过一点作三次函数图像切线条数的完备结论
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2008 年第 3 期 数 学 通 讯
11
过一点作三次函数图像切线条数的完备结论
贺 斌
(谷城县第三中学 ,湖北 441700)
中图分类号 : O123. 3 文献标识码 : A 文章编号 : 0488 - 7395 (2008) 03 - 0011 - 02
仅有一个实数根. 即过直线
x
=
-
b 上的任 3a
一点能且仅能作 y = f ( x ) 图像的一条切线.
若
x0
≠-
b 3a
,
则
g′(
t)
在
点
x0
附近的
函数值异号 , 在点 -
b 附近的函数值也异 3a
收稿日期 :2007 - 10 - 25 作者简介 :贺斌 (1961 —) ,男 ,湖北随州人 ,湖北省谷城县第三中学高级教师.
则
g′( t) = - f ′( t) - f ″( t) ( x 0 - t) + f ′( t) = ( t - x 0) f ″( t)
= 2 ( t - x 0) (3 at + b) .
若
x0 =
-
b 3a
,
则
g′( t)
=6a( t
-
来自百度文库x0) 2 ,
g ( t) 为 R 上的单调函数 ,方程 g ( t) = 0 有且
+
cx
+
d
(a
≠0) 的图像
C 上的点N (
-
b 3a
,
f
(
-
b 3a
)
)
是
C 的唯一对称中心.
定理 设三次函数图像 C 在其对称中
心 N 处的切线为 l , M 是三次函数图像 C 所
在平面上的一点 ,则
( Ⅰ) 过点 M 能且仅能作 C 的一条切
线 ,当且仅当点 M 位于 C 和 l 所夹的上 、下
的一元二次不等式 , 并且
y
2 0
项的系数为正 ,
故满足上述不等式组的点 M ( x 0 , y0) 位于 C
和 l 所夹的上 、下两个区域内 (边界除外) .
图 5 三次函数 图 6 三次函数
3) 方程 g ( t) = 0 有三个相异的实数根 , 当且仅当
x0
≠-
b 3a
,
g ( x 0) ·g (
或极小值 > 0 (如图 4) .
2) 方程 g ( t ) = 0 有且仅有两个相异实
数根 ,当且仅当
g ( x0)
= 0,或
g(
-
b 3a
)
=0
(如图 5 , 6) ,即 y0 = f ( x 0) , 或 y0 -
f(-
b) 3a
=
f
′( -
3ba )
(
x0
+
b 3a
)
.
亦即当且仅当点
M
位于 y = f ( x ) 的图像上 ,或点 M 位于过三次
两个区域内 (边界除外) , 或点 M 与点 N 重
合;
( Ⅱ) 过点 M 能且仅能作 C 的两条切
线 ,当且仅当点 M 位于图像 C 或切线 l 上
(点 N 除外) ;
( Ⅲ) 过点 M 能且仅能作 C 的三条切
线 ,当且仅当点 M 位于 C 和 l 所夹的左 、右
两个区域内 (边界除外) .
为方便读者形象直观的理解 , 我们根据
综上 ,定理获证.
参考文献 :
[1 ] 贺斌 ,黄福. 过哪些点可以作三次函数图像的 三条切线. 数学通讯 , 2007 (21) .
[2 ] 管宏斌. 三次函数对称中心初探. 数学通讯 ,
2004 (15) . [3 ] 刘国杰. 三次函数图像对称性的探索. 数学通
讯 ,2006 (20) .
b 3a
)
>0
( x0 ≠
- 3ba) .
x0
≠-
b 3a
,
即 [ y0 - f ( x 0) ]·[ y0 - f ( - 3ba) (2)
-
f ′( -
b) 3a
(
x0
+
b) 3a
]
>
0
由引理知 , 三次函数 y = f ( x ) 的图像有
唯一对称中心
N(
-
b 3a
,
f
(-
3ba) ) . 而
12
数 学 通 讯 2008 第 3 期
号 ,故
x0 和 -
b 都是 3a
g
(
t)
的极值点.
于是结
合函数 g ( t) 的单调性知 :
1) 方程 g ( t) = 0 有且仅有一个实数根 ,
当且仅当函数 g ( t) 的极大值 < 0 (如图 3 ,仅
画出了 g ( t) 首项系数大于 0 的情况 , 后同)
三次函数首项系数的正 (如图 1) 负 (如图 2)
画出相应的示意图如右.
证 设三次函数为 f ( x ) = ax 3 + bx 2 +
cx + d ( a ≠0) , 点 M 的坐标为 ( x 0 , y0) , 点
A ( t , f ( t) ) 为三次函数 y = f ( x) 图像 C 上 的一点 ,则点 A 处的切线方程为 y - f ( t) = f ′( t) ( x - t) . 于是 , 切线过点 M , 等价于存 在实数 t ,使
-
b 3a
)
<0,
x0
≠-
b 3a
,
即 [ y0 - f ( x 0) ]·[ y0 - f ( - 3ba)
-
f ′( -
3ba)
(
x0
+
b 3a
)
]
<
0.
通过与 1) 类似的分析 ( 或参见文 [ 1 ])
知 :满足上述不等式组的点 M ( x 0 , y0) 位于
C 和 l 所夹的左 、右两个区域内 (边界除外) .
C在
点 N 处的切线 l 的方程为
y-
f(-
3ba)
=
f ′( -
b 3a
)
(
x
+
3ba)
.
故直线 x = x 0 与 C 及 l 的交点纵坐标
分别为
f ( x0) ,
f(-
b 3a
)
+ f ′( -
b 3a
)
(
x0
+
3ba)
.
由于
x0
≠-
b 3a
,
故
上
述
两纵坐标
不
相
等. 注意到不等式组 (2) 的第二式为关于 y0
图 1 三次函数 图 2 三次函数
y0 - f ( t) = f ′( t) ( x 0 - t)
(1)
注意到 ( 1) 是关于 t 的三次方程 ( 易知
t3 的系数不为 0) , 故过点 M 最多可作图像
C 的三条切线.
记 g ( t) = y0 - f ( t) - f ′( t) ·( x 0 - t ) ,
文[1 ]回答了过哪些点可以作三次函数 图像的三条切线. 受文[1 ]启发 , 一个自然的 问题是 :过哪些点可以作三次函数 y 图像的 一条切线 、两条切线 ? 本文在文[1 ]的基础上 给出过一点所作三次函数图像切线条数的完
备结论. 引理[2 ] , [3 ] 三次函数 f ( x ) = ax 3 + bx 2
函数对称中心
N(
-
b 3a
,
f
(
-
b 3a
)
)
处的切线
l 上 (点 N 除外) 时 ,可作 y = f ( x ) 的两条切
线.
图 3 三次函数 图 4 三次函数
g ( x0) < 0 ,
g ( x0) > 0 ,
即
g(
-
b) 3a
<0,
或
g(
-
b) 3a
> 0.
亦即
g ( x 0 ) ·g ( -
11
过一点作三次函数图像切线条数的完备结论
贺 斌
(谷城县第三中学 ,湖北 441700)
中图分类号 : O123. 3 文献标识码 : A 文章编号 : 0488 - 7395 (2008) 03 - 0011 - 02
仅有一个实数根. 即过直线
x
=
-
b 上的任 3a
一点能且仅能作 y = f ( x ) 图像的一条切线.
若
x0
≠-
b 3a
,
则
g′(
t)
在
点
x0
附近的
函数值异号 , 在点 -
b 附近的函数值也异 3a
收稿日期 :2007 - 10 - 25 作者简介 :贺斌 (1961 —) ,男 ,湖北随州人 ,湖北省谷城县第三中学高级教师.
则
g′( t) = - f ′( t) - f ″( t) ( x 0 - t) + f ′( t) = ( t - x 0) f ″( t)
= 2 ( t - x 0) (3 at + b) .
若
x0 =
-
b 3a
,
则
g′( t)
=6a( t
-
来自百度文库x0) 2 ,
g ( t) 为 R 上的单调函数 ,方程 g ( t) = 0 有且
+
cx
+
d
(a
≠0) 的图像
C 上的点N (
-
b 3a
,
f
(
-
b 3a
)
)
是
C 的唯一对称中心.
定理 设三次函数图像 C 在其对称中
心 N 处的切线为 l , M 是三次函数图像 C 所
在平面上的一点 ,则
( Ⅰ) 过点 M 能且仅能作 C 的一条切
线 ,当且仅当点 M 位于 C 和 l 所夹的上 、下
的一元二次不等式 , 并且
y
2 0
项的系数为正 ,
故满足上述不等式组的点 M ( x 0 , y0) 位于 C
和 l 所夹的上 、下两个区域内 (边界除外) .
图 5 三次函数 图 6 三次函数
3) 方程 g ( t) = 0 有三个相异的实数根 , 当且仅当
x0
≠-
b 3a
,
g ( x 0) ·g (
或极小值 > 0 (如图 4) .
2) 方程 g ( t ) = 0 有且仅有两个相异实
数根 ,当且仅当
g ( x0)
= 0,或
g(
-
b 3a
)
=0
(如图 5 , 6) ,即 y0 = f ( x 0) , 或 y0 -
f(-
b) 3a
=
f
′( -
3ba )
(
x0
+
b 3a
)
.
亦即当且仅当点
M
位于 y = f ( x ) 的图像上 ,或点 M 位于过三次
两个区域内 (边界除外) , 或点 M 与点 N 重
合;
( Ⅱ) 过点 M 能且仅能作 C 的两条切
线 ,当且仅当点 M 位于图像 C 或切线 l 上
(点 N 除外) ;
( Ⅲ) 过点 M 能且仅能作 C 的三条切
线 ,当且仅当点 M 位于 C 和 l 所夹的左 、右
两个区域内 (边界除外) .
为方便读者形象直观的理解 , 我们根据
综上 ,定理获证.
参考文献 :
[1 ] 贺斌 ,黄福. 过哪些点可以作三次函数图像的 三条切线. 数学通讯 , 2007 (21) .
[2 ] 管宏斌. 三次函数对称中心初探. 数学通讯 ,
2004 (15) . [3 ] 刘国杰. 三次函数图像对称性的探索. 数学通
讯 ,2006 (20) .
b 3a
)
>0
( x0 ≠
- 3ba) .
x0
≠-
b 3a
,
即 [ y0 - f ( x 0) ]·[ y0 - f ( - 3ba) (2)
-
f ′( -
b) 3a
(
x0
+
b) 3a
]
>
0
由引理知 , 三次函数 y = f ( x ) 的图像有
唯一对称中心
N(
-
b 3a
,
f
(-
3ba) ) . 而
12
数 学 通 讯 2008 第 3 期
号 ,故
x0 和 -
b 都是 3a
g
(
t)
的极值点.
于是结
合函数 g ( t) 的单调性知 :
1) 方程 g ( t) = 0 有且仅有一个实数根 ,
当且仅当函数 g ( t) 的极大值 < 0 (如图 3 ,仅
画出了 g ( t) 首项系数大于 0 的情况 , 后同)
三次函数首项系数的正 (如图 1) 负 (如图 2)
画出相应的示意图如右.
证 设三次函数为 f ( x ) = ax 3 + bx 2 +
cx + d ( a ≠0) , 点 M 的坐标为 ( x 0 , y0) , 点
A ( t , f ( t) ) 为三次函数 y = f ( x) 图像 C 上 的一点 ,则点 A 处的切线方程为 y - f ( t) = f ′( t) ( x - t) . 于是 , 切线过点 M , 等价于存 在实数 t ,使
-
b 3a
)
<0,
x0
≠-
b 3a
,
即 [ y0 - f ( x 0) ]·[ y0 - f ( - 3ba)
-
f ′( -
3ba)
(
x0
+
b 3a
)
]
<
0.
通过与 1) 类似的分析 ( 或参见文 [ 1 ])
知 :满足上述不等式组的点 M ( x 0 , y0) 位于
C 和 l 所夹的左 、右两个区域内 (边界除外) .
C在
点 N 处的切线 l 的方程为
y-
f(-
3ba)
=
f ′( -
b 3a
)
(
x
+
3ba)
.
故直线 x = x 0 与 C 及 l 的交点纵坐标
分别为
f ( x0) ,
f(-
b 3a
)
+ f ′( -
b 3a
)
(
x0
+
3ba)
.
由于
x0
≠-
b 3a
,
故
上
述
两纵坐标
不
相
等. 注意到不等式组 (2) 的第二式为关于 y0
图 1 三次函数 图 2 三次函数
y0 - f ( t) = f ′( t) ( x 0 - t)
(1)
注意到 ( 1) 是关于 t 的三次方程 ( 易知
t3 的系数不为 0) , 故过点 M 最多可作图像
C 的三条切线.
记 g ( t) = y0 - f ( t) - f ′( t) ·( x 0 - t ) ,
文[1 ]回答了过哪些点可以作三次函数 图像的三条切线. 受文[1 ]启发 , 一个自然的 问题是 :过哪些点可以作三次函数 y 图像的 一条切线 、两条切线 ? 本文在文[1 ]的基础上 给出过一点所作三次函数图像切线条数的完
备结论. 引理[2 ] , [3 ] 三次函数 f ( x ) = ax 3 + bx 2
函数对称中心
N(
-
b 3a
,
f
(
-
b 3a
)
)
处的切线
l 上 (点 N 除外) 时 ,可作 y = f ( x ) 的两条切
线.
图 3 三次函数 图 4 三次函数
g ( x0) < 0 ,
g ( x0) > 0 ,
即
g(
-
b) 3a
<0,
或
g(
-
b) 3a
> 0.
亦即
g ( x 0 ) ·g ( -