弹塑性力学习题集

第二章应力

例2如图所示的楔形体受水压力作用，水的容垂为丫，试写岀边界条件.

解：在x=0上,/= -1 f m =0,

X =y)?Y =0

(q 畑(-1)+(5)"0 =" (T J.3 (-

D+(Q v)t=0 0 = 0

(aj^-yy (%)”=()•

在斜边上1= cosa, m = -sind

o t cosa一T yx sina = 0

Tcosd- O v sina = 0例1如图所示，试写出其边界条件。

宀"色=0 •空=0 v\ =0 6

办

/ = L/?r = 0

x=o.F=0

(2) A = u.

・解

T| =/a H+wa2i-na)i —T •丄-2迈

•V- 2 T] =S + 〃52 + 〃®2 =尹0—；；<3+善xO = _+

Tj=/cr B + p,(723 + n<753=5X•^*"，T X®+"77 X5 = -2-r^-^

J ■4

r =(T汁Tf+Tf-贰=1 V*27+48V2

s.、+〃％),=$

;n(a v)x+/(r AV)r =f

严-订―

1 x = o. y = q

(6),・o+Wj(-1)=0

心)•(-l) + SJjO = g

(6)J0+(G J、(+I)=0

G・(+l) + CJ.0 = 0

(1)管的两端是自由的)

应力状応为，a：=0, %=pRf 二去严

=丄(2(pR/“q= [ (pR/t)* 1

6 3

5~=毎=网〃

对于'Ikes屈服餐件：J2=弋=V => p = 4"R

对于Tim屈服条件：s-q比=2q n p = 2XJ/R

面上的法向正应力和切向舅应力

q

例.一种材料左二维主应力空间中进行试验，所得屈肥时的应力状态为2“ G2M3/,小假定此材料为各向同性.与静水压力无关且拉压屈服应力相等.

(1)由上述条件推虧在円一巴空间中的各屈肥点应力.

(2)证明Mises屈展条件在G,-G2空间中的曲线通过5)中所有点.

解：由于静水质力无关的条件得出压服在以下各点会发生：

(Gp G>, G J=(3几G 0)+ (-3/, -3/, -3r)= (0. -2/, -3/>

(G

P

a2» bj = (3匚z f 0)+ (-/, t, w>=(2/, 0, -6

苒由于各向間性的条件.很容易右出0,-0：空间中的以下五个JS力点也是屈服点

A,： (Gp G,, = 3r, 0)

B|: 2[, Q2« 6)= (—3f, —2r, 0)

B2：oj = (—2f, —3f, 0)

C1： (Q p c2, ®)=⑵，0)

C,：

还有.由于拉压屈服症力相等.因而可得到6一6空间中的另外六个J2力屈服点

A3X (Op 匹，Q3)=(-3/, F 0)

A4：(Q J, G" ^3>=<"G -3f, 0)

Bj： (Op o,, a3) = (3r, 2f, 0) B4： (a p o,, 6)=⑵.3f, 0) C3： (a p G,, a3)=

(-2r, z, 0) C4： (Op o,, 6)=匕-2/, 0)

容易证明⑷心屈服条件氏+& y：6 =于=7r2通

过以上所有屈嚴点

平衡方程为：

P = N、+ 2N2COS30°=(5+吊2)

几何关系为：

靳=叫斫=万

y[3? 3 V 3

© =宁，6=乔=訐

本构方程

为：

当a < aX,

(7 = 0； +£[(£-£$)

=目£ + 6(1-¥)

(2)管段的两端是封闭的;

应力状态为，U.= P/?/2G Q^pRlt a r=0 1^=1^=：8,=0

A= |(Q -Q,)2+(Q z-2+(Q0-Q.)2+6( + &)J=L A

Gj-G, = Gg = pR/[

对于Mises屈服条件s P = 2x s t/R

对于Trcscii屈服条件：p = 2T JR

因此.根据这些点的数据. 可以作出在①空间中的屈服面.

讨论:设已知三杆桁架如图1.18所示，三根杆的戡面枳邮相

咼并有FU 杆件是由弹塑性线性强化材料所制成的。在节

点。受到竖向力P的作用，以队U表示节直D的水卩(向

右为正)和

O =E E

弹性解：当P足够小时,三杆均处于弾

性状态，应力与应变成比例.

3 3

由于勺=二勺故 6= [5

P = （cr +、§6）= 5（1 +土）

4

因为句 >习所以5 >6，杆1最先到达

蚪性状态，当5 = 6时宀=土 =名

于是桁架开始出现塑庠变形的载荷为

片=6（1+手）P,称为弹性极限载荷. 弹塑性解：

5>込，65 p>p x

由基本方程可得

P = E}£{ +（J s（1- —） + 2E&

cos 30°

E

供+知叙当6 = 时，即& = 0丄=£、•时，

' 4 h

桁架全部进入塑性状态，对应的载荷为

P2 = E X£X +（7V（1-半）* 2a s cos 30° = +6 （1 + 羽-半）

例一薄壁圆管同时受拉•扭和内压作用，有应力分量S，% g泊松比0 = 1.求：

（1 ）当应力分量之间保持冬=2% = 3%比例从零开始加载，问冬多大时开始进入屈服？

（2）开始屈服后，继续给以应力增量，满足^=0

及© =2叫・求对应的化及%值.

分别对Mises^OTresca两种屈服条件进行分析. Mises：

屈服准则为£ = / +尤- o池+ 3成-加=0

叭=2% = 3$代入上式得到q = J即，屈服后，増量本构关系为：

de, = --------------- d A（2

d£©= --- £ -------- 6A（2€F^—Q

塑性解：

5 >6,

6 >0" p> P2

由基本方程可得

& = £冋+(1 —

4

在P由零逐渐增加（单调加载）的过程中，桁架变形可以分为三个不同的阶段

弹性阶段

强塑牲阶段

塑性阶段

在弹塑性阶段,

P>Pt

1杆虽然进入塑性状态，但由于其

余两杆仍处于弹性阶段，1杆的塑性变形受到限制, 整个桁架的变形仍限制在弹性变形的量级，这个阶段可称为约束的塑性变形阶段.在塑性阶段，三杆

都进入塑性状态，桁架的变形大于弹性变形量级. 一般说来，所有的弹塑性结构在外力的作用下，都会有这样三个变形的阶段.