运筹学线性规划的对偶理论及其应用

s.t.
Y
0
上两式中
X ( x1, x2 , , xn )T Y ( y1, y2, , ym ) C (c1, c2 , , cn ) b (b1, b2 , , bm )T
a11 a12
A
a21 am1
a22 am2
a1n
a2n
amn
4
2.1.1 线性规划原问题与对偶问题的表达形式
x2 不限, x1 0
max f ( x) 4x1 5x2 5x2
3x1 2x2 2x2 20
s.t.
4
x1
3x2 3x2 x1 x2 x2
10 5
x1 x2 x2 5
x1, x2 , x2 0
令 y1 w1, y2 w2, y3 w3 w4 经整理得 :
2 y1 y2 2 2 y1 3y2 3
产品 2的所得 产品 3的所得
3y1 2 y2 4 产品 4 的所得
y1, y2 0
3
2.1.1 线性规划原问题与对偶问题的表达形式
原问题 : max f (x) CX
AX b
s.t.
X
0
对偶问题 :
min g( y) Yb
YA C
©管理与人文学院 忻展红
1999，4
第二章 线性规划的对偶理论及其应用
窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船 对偶是一种普遍现象
2.1 线性规划的对偶理论
2.1.1 线性规划原问题与对偶问题的表达形式
• 任何线性规划问题都有其对偶问题 • 对偶问题有其明显的经济含义
max f ( x) x1 2x2 3x3 4x4
系数矩阵 • 原问题与对偶问题互为对偶
– 对偶问题可能比原问题容易求解 – 对偶问题还有很多理论和实际应用的意义
6
2.1.3 非标准型的对偶变换 化为(max, )型标准问题
例 2.1.2 原线性规划问题
max f ( x) 4x1 5x2
3x1 2x2 20
s.t.
4x1 3x2 10 x1 x2 5
证：由弱对偶定理推论1，结论是显然的。
即CX0 = Y0b CX, Y0b = CX0 Yb 。
对偶变量 yi 0 对偶变量 yi 0
第 i 行约束条件为 = 型
对偶变量 yi 不限
决策变量 xj 0
第 j 行约束条件为 型
决策变量 xj 0 决策变量 xj 不限
第 j 行约束条件为 型 第 j 行约束条件为 = 型
• 约束条件的类型与非负条件对偶 • 非标准的约束条件类型对应非正常的非负条件 • 对偶变换是一一对应的
把对偶问题展开
min g( y) b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1
s.t.
a12
y1
a22
y2
am2 ym
c2
a1n y1 a2n y2 amn ym cn
y1, y2 , , ym 0
对偶问题习惯写为: min g(Y ) bTY T
证 : 由于X 0,Y 0分别为原问题和对偶问题的可行解,故有
AX 0 b
X0
0
Y 0 A C
Y0
0
容易看出有 Y 0b Y 0 AX 0 CX 0. # 9
弱对偶定理推论
• max问题的任何可行解目标函数值是其对偶min问题 目标函数值的下限； min问题的任何可行解目标函数 值是其对偶max问题目标函数值的上限
2w1 3w2 w3 w4 5 2w1 3w2 w3 w4 5
w1, w2 , w3, w4 0
表2.1.1 对偶变换的规则
原问题 (max)
对偶问题 (min)
技术系数矩阵 A
技术系数矩阵 AT
价值系数 C
右端项 b
右端项 b
价值系数 C
第 i 行约束条件为 型 第 i 行约束条件为 型
8
2.2 线性规划的对偶定理
• 为了便于讨论，下面不妨总是假设
原问题 : max f ( x) CX
对偶问题 : min g( y) Yb
AX b
s.t.
X
0
s.t.
YA C
Y
0
2.2.1 弱对偶定理
定理 对偶问题(min)的任何可行解Y0，其目标函数值总是 不小于原问题(max)任何可行解X0的目标函数值
• 如果原max(min)问题为无界解，则其对偶 min (max) 问题无可行解
• 如果原max(min)问题有可行解，其对偶 min (max)问 题无可行解，则原问题为无界解
• 注：有可能存在原问题和对偶问题同时无可行解的情 况
10
2.2.2 最优解判别定理
定理 若原问题的某个可行解X0的目标函数值与对偶问题 某个可行解Y0的目标函数值相等，则X0, Y0分别是相 应问题的最优解
– 显然商人希x1望总2x的2 收2购x3 价 3越x4小越25好 A资源 – 工厂s希.t.望出2售x1 资x源2 后3所x3 得 2不x4应比15生产B产资品源所得少
x1, x2, x3, x4 0
目标函数 min g(y)=25y1+15y2
y1 2 y2 1 产品1的所得
s.t.
ATY T CT s.t.
Y 0
5
2.1.2 标准(max,)型的对偶变换
• 目标函数由 max 型变为 min 型 • 对应原问题每个约束行有一个对偶变量 yi，i=1,2,…,m • 对偶问题约束为 型，有 n 行 • 原问题的价值系数 C 变换为对偶问题的右端项 • 原问题的右端项 b 变换为对偶问题的价值系数 • 原问题的技术系数矩阵 A 转置后成为对偶问题的技术
min g( y) 20 y1 10 y2 5y3
s.t.
3y1 4 y2 y3 4 2 y1 3y2 y3 5
y1 0, y2 0, y3 不限
应用标准型对偶变换规则
min h(w) 20w1 10w2 5w3 5w4
3w1 4w2 w3 w4 4
s.t.
wk.baidu.com
x1 2 x2 2 x3 3x4 25 s.t. 2x1 x2 3x3 2x4 15
x1, x2 , x3, x4 0
A资源 B资源
假设有商人要向厂方购买资源A和B，问他们谈判原料 价格的模型是怎样的？
2
例2.1.1
– 设A、maBx资f 源( x)的出x1售 价2x格2 分3x别3 为4xy41 和 y2