初中数学-面积问题与面积方法
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又
∴
又∵
∴
∴
评注：本题涉及到圆内接四边形，其另一种解法是运用托勒密定理，请参考本章超级训练第3题。
例6（2000年全国高中数学联赛）如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N为垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D点。证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等。
∴P到பைடு நூலகம்E及CF的距离相等
即 的边BE上的高等于 的边CF上的高
∴
评注：解决本题的关键是运用“平行得等积”。
例2（2003年德国数学竞赛）在平行四边形ABCD中，M、N分别在AB、BC上，且M、N不与端点重合， 。设AN与CM相交于点Q。求证：DQ平分 。
证明：设点Q到AB、BC、CD、DA的距离分别为a、b、c、d
证明：连结MN、BD、CD，设MN交AD于O。
∵FM⊥AB，FN⊥AC
∴A、M、F、N四点共圆
∴
又∵
∴△AOM∽△ANF
∴
∴ ①
又∵
∴△ABD∽△AFC
∴
∴ ②
由①、②得
又∵ ，及
∴
∴
例7（2003年白俄罗斯数学奥林匹克）已知凸五边形ABCDE满足 ， ， ， ， 。求五边形ABCDE的面积。
解：设K是点C关于直线BD的对称点，则
证明：设AF的延长线交⊙BDF于K，则
∴ ∥AC
∴
∴
又由正弦定理，得
∴
而
∴
又∵
∴ ∽
∴
故 。
例9（2003年第2届中国女子数学奥林匹克）已知D是 的边AB上的任意一点，E是边AC上的任意一点，连结DE，F是线段DE上的任意一点，设 ， ， 。
求证：（1） ， ；
（2） 。
证明：连结BE、CD。
(1)
∴CDB'=PBC==DB'C'.
作 和 的平分线，且交于点M。于是，BM是AK的中垂线，DM是EK的中垂线。特别地，有 ，即M是 的外心。
因为
所以，
所以 ，即
又因为 ，
所以
故AE是 的斜边，即M是AE的中点。
因为 ， ，
所以
评注：巧妙地构造K点，采用“割补法”求解。
例8（2004年首届中国东南地区数学奥林匹克）设点D为等腰 的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在 内的弧上一点，过B、D、F三点的圆与边AB交于点E。求证： 。
（2）由（1）得
。
例10（第16届亚太地区数学奥林匹克）设O、H分别是锐角 的外心和垂心。求证： 、 和 中一个三角形的面积等于其余两个的和。
证明：先证如下引理：
设O、H是线段BC所在直线外两点，P是线段BC的中点，记 、 和 的面积分别为 、 和 ，则 。
事实上，过点B、P、C分别作OH的垂线，垂足分别分别为D、E、F。则PE是梯形BDFC的中位线，所以
2．从 内一点M向三角形的三条高作垂线。若在每一条高上所作垂线的垂足到顶点的距离是等长的。求证：这个长度等于三角形内切圆的直径。
3．已知圆内接四边形ABCD满足 ， ， 。求△ABC的面积。
4．已知点P是 内一点，PAB=PBC=PCA=，A'B'，B'C'，C'A'分别过A、B、C三点，且分别垂直于PA、PB、PC，求证：SABC=SA'B'C'·sin2
2． 中，设 为a边上的高，R、r分别为 外接圆、内切圆的半径， ，则
三角形的面积公式形式多样，注意根据问题需要灵活选取。
3．（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（2）等底（或等高）的三角形的面积比等于其所对应的高（或底）的比。
4．共角定理
若 与 相等或互补，则 。
5．共边定理
如图，若直线AB与PQ相交于M，则 。
5．设E为凸四边形ABCD的对角线的交点， 、 、 分别为 、 、四边形ABCD的面积。求证： ，等号何时成立？
6．如图，设 中，D、E、F分别在BC、AC、AB上，若四边形AFDE是它的内接四边形，求证： .
第25章面积问题与面积方法
1．设 ，则
∴
又∵
∴
∴
∴
2．设高是AD、BE、CF，点M到AD、BE、CF的垂足分别是I、J、K。设 ，则
∴
即得 。
故引理得证。下面证明原命题：
过点O作 于P
∵O是锐角 的外心
∴
根据引理，得
连AP交OH于G，则由欧拉定理，知点G为 的重心
∴
∴
∴
这就证明了 、 和 中一个三角形的面积等于其余两个的和。
[超级训练]
1．在锐角 中， 的平分线交BC于L点，交 的外接圆于N点， 交AB于K， 交AC于M。证明： 与四边形AKNM的面积相等。
∵
∴
又若r是 的内切圆半径，则
∴ ，即t等于 的内切圆直径。
3．连BD交AC于O点
∵ ，
∴△ABD∽△OBA，
∴
又由托勒密定理，得
∴
∴
即
4．过点C'作C'DB'P于D，连CD.
∵PAA'B',PBB'C'
∴A、B'、B、P四点共圆.
∴CDB'=C'B'D.
又显然P、B、C'、D、C这五
点在以PC'为直径的圆上，
分析：引入角和线段长，将所证三角形的面积表示出来，利用三角法求证。
证明：设 ，则 ， ， 。
又设正 边长为t，则
又因为
所以，
例5（2003年白俄罗斯数学奥林匹克）已知圆内接四边形ABCD满足 ， ， 。求△ABC的面积。
分析：参数法求解。
解：延长AD至M，使 ，
设 ， ， 。
∵
∴△DCM∽△BAC
设 ，则
∵
∴
∴
又∵
∴
故DQ平分
例3 已知：O是 的外接圆圆心，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F。求证： 。
分析：运用共边定理将要证明的等式转化为面积恒等式。
证明：∵
∴
∴
即
评注：本题看似与面积无关，但运用面积法特别简单。
例4（2002年澳大利亚数学奥林匹克）设四边形ABCD是矩形，E、F分别是边BC、CD上的点，且满足 是正三角形。求证： 。
[范例解密]
例1已知：如图，P是△ 中 平分线上的任一点，过C作CE∥PB交AB的延长线于E，过B作BF∥PC交AC的延长线于F。求证： 。
分析：利用角平分线性质得到距离相等，结合等底等高的两个三角形面积相等，将问题转化为等积问题。
证明：连结PE、PF
∵CE∥PB，BF∥PC
∴
∴
又∵P是 平分线上的点
面积问题与面积方法
[赛点突破]
1．利用面积关系解决几何问题，古已有之，最典型的例子就是勾股定理的许多采用面积割补的证明。在数学竞赛中，有些问题是要求出指定图形的面积，也有些问题从表面上看似乎不直接涉及到面积，但若用等积变换与面积法去解答，往往会收到事半功倍的效果。在运用等积变换与面积法时，常常用到以下的公式和定理。
∴
又∵
∴
∴
评注：本题涉及到圆内接四边形，其另一种解法是运用托勒密定理，请参考本章超级训练第3题。
例6（2000年全国高中数学联赛）如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N为垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D点。证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等。
∴P到பைடு நூலகம்E及CF的距离相等
即 的边BE上的高等于 的边CF上的高
∴
评注：解决本题的关键是运用“平行得等积”。
例2（2003年德国数学竞赛）在平行四边形ABCD中，M、N分别在AB、BC上，且M、N不与端点重合， 。设AN与CM相交于点Q。求证：DQ平分 。
证明：设点Q到AB、BC、CD、DA的距离分别为a、b、c、d
证明：连结MN、BD、CD，设MN交AD于O。
∵FM⊥AB，FN⊥AC
∴A、M、F、N四点共圆
∴
又∵
∴△AOM∽△ANF
∴
∴ ①
又∵
∴△ABD∽△AFC
∴
∴ ②
由①、②得
又∵ ，及
∴
∴
例7（2003年白俄罗斯数学奥林匹克）已知凸五边形ABCDE满足 ， ， ， ， 。求五边形ABCDE的面积。
解：设K是点C关于直线BD的对称点，则
证明：设AF的延长线交⊙BDF于K，则
∴ ∥AC
∴
∴
又由正弦定理，得
∴
而
∴
又∵
∴ ∽
∴
故 。
例9（2003年第2届中国女子数学奥林匹克）已知D是 的边AB上的任意一点，E是边AC上的任意一点，连结DE，F是线段DE上的任意一点，设 ， ， 。
求证：（1） ， ；
（2） 。
证明：连结BE、CD。
(1)
∴CDB'=PBC==DB'C'.
作 和 的平分线，且交于点M。于是，BM是AK的中垂线，DM是EK的中垂线。特别地，有 ，即M是 的外心。
因为
所以，
所以 ，即
又因为 ，
所以
故AE是 的斜边，即M是AE的中点。
因为 ， ，
所以
评注：巧妙地构造K点，采用“割补法”求解。
例8（2004年首届中国东南地区数学奥林匹克）设点D为等腰 的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在 内的弧上一点，过B、D、F三点的圆与边AB交于点E。求证： 。
（2）由（1）得
。
例10（第16届亚太地区数学奥林匹克）设O、H分别是锐角 的外心和垂心。求证： 、 和 中一个三角形的面积等于其余两个的和。
证明：先证如下引理：
设O、H是线段BC所在直线外两点，P是线段BC的中点，记 、 和 的面积分别为 、 和 ，则 。
事实上，过点B、P、C分别作OH的垂线，垂足分别分别为D、E、F。则PE是梯形BDFC的中位线，所以
2．从 内一点M向三角形的三条高作垂线。若在每一条高上所作垂线的垂足到顶点的距离是等长的。求证：这个长度等于三角形内切圆的直径。
3．已知圆内接四边形ABCD满足 ， ， 。求△ABC的面积。
4．已知点P是 内一点，PAB=PBC=PCA=，A'B'，B'C'，C'A'分别过A、B、C三点，且分别垂直于PA、PB、PC，求证：SABC=SA'B'C'·sin2
2． 中，设 为a边上的高，R、r分别为 外接圆、内切圆的半径， ，则
三角形的面积公式形式多样，注意根据问题需要灵活选取。
3．（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（2）等底（或等高）的三角形的面积比等于其所对应的高（或底）的比。
4．共角定理
若 与 相等或互补，则 。
5．共边定理
如图，若直线AB与PQ相交于M，则 。
5．设E为凸四边形ABCD的对角线的交点， 、 、 分别为 、 、四边形ABCD的面积。求证： ，等号何时成立？
6．如图，设 中，D、E、F分别在BC、AC、AB上，若四边形AFDE是它的内接四边形，求证： .
第25章面积问题与面积方法
1．设 ，则
∴
又∵
∴
∴
∴
2．设高是AD、BE、CF，点M到AD、BE、CF的垂足分别是I、J、K。设 ，则
∴
即得 。
故引理得证。下面证明原命题：
过点O作 于P
∵O是锐角 的外心
∴
根据引理，得
连AP交OH于G，则由欧拉定理，知点G为 的重心
∴
∴
∴
这就证明了 、 和 中一个三角形的面积等于其余两个的和。
[超级训练]
1．在锐角 中， 的平分线交BC于L点，交 的外接圆于N点， 交AB于K， 交AC于M。证明： 与四边形AKNM的面积相等。
∵
∴
又若r是 的内切圆半径，则
∴ ，即t等于 的内切圆直径。
3．连BD交AC于O点
∵ ，
∴△ABD∽△OBA，
∴
又由托勒密定理，得
∴
∴
即
4．过点C'作C'DB'P于D，连CD.
∵PAA'B',PBB'C'
∴A、B'、B、P四点共圆.
∴CDB'=C'B'D.
又显然P、B、C'、D、C这五
点在以PC'为直径的圆上，
分析：引入角和线段长，将所证三角形的面积表示出来，利用三角法求证。
证明：设 ，则 ， ， 。
又设正 边长为t，则
又因为
所以，
例5（2003年白俄罗斯数学奥林匹克）已知圆内接四边形ABCD满足 ， ， 。求△ABC的面积。
分析：参数法求解。
解：延长AD至M，使 ，
设 ， ， 。
∵
∴△DCM∽△BAC
设 ，则
∵
∴
∴
又∵
∴
故DQ平分
例3 已知：O是 的外接圆圆心，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F。求证： 。
分析：运用共边定理将要证明的等式转化为面积恒等式。
证明：∵
∴
∴
即
评注：本题看似与面积无关，但运用面积法特别简单。
例4（2002年澳大利亚数学奥林匹克）设四边形ABCD是矩形，E、F分别是边BC、CD上的点，且满足 是正三角形。求证： 。
[范例解密]
例1已知：如图，P是△ 中 平分线上的任一点，过C作CE∥PB交AB的延长线于E，过B作BF∥PC交AC的延长线于F。求证： 。
分析：利用角平分线性质得到距离相等，结合等底等高的两个三角形面积相等，将问题转化为等积问题。
证明：连结PE、PF
∵CE∥PB，BF∥PC
∴
∴
又∵P是 平分线上的点
面积问题与面积方法
[赛点突破]
1．利用面积关系解决几何问题，古已有之，最典型的例子就是勾股定理的许多采用面积割补的证明。在数学竞赛中，有些问题是要求出指定图形的面积，也有些问题从表面上看似乎不直接涉及到面积，但若用等积变换与面积法去解答，往往会收到事半功倍的效果。在运用等积变换与面积法时，常常用到以下的公式和定理。