概率论与数理统计模拟试题

一． 选择题

1.设

,

为两个分布函数，其相应的概率密度

,

是连续函数，

则必为概率密度的是（D ）

A B 2

C D

2．

设随机变量X~N （0,1），Y~N （1,4）且相关系数

=1，则（D ）

A P(Y=-2X-1)=1

B P(Y=2X-1)=1

C P(Y=-2X+1)=1

D P(Y=2X+1)=1

3.

已知概率论的期末考试成绩服从正态分布，从这个总体中随机抽取n=36的样本，并计算得其平均分为79，标准差为9，那么下列成绩不在这次考试中全体考生成绩均值μ的的置信区间之内的有（ ），并且当置信度增大时，置信区间长度（ ）。

645.105.0=Z 已知：

,减小 ,减小 ,增大 ,增大 答案：D

解析：由题知，σ=9，n=36,X =79 当α=时，1-

2

α= 所以 2

αZ =05.0Z =

5325.76645.1369

792/=⨯-=-

ασ

z n

X 4675.81645.1369

792/=⨯+

=+

ασ

z n

X

即μ的的置信区间为（，）

且当μ的置信度1-α增大时，置信区间的长度也增大。 故，答案为D. 4.

下列选项中可以正确表示为分布函数F(x)或连续性随机变量的概率密度函数f(x)的是（ ）。

A.⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=5,152,4320,310,0)(x x x x x F B.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨

⎧≥<≤<≤<=1

,114,40,sin 0,0)(x x x x x x x F ππ

C.0,0,021

)(2

2>⎪⎩

⎪

⎨⎧≤=-x x e x f x π

D.⎪⎩⎪⎨⎧

≤

≤=其它

,023,sin )(ππx x x f

答案：B.

解析：考点1.分布函数要满足右连续。A 不满足右连续

考点2.连续性随机变量的概率密度函数的x 范围为()+∞∞-,，且在这个范围上积分和为.为，D 为（-1）。故C ，D 错误

5.

设随机变量Y X ,服从正态分布)2,1(),2,1(N N -,并且Y X ,不相关，Y aX +与bY X +亦不相关，则（ ）.

（A ）1=-b a （B ）0=-b a （C ）1=+b a （D ）0=+b a

应选（D ）.

解 X ~)2,1(-N ，Y ~)2,1(N ，于是()()2,2==Y D X D . 又0),(,0),(=++=bY X Y aX Cov Y X Cov . 由协方差的性质有

()()

22)

,(),(),(),()

,(=+=+=+++=++b a Y bD X aD Y Y bCov Y X abCov X Y Cov X X aCov aY X Y aX Cov

故0=+b a .故选（D ）.

6.

设X 为离散性随机变量，且......)2,1](a [p ===i X P i i ，则X 的期望EX 存在的充分条件是（ ）

A.

0lim =∞→n n p a n B.0lim

2=∞

→n n p a n

C.

∑∞=1n n

n

p a 收敛 D.∑∞

=1

2

n n p a

n

收敛

答案：D 解析：EX 存在⇔

n n

p a

∑∞

=1

n 收敛，所以是EX 存在的必要条件并不一定是充分条件，而B

不能保证收敛，因而正确选项是D

期望和级数知识的综合考察。 7．

设ε服从二项分布，其分布律为

若

不是整数，则取何值最大

答案：D 解析：

方法一（排除法）： 求取何值

最大，由为众数的时候最大，易得必须取整数

则：由题设可知不是整数，不对

可由不对可知，B 也不是整数，不对 不一定是不是整数，不对

为取整函数，为整数，则为正确答案 方法二：

即

解得

①

②

由答案必须为整数，将联立并取整，即为答案

8.

假设A 、B 、C 是三个随机事件，其概率均大于零，A 与B 相互独立，A 与C 相互独立，B 与C 互不相容，则下列命题不正确的是( )

与BC 相互独立 与B ∪C 相互独立 与B-C 相互独立 、BC 、CA 相互独立 答案：（A ）

由A 与B 相互独立，A 与C 相互独立，B 与C 互不相容不能得出A 与BC 相互独立。 9.

设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则（ ）.

服从正态分布；Y X A +. ;.2

22分布服从χY X B +

分布；都服从和222.χY X C 分布；服从F /D.22Y X

答案：C

解析：题中的X 与Y 未说明是相互独立的，所以.是不对的， D.中X 与Y 都应除以它们各自的自由度。 10.

设平面区域D 是由x

y 1=

与直线2

,1,0e x x y ===所围成（如图），二维随机变量),(Y X =ξ在D 上服从均匀分布，求),(Y X 关于X 的边缘分布密度在2=x 处的值（D ）

A 、1

B 、

21 C 、31 D 、4

1