = −3
8 21 8 21 ⎛ ⎜ i − 4i + i ⎞ ⎟ = 1 + 3i ， | i − 4i + i |= 10 ⎝ ⎠
⎡ ⎛ 5π ⎞ ⎛ 5π ⎞ ⎤ = 32 ⎢ cos ⎜ − ⎟ + isin ⎜ − ⎟ ⎥ = −16 3 − 16i ⎝ 6 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 6 ⎠
（2） (1 + i )
6
⎡ ⎛ 1 i ⎞⎤ = ⎢ 2⎜ + ⎟⎥ = 2 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 2
6
(
2eiπ /4
)
6
= 8e3π i/2 = −8i 。
（3） 6 −1 = e
(
iπ+2kπ
)
1 6
=e
iπ ( 2k +1) /6
,k = 0,1,2,3,4,5 。可知 6 − 1 的 6 个值分别是
e iπ/6 = e i7π/6 = −
3 i iπ/2 3 i + , e = i ， ei i 5π/6 = − + 2 2 2 2 3 i 3 i − ， e i 3π/ 2 = − i ， e i11π/ 4 = − 。 2 2 2 2
2
= ( ei5ϕ ) / ( e− i3ϕ ) = ei10ϕ /e − i9ϕ = ei19ϕ
2 3
3
= cos19ϕ + isin19ϕ
9．将下列坐标变换公式写成复数的形式： 1）平移公式： ⎨ 2）旋转公式： ⎨
⎧ x = x1 + a1 , ⎩ y = y1 + b1 ;
⎧ x = x1 cos α − y1 sin α , ⎩ y = x1 sin α + y1 cos α .
2 2
1 ； 3 + 2i
1 3i （2） − ； i 1− i
（3）
(3 + 4i )(2 − 5i ) ；
2i
（4）i 8 − 4i 21 + i
（1）
1 3 − 2i 1 = (3 − 2i ) = 3 + 2i (3 + 2i )(3 − 2i ) 13
所以
⎧1 3i ⎫ 3 Re⎨ − ⎬= , ⎩i 1− i ⎭ 2 5 ⎧1 3i ⎫ Im⎨ − ⎬=− i 1 i 2 − ⎩ ⎭
−i π 2 π⎞ ⎛ i ⎜ Arg z − ⎟ 2⎠
= |z|e ⎝
， 可知复数的模不变，
π
2
。
2 2 2 2
11．证明： | z1 + z2 | + | z1 − z2 | = 2(| z1 | + | z2 | ) ，并说明其几何意义。 证明： | z1 + z2 | + | z1 − z2 |
1 3i 34 ⎛ 3⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 1 3i ⎞ 3 5 = ⎜ ⎟ + ⎜− ⎟ = ， ⎜ − ⎟= +i ， − 2 i 1− i 2 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ i 1− i ⎠ 2
⎛ 1 3i ⎞ ⎛ 1 3i ⎞ Arg⎜ − ⎟ = arg⎜ − ⎟ + 2kπ ⎝ i 1− i ⎠ ⎝ i 1− i ⎠ 5 = − arctan + 2kπ , k = 0,±1,±2, " . 3 (3 + 4i )(2 − 5i ) = (3 + 4i )(2 − 5i )(− 2i ) = (26 − 7i )(− 2i ) （3） (2i )(− 2i ) 2i 4
2 2
= ( z1 + z2 )( z1 + z2 ) + ( z1 − z2 )( z1 − z2 ) = 2( z1 z1 + z2 z2 ) = 2(| z1 |2 + | z2 |2 )
其几何意义平行四边形的对角线长度平方的和等于四个边的平方的和。 12．证明下列各题： 1）任何有理分式函数 R ( z ) =
13．如果 z = eit ，试证明 （1） z n + 解
1 = 2 cos nt ； zn
（2） z n −
1 = 2 i sin nt zn
1 = eint + e − int = eint + eint = 2 sin nt zn 1 （2） z n − n = e int − e −int = eint − eint = 2 i sin nt z
n n
i
arg a n
时，有
⎛ i arg a ⎞ | z + a| = ⎜ e n ⎟ + |a|e i arg a = (1 + a )e i arg a = 1 + |a| ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
故 1+ | a | 为所求。 8．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。 （1）i； （4） 1 − cosϕ + isinϕ (0 ≤ ϕ ≤ π ) ； 解： （1） i = cos
= −7 − 26i 7 = − − 13i 2 2 7 ⎧ (3 + 4i )(2 − 5i ) ⎫ Re⎨ ⎬=− ， 2i 2 ⎭ ⎩ ⎧ (3 + 4i )(2 − 5i ) ⎫ Im⎨ ⎬ = −13 ， 2i ⎩ ⎭
1
2
2
所以
⎡ (3 + 4i )(2 − 5i ) ⎤ 7 ⎢ ⎥ = − + l3i 2i 2 ⎣ ⎦
iα
解：设 A = a1 + ib1 ， z1 = x1 + iy1 ， z = x + iy ，则有 1） z = z1 + A ；2） z = z1 (cos α + i sin α ) = z1e 。 10．一个复数乘以-i，它的模与辐角有何改变？ 则 z (− i ) =| z | ei Arg z ⋅ e 解： 设复数 z =| z | ei Arg z ， 辐角减少
5(x + 1) + 3(y − 3) + i[− 3(x + 1) + 5(y − 3)] 34 1 = [5x + 3y − 4] + i(− 3x + 5y − 18) = 1 + i 34
比较等式两端的实、虚部，得
⎧ 5 x + 3 y − 4 = 34 ⎧ 5 x + 3 y = 38 或⎨ ⎨ ⎩− 3x + 5 y − 18 = 34 ⎩− 3x + 5 y = 52
1
（4） (1 − i ) 可知 (1 − i )
1/ 3
1 3
⎡ ⎛ 1 i ⎞⎤ 3 ⎟ = ⎢ 2⎜ − ⎜ ⎟⎥ = 2 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 2
(
2e −i π/ 4
)
1 3
= 6 2e ⎝
⎛ π ⎞ i ⎜ − + 2 kπ ⎟ 3 4 ⎠
,
k = 0,1,2 。
1 − cosϕ + isinϕ = 2sin （4）
= 2sin
2
ϕ
2
+ i2sin
ϕ
2
cos
ϕ
2
= 2sin
ϕ⎛
ϕ ϕ⎞ ⎜ sin + icos ⎟ 2⎝ 2 2⎠
π −ϕ 2
ϕ⎛
⎜ cos 2⎝
ϕ i π −ϕ π −ϕ ⎞ + isin ⎟ = 2sin e 2 2 ⎠ 2
, (0 ≤ ϕ ≤ π) ；
（5）
⎛ 1 2i 1 1 ⎞ ⎟ = 2i(− 1 − i ) = 1 − i = 2 ⎜ −i ⎜ ⎟ −1+ i 2 2⎠ ⎝ 2 π π⎞ ⎛ = 2 ⎜ cos − isin ⎟ 4 4⎠ ⎝
= 2e
−i
π 4
( cos5ϕ + isin5ϕ ) （6） 3 ( cos3ϕ − isin3ϕ )
i π π + isin = e 2 ； 2 2 π
（2）-1；
2i （5） ； −1+ i
（3）1+ 3 i； （6）
(cos5ϕ + isin5ϕ )2 (cos3ϕ − isin3ϕ )3
（2） − 1 = cosπ + isinπ = eiπ
π i ⎛1 3⎞ π π⎞ ⎛ ⎜ ⎟ （3） 1 + i 3 = 2⎜ + i = 2⎜ cos + isin ⎟ = 2e 3 ； 2 ⎟ 3 3⎠ ⎝ ⎝2 ⎠
习题一解答
1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。 （1） 解 所以
2 ⎧ 1 ⎫ ⎧ 1 ⎫ 3 Re⎨ ⎬ = ， Im⎨ ⎬=− , 13 ⎩ 3 + 2 i ⎭ 13 ⎩ 3 + 2i ⎭
1 1 1 13 ⎛3⎞ ⎛ 3⎞ = (3 + 2i ) ， = ⎜ ⎟ + ⎜− ⎟ = ， 3 + 2i 13 3 + 2i 13 13 13 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ Arg⎜ ⎟ = arg⎜ ⎟ + 2kπ ⎝ 3 + 2i ⎠ ⎝ 3 + 2i ⎠ 2 + 2kπ , k = 0,±1,±2, " 3 −i 3 5 1 1 3i 3i(1 + i ) = （2） − = −i − (− 3 + 3i ) = − i, − 2 2 2 i 1 − i i(− i ) (1 − i )(1 + i) = − arctan
的根，那么 a − ib 也是它的根。 证 1） R ( z ) =
P( z ) P( z )Q( z ) Re( P( z )Q( z )) Im( P( z )Q( z )) = = + ; Q( z ) Q( z )Q( z ) q ( x, y ) q ( x, y )
2） R ( z ) = 3）事实上
P( z ) 可以化为 X + iY 的形式，其中 X 与 Y 为具 Q( z )
有实系数的 x 与 y 的有理分式函数； 2）如果 R ( z ) 为 1）中的有理分式函数，但具有实系数，那么 R ( z ) = X − iY ； 3）如果复数 a + ib 是实系数方程
a0 z n + a1 z n −1 + " + an −1 z + an = 0
2 2
值才成立？ 解：设 z = x + iy ，则要使 z =| z | 成立有
2 2
x 2 − y 2 + 2ixy = x 2 + y 2 ，即 x 2 − y 2 = x 2 + y 2 , xy = 0 。由此可得 z 为实数。
6．当 | z |≤ 1 时，求 | z n + a | 的最大值，其中 n 为正整数，a 为复数。 解：由于 z n + a ≤ |z|n + |a| ≤ 1 + |a| ，且当 z = e