高中数学函数的奇偶性

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牛刀小试
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【引申 2】定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 y 2 当 x>0 时,f(x)=x －2x+3， 求函数 f(x)的解析式.
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解：若 x (,0) ，则 x (0, ) 由于 f(x)是奇函数， 2 故 f(x) =－f(－x)=－[(－x) －2(－x)+3] =－x2－2x－3， 即当 x<0 时, f(x) =－x2－2x－3.
由于 f(x)是偶函数， 故 f(x)=f(－x) 2 =(－x) －2(－x) 2 =x +2x，
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即 f(x) =x +2x, x<0.
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牛刀小试
【例 4】定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 2 当 x≥0 时,f(x)=x －2x， 求当 x<0 时,f(x)的解析式.
试判断 f(x)在 (0, ) 上的单调性，并证明你的结论.
y x
o
归纳小结
抽象函数的奇偶性判断
函数的 奇偶性
函数的延拓
作业
巩固 与提高
实践 与探究
镇海中学
数学组
沈虎跃
已知函数y=f(x)是偶函数，它在 y 轴右边的图 象如下图，画出在 y 轴左边的图象.
y
相等
0
x
y
相等
0
x
f(x)是奇函数
概念深思
【例1】判断下列命题是否正确 （1）设函数f(x)的定义域为D, 若存在x0 ∈D ，使得 f(－x0)=－f(x0) ，则 f(x)是奇函数. （2）设函数f(x)的定义域为D, 若存在x0 ∈D ，使得 f(－ x0) ≠f(x0) ，则 f(x)不是偶函数. （联想单调性） （3）若函数f(x) 既是奇函数又是偶函数，则 f(x) 的值域为{0}.
【引申】已知函数 f(x)的定义域为(－∞,0)∪(0, +∞), 且对任意的非零实数 x，y 都有 f(xy)=f(x)+f(y) 求证： f(x)是偶函数.
课堂探究
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【例 4】定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 y 2 当 x≥0 时,f(x)=x －2x， 求当 x<0 时,f(x)的解析式.
【引申 2】定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 2 当 x>0 时,f(x)=x －2x+3， 求函数 f(x)的解析式.
牛刀小试
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【引申 2】定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 当 x>0 时,f(x)=x2－2x+3， 求函数 f(x)的解析式.
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y
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x
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牛刀小试
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复习引入
f(x)是偶函数． 对于任意x∈D，都有f(－x)=－f(x)， f(x)是奇函数． 对于任意x∈D，都有f(－x)=f(x)， f(x)是偶函数
设函数f(x)的定义域为D,则
{
{
代数特征： f(－x)=f(x) 几何特征： 函数图像关于y轴对称 代数特征： f(－x)=－f(x) 几何特征： 函数图像关于原点对称
【引申 2】定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 y 2 当 x>0 时,f(x)=x －2x+3， 求函数 f(x)的解析式. 解：若 x (,0) ， 则 x (0, )
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x
由于 f(x)是奇函数， 故 f(x) =－f(－x) 2 =－[(－x) －2(－x)+3] =－x2－2x－3， 即当 x<0 时, f(x) =－x2－2x－3.
引申：已知函数 F(x)的定义域为 R, 求证： F(x)可以表示为一个偶函数与奇函数之和.
F(x)=f(x)+g(x)
例5.若f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，它们有相同的 定义域，且f(x)+g(x)= 1 ,求f(x)和g(x)的表达式. x 1
课堂探究
【例 3】已知函数 f(x)的定义域为 R, 且对任意的实数 x，y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y) 求证： f(x)是奇函数.
× √
√
（4）若函数f(x) 是奇函数且在x=0处有定义，则 f(0) =0.
√
课堂探究
【例 2】已知函数 F(x)的定义域为 R, 设函数
1 1 f(x)= [ F ( x) F ( x)] ， g(x)= [ F ( x) F ( x)] , 2 2
试判断函数 f(x)与 g(x)的奇偶性， 并证明你的结论.
【引申 1】定义在 R 上的偶函数 f(x) 满足 2 当 x≥0 时,f(x)=x －2x， 求当 x<0 时,f(x)的解析式.
牛刀小试
【引申 1】定义在 R 上的偶函数 f(x) 满足 2 当 x≥0 时,f(x)=x －2x， 求当 x<0 时,f(x)的解析式.
解：若 x (,0) 则 x (0, )
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x
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课堂探究
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【例 4】定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 y 2 当 x≥0 时,f(x)=x －2x， 求当 x<0 时,f(x)的解析式.
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x
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课堂探究
【例 4】定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 2 当 x≥0 时,f(x)=x －2x， 求当 x<0 时,f(x)的解析式.
由于 f(x)是偶函数， 故 f(x)=f(－x) 2 =(－x) －2(－x) 2 =x +2x，
即 f(x) =x +2x, x<0.
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牛刀小试
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【引申 1】定义在 R 上的偶函数 f(x) 满足 2 y 当 x≥0 时,f(x)=x －2x， 求当 x<0 时,f(x)的解析式.
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解：若 x (,0) 则 x (0, )
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x
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由于f(x)是R上的奇函数，故f(0) =0. 2
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x 2 x 3, x 0 f ( x ) 0 , x0 所以函数f(x)的解析式为 x 2 2 x 3, x 0
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课堂探究
【例 5】已知函数 f(x)是偶函数且在 (, 0) 上单调递减，