6.3 三维情况下的自由电子气

sin
πny L
y
sin
πnz z L
nx、ny、nz 是正整数，原点选在立方体的一个 顶点上
1
固体物理导论
第 6 章 自由电子费米气
6.3 三维情况下的自由电子气
引入满足周期性边界条件的波函数，要求波
函数是 x、y、z 的周期函数，周期为 L，于是
(x L, y, z) (x, y, z)


2 2m

3π 2 V
N
2/3
N

V 3π2

2m
2
3/ 2
所以态密度为
D( )

dN
d

V 2π2

2m 2
3/
2

1/
2
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固体物理导论
第 6 章 自由电子费米气
6.3 三维情况下的自由电子气
计算态密度更简捷的方法：
N

V 3π2


exp(ik
r)
代入薛定谔方
程，可得到波矢为 k 的轨道能量为
k

2 2m
k2

2 2m
(k
2 x

k
2 y

k
2 z
)
3
固体物理导论
第 6 章 自由电子费米气
6.3 三维情况下的自由电子气
动量
k
的算符
p i ，对于平面波函数
k(r)

exp(ik
r)

V3 (2π)3
所以，在半径为 kF 的费米球内的波矢总数为
2
V3 (2π)3

4 3
πk
3 F

N
对应于每个允许的波矢将有两个 ms 值
6
固体物理导论
第 6 章 自由电子费米气
6.3 三维情况下的自由电子气
因此我们得到
kF


3π2 N V
1/ 3

F
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2 2m

3π2 N V
(x, y L, z) (x, y, z)
(x, y, z L) (x, y, z)
则自由粒子的波函数应具有平面波的形式
而波矢 k的分量k必(r须) 满e足xp(ik r)
kx , ky , kz

n
2π , L
(n Z)
2
固体物理导论
第 6 章 自由电子费米气
2m
2
3/ 2

对上式两边去自然对数 ln N 3 ln 常数
2
两边再作微分 dN 3 d N 2
所以态密度为 D( ) dN 3N d 2
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固体物理导论
第 6 章 自由电子费米气
6.3 三维情况下的自由电子气
自由电子气的单粒子态密度
10
2 / 3
仅依赖于电子浓度 N/V
费米面上的电子速度为
vF

kF m

m

3π2 V
N
1/ 3
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固体物理导论
第 6 章 自由电子费米气
6.3 三维情况下的自由电子气
态密度
单位频率间隔内的轨道数目即为态密度 (严 格讲是单粒子态密度或者轨道密度)
设 N 为能量≤ 的轨道数，则由前面讨论知
6.3 三维情况下的自由电子气
k的分量具有 2np/L 的形式，是这一问题的 量子数，另外自旋方向的量子数为 ms，于是
exp[ikx (x L)] exp[i2nπ(x L) / L]
exp(i2nπx / L) exp(ikx x)
保证了波函数满足周期性条件
把波函数
k(r)
F

2 2m
kF2
kz
kF
kx
能量为 F
的费米面
ky
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固体物理导论
第 6 章 自由电子费米气
6.3 三维情况下的自由电子气
波矢 k的分量的取值 k空间的体积元 (2p/L)3
kx , ky , kz

n
2π , L
(n
内允许的波矢数： 1
Z
)
单位体积内允许的波矢数为
( L )3 2π
我们有
pk(r) ik(r) kk(r)
为 k因的此本，征平函面数波。在k(r轨)是道动k量中的，一粒个子属速于度本为征值
v
k /
m
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固体物理导论
第 6 章 自由电子费米气
6.3 三维情况下的自由电子气
当 N 个自由电子的系统处于基态时，被占据 轨道可以表示为k 空间中一个球内的点，该球面 费米面，费米面上波矢的大小为 kF，则费米能
固体物理导论
第 6 章 自由电子费米气
6.3 三维情况下的自由电子气
三维情况下自由粒子的薛定谔方程

2 2m

2 x2

2 y 2

2 z 2
k(r)

kk(r)
如果粒子被限制在边长为 L 的立方体内，则其
波函数为驻波
n (r)

A s in
πnx x L