对数的概念和性质

对数的概念和性质
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2020/11/26
知新益能
1．对数的概念
(1)定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以______________，记作________，其中a
叫做对数的底数，N叫做真数．
(2)指数式与对数式的关系 a为底N的对数
x＝logaN
底数 底数
指数 对数
幂 真数
对数要成立必须具备底数大于0且不等于1，且真数大于0，这是对数存在的基础． 求下列各式中x的范围．
(1)log(2x－1)(x＋2)；(2)log (x2＋1)(－3x＋8)． 【思路点拨】 注意到x既存在于底数中，又存在于真数中，解答本题结合对数的概念，应考虑其 各自例的4要求解出x满足的条件．
【解】 (1)因为真数大于 0，底数大于 0 且不等于 1，
x＋2＞0 所以2x－1＞0
2x－1≠1
，解得 x＞12且 x≠1.
即 x 的取值范围是{x|x＞12且 x≠1}；
(2)因为底数 x2＋1＞1，所以 x≠0； 又因为－3x＋8＞0，所以 x＜83， 综上可知 x＜83，且 x≠0.
即 x 的取值范围是{x|x＜83且 x≠0}．
【名师点拨】 求解此类式子中参数的范围时，应根据对数中对底数和真数的要求 列出不等式组解出即可．
（3）对数式的引入，给出了用对数值来表示幂指数的值的方法。
试把下列式中的x表示出来:
1.01x 18 13
log1.01
18 13
1.01x 20 13
20 log1.01 13
Biblioteka Baidu1.01x 30 13
lo g 1.01
30 13
(4)通常把以10为底的对数叫常用对数，
并把 lo g 10 N , 简记作
5.13
log1 5.13m
3
例2 将下列对数式写成指数式：
（1） log1 273 31
（2） log51253
1
3
27
3
53 1
125
（3） ln 1 02.30 3 e2.30310
（4） lg0.012 102 0.01
指数式与对数式的互化要注意什么？
若是指数式化为对数式，关键是看清指数是几，再写成对数式，若是对数式化为指数式，则要 看清真数是几，再写成幂的形式，关键是要搞清N与b在指数式与对数式中的位置，千万不要大意， 其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据。
利用对数的基本性质对简单的对数式进行化简或求值．
例5 求下列各式中 x 的值．
(1)log2(log5x)＝0；
(2)log3(lgx)＝1；
(3)log( 2－1)
1
＝x；
3＋2 2
(4)化简 71＋log75
【思路点拨】 (1)(2)(3)主要利用loga1＝0，logaa＝1，(4)利用对数恒等式化简． 【解】 (1)∵log2(log5x)＝0， ∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5. (2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝31＝3， ∴x＝103＝1000.
loga ab b
对数的基本性质：
（1） 零和负数没有对数
（2） 1的对数等于0，即 （3） 底的对数等于1，即 （4） 对数恒等式
loga 1 0.
loga a 1.
aloga N N, loga ab b
说明： （1）在对数式
lo g a N 中， 要注意各量的取值范围
N 0, a 0 且 a 1.
（5） lg 0.001 3
1
（6）
lo g 2 1 6 4
4.求下列各式的值
（1） lo g 15 1 5 1 （2） l o g 0 .4 1 0
（3）
log 9 81 2
（4） log2.5 6.25 2
（5） log 7 343 3 （6） log3 243 5
考点二
对数的概念
log 5 例如：
10
简记作lg5；
lg N .
log10 3.5 简记作lg3.5.
（5）自然对数： 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……
为底的对数，即以e为底的对数叫自然对数。
为了简便，N的自然对数
例如：
log e 3 简记作ln3 ;
log N 简记作lnN。 e loge 10 简记作ln10
log 3 1 0 ln 1 0
log 3 3 1 ln e 1
（5）从（4）中你发现有什么规律？
1的对数等于0，
底的对数等于1
(5)如果把式子
ab N 中的b用
把式子
loga N b 中的N用
会得到什么样的式子？
bloga N 代换，
N ab 代换，
从而得到：
aloga N N,
这两个式子，我们叫对数恒等式
（2）
loga 1 0. loga a 1. 两个最特殊的对数值，
常用来化简对数式。
（3）对于 一些特殊的对数式，可以用对数恒等式 直接求解。
例1 将下列指数式写成对数式：
（1） 54 625lo5g6254
（2）
26 1 64
1 log2 64 6
（3）
3a 27 log327a
（4）
1m 3
因为 ln e2 x,
则 ln e2 x, 即 ex e2 , 于是 x 2.
解法二： 因为 ln e2 2, 所以 lne2 2, 于是 x 2.
练习
1.把下列指数式写成对数式
（1）
23 8
（2）
25 32
（3）
21 1
2
（4）
1
27 3
1
3
log283
lo2g325
log2
1 2
1
log2
7
1 3
1 3
2 将下列对数式写成指数式：
（1）
log392 32 9
（2） lo5g1253 53 125
（3）
log2
1 4
2
（4）
log3 8114
22 1 4
34 1 81
3.求下列各式的值
（1） log 5 25 2
（2）
lg 10 1
（3） lg 0.01 2
（4） lg1000 3
解法一： 因为 lg100 x,
则 10x 100102, 于是 x 2 .
利用对数的定义或恒等式求式子的值， 首先要设成对数式，再转化为指数式或 指数方程求解，另外利用对数恒等式可
直接求解，所以有两种解法。
解法二：
（6） 解法一：
因为 lg100lg102 2,
于是 x 2 .
lne2 x
(3)∵log( 2－1) 1 ＝x， 3＋2 2
∴( 2－1)x＝
1 3＋2
＝ 2
1＝ 2＋12
1＝ 2＋1
2－1，
∴x＝1.
(4)原式＝7×7log75＝7×5＝35.
【名师点拨】 有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值为“1”和“0”，化 成常数，有利于化简和计算．
练习 若loga[logb(logcx)]＝0，(a＞0，b＞0，c＞0且a≠1，b≠1，c≠1)，则x＝________. 解析：logb(logcx)＝1，∴logc x＝b，∴x＝cb. 答案：cb
谢谢
(1) 你能把下列指数式写成对数式？
2x 3, 2 x 0,
没有意义，不成立
（2） 这样的对数 没有意义
log 2 3 lo g 2 0
有意义吗？
（3） 从（1）（2）中你能得出什么结论？
零和负数没有对数
（4） 你能写出下列对数的值吗？
lo g 2 1 0 lg 1 0
log 2 2 1 lg 1 0 1
互动探究 在本例(2)中，若底数与真数中的式子互换，即log(－3x＋8)(x2＋1)，则x的取值范围如何？
解：因为底数－3x＋8＞0 且－3x＋8≠1， 所以 x＜83且 x≠73. 又因为 x2＋1＞0，所以 x∈R. 综上可知：x 的取值范围是{x|x＜83且 x≠73}．
考点三
对数基本性质的应用
例3计算： 解法一： 解法二：
（1） log9 27
设 xlog927, 则 9x 27, 即
3
lo9g 27 lo9g 33lo9g 92
3 2
32x 33, x 3
2
（2） 解法一：
log 4 3 81
设 xlog4 381则
4
x
3
81, 即
x
3 4 34 , x16
解法二：
lo43g8 1lo43g(43)1616
对数恒等式
aloga N N, loga ab b
（3）
log 64
x
2 3
解：因为
log 64
x
2 3
所以
2
x643
(43)23
421
16
（4） logx 8 6
解: 因为
logx 8 6 所以
x6 8
又因 x 0 所以
1
1
1
x86(23)622 2
例3计算：
（5） lg100 x