高中数学基本不等式题型总结
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专题 基本不等式
【一】基础知识
基本不等式：
（1）基本不等式成立的条件：；
（2）等号成立的条件：当且仅当时取等号.
2.几个重要的不等式
（1） ；（2） ；
【二】例题分析
【模块1】“1”的巧妙替换
【例1】已知 ，且 ，则 的最小值为.
【变式1】已知 ，且 ，则 的最小值为.
【变式2】（2013年天津）设 ，则 的最小值为.
【例2】（2012河西）已知正实数 满足 ，则 的最小值为.
【变式】已知正实数 满足 ，则 的最小值为.
【例3】已知 ，且 ，则 的最小值为.
【例4】已知正数 满足 ，则 的最小值为.
【例5】已知 ，若不等式 总能成立，则实数 的最大值为.
【例6】（2013年天津市第二次六校联考）已知直线 与圆 相交于 两点， 为坐标原点，且△ 为直角三角形，则 的最小值为.
【例7】（2012年南开二模）若直线 始终平分圆 的周长，则 的最小值为.
【例8】设 分别为具有公共焦点 的椭圆和双曲线的离心率， 为两曲线的一个公共点，且满足 ，则 的最小值为
【例9】已知 ，则 的最小值是（ ）
A．6B．5C． D．
【例10】已知函数 ，若 ，且 ，则 的最小值为.
【模块二】“和”与“积”混合型
C．函数 的最小值为
D．函数 的最小值为
【例10】设 的最小值是（）
A．10B． C． D．
【例5】设 ，若直线 与圆 相切，则 的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【例6】已知 ，且 成等比数列，则 的最小值为.
【ห้องสมุดไป่ตู้7】（2015天津）已知 则当 的值为时 取得最大值.
【例8】（2011年天津）已知 ，则 的最小值为.
【例9】下列说法正确的是（ ）
A．函数 的最小值为
B．函数 的最小值为
【例1】（2012年天津）设 ,若直线 与 轴相交于点A,与y轴相交于B，且 与圆 相交所得弦的长为 ， 为坐标原点，则 面积的最小值为.
【例2】设 ， ，若 ， ，则 的最大值为_______.
【例3】若实数 满足 ，则 的最大值为.
【例4】（2013年南开一模）已知正实数 满足 ，则 的最小值为.
【一】基础知识
基本不等式：
（1）基本不等式成立的条件：；
（2）等号成立的条件：当且仅当时取等号.
2.几个重要的不等式
（1） ；（2） ；
【二】例题分析
【模块1】“1”的巧妙替换
【例1】已知 ，且 ，则 的最小值为.
【变式1】已知 ，且 ，则 的最小值为.
【变式2】（2013年天津）设 ，则 的最小值为.
【例2】（2012河西）已知正实数 满足 ，则 的最小值为.
【变式】已知正实数 满足 ，则 的最小值为.
【例3】已知 ，且 ，则 的最小值为.
【例4】已知正数 满足 ，则 的最小值为.
【例5】已知 ，若不等式 总能成立，则实数 的最大值为.
【例6】（2013年天津市第二次六校联考）已知直线 与圆 相交于 两点， 为坐标原点，且△ 为直角三角形，则 的最小值为.
【例7】（2012年南开二模）若直线 始终平分圆 的周长，则 的最小值为.
【例8】设 分别为具有公共焦点 的椭圆和双曲线的离心率， 为两曲线的一个公共点，且满足 ，则 的最小值为
【例9】已知 ，则 的最小值是（ ）
A．6B．5C． D．
【例10】已知函数 ，若 ，且 ，则 的最小值为.
【模块二】“和”与“积”混合型
C．函数 的最小值为
D．函数 的最小值为
【例10】设 的最小值是（）
A．10B． C． D．
【例5】设 ，若直线 与圆 相切，则 的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【例6】已知 ，且 成等比数列，则 的最小值为.
【ห้องสมุดไป่ตู้7】（2015天津）已知 则当 的值为时 取得最大值.
【例8】（2011年天津）已知 ，则 的最小值为.
【例9】下列说法正确的是（ ）
A．函数 的最小值为
B．函数 的最小值为
【例1】（2012年天津）设 ,若直线 与 轴相交于点A,与y轴相交于B，且 与圆 相交所得弦的长为 ， 为坐标原点，则 面积的最小值为.
【例2】设 ， ，若 ， ，则 的最大值为_______.
【例3】若实数 满足 ，则 的最大值为.
【例4】（2013年南开一模）已知正实数 满足 ，则 的最小值为.