人教版数学必修一函数的单调性与最大值

一、函数的单调性

1.增函数和减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I

如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1

如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1f(x 2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是减函数

2.函数的单调性与单调区间

如果函数y=f(x)在区间D 上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间

（1）在某个区间具有单调性：①这个区间可以是整个定义域.如：y=x 在整个定义域R 上是增函数，②这个区间也可以是定义域的真子集，如：y=x ²在定义域（-∞，+∞）上不具有单调性，但在（-∞，0 ] 上是减函数，在 [ 0，+∞）上是增函数

（2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x 1，x 2有以下几个特征：一是任意性，，即“任意取x 1，x 2”，“任意”两字不能丢；二是有大小，通常规定x 1

（3）单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值得不等关系正逆互推，即由f(x)是增函数且f （x 1）

（4）有的函数不具有单调性，如函数y={1，x 为有理数0，x 为无理数

，它的定义域为R ，但不具有单调性，函数y=x+1,x ∈Z 它的定义域不是区间，也不能说它在其定义域上具有单调性

（5）如果函数f(x)在其定义域内的两个区间A ，B 上都是增（减）函数，一般不能认为f （x ）在A ∪B 上是增（减）函数，例如f(x)=1x 在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是减函数，但是不能说其在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数，在这里，正确的写法应为：“（-∞，0），（0，+∞）”或“（-∞，0）和（0，+∞）”

（6）图像特征：在某区间上，单调递增的函数f(x)，从左向右看，其图像时上升的，单调递减的函数f(x)，从左向右看，其图像时下降的

（7）函数在某一点处的单调性无意义

例1：如图，是定义在[-5,5]上的函数y=f(x)的图像，根据图像写出单调区间，以及在每一个区间上函数y=f(x)的单调性

3.判断函数单调性的方法

定义法：

①取值：在指定区间内任取x1，x2，且令x1

②做差变形：将f(x1)- f(x2)进行化简变形，变形后判断f(x1)- f(x2)的正负

③定号：确定f(x1)- f(x2)的符号，若不能直接确定差值的符号，可以考虑分类讨论

④判断：根据增减函数的定义做出结论

例2：用单调性的定义求函数f(x)=2x²+4x在[-1,+∞）上的单调性

在（-∞，0）上是增函数

例3：利用函数单调性的定义证明函数f(x)=1

x2

4.函数的最大（小）值

（1）函数最大值的概念

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

②存在x0∈I，使得f(x0)=M

那么我们称M是函数y=f(x)的最大值

（2）最值的求法

①做出函数图象，尤其是分段函数或解析式含有军队之的函数，从图像中直接观察可得最值

②求函数的值域，其边界即为最值，此时要注意边界值是否能取到（即最值是否存在）

③利用函数单调性求最值：

若函数在[a,b]上是减函数，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a).最小值为f(b)

若函数在[a,b]上是增函数，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b).最小值为f(a)

例4：如图为函数y=f(x)，x∈[-4,7]的图像，指出它的最大值、最小值

例5：已知2x²-3x≤0，则函数f(x)=x²+x+1的最小值为________最大值为________

5.复合函数单调性

以复合函数y=f(g(x))为例，其单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单调性相同时递增，相异时递减

求复合函数单调区间的步骤：

①确定函数的定义域

②将符合函数分解成基本初等函数：y=f(u),u=g(x)

③分别确定这两个函数的单调区间

④若这两个函数同增或同减，则y=f(g(x)) 为增函数，若一增一减，则y=f(g(x)) 为减函数

x∈[2,6],试判断函数f(x)在x∈[2,6]上的单调性，并求出函数f(x)在例6：已知函数f(x)=2

x−1

x∈[2,6]上的最大值和最小值

例7：讨论函数f(x)=1

的单调性

x²−x−20

练习：

1.判断函数f(x)=1

在区间（1，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明

x²−1

2.已知二次函数f(x)=ax²+2ax+1在区间[-2,3]上的最大值为6，则a的值为________

1.若函数y=f(x)的图像如图所示，则其函数解析式为__________

2.已知f(x)= {

求函数f(x)的定义域和值域

3.设函数f(x)={x +2,x >01,x =0−x,x <0

,则满足f(x)≥1的取值范围是_________

4.已知函数f(x)={3x +5，x ≤0

x +5，0＜x ≤1−2x +8，x >1

（1）求f(32),f(1π)，f(-1)的值 （2）求f(x)的最大值

5.已知f(x)是一次函数，2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)=__________

6.已知函数f(x)=x ²-2（a-1）x+2，x ∈[-5.5]

（1）求实数a 的取值范围，是函数f(x)在区间[-5,5]上是单调函数

（2）求f(x)的最小值

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