一元二次方程的特殊根

一元二次方程的特殊根

一、选择题（共2小题；共10.0分）

1. 若方程x2−m=0的根是有理数，m的值可以是 ( )

A. −9

B. 3

C. −4

D. 4

2. 方程(x2+x−1)x+3=1的所有整数解的个数是 ( )

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

二、填空题（共8小题；共40.0分）

3. 已知方程a2x2−(3a2−8a)x+2a2−13a+15=0（a是非负整数）至少有一个整数根，那么a=．

4. 方程(x−a)(x−8)−1=0有两个整数根，则a=．

5. 已知方程(a2−1)x2−2(5a+1)x+24=0有两个不等的负整数根，则整数a的值

是．

6. 已知n是自然数，且n2−17n+73是完全平方数，那么n的值是或．

7. 若关于x的方程(6−k)(9−k)x2−(117−15k)x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有个．

8. 已知关于x的方程(a−1)x2+2x−a−1=0的根都是整数，那么符合条件的整数a

有个．

9. n为正整数，方程x2−(√3+1)x+√3n−6=0有一个整数根，则n=．

10. 已知抛物线y=x2−2(m+1)x+m2与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且m<5，则整数m的值为．

三、解答题（共5小题；共65.0分）

11. 已知关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+2=0．

(1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根；

(2) m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

12. 已知：关于x的一元二次方程mx2−(3m+2)x+2m+2=0(m>0)．

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)设方程的两个实数根分别为 x 1，x 2（其中 x 1

13. 求所有的正整数 a ，b ，c 使得关于 x 的方程 x 2−3ax +2b =0，x 2−3bx +2c =0，x 2−3cx +2a =0 的所有的根都是正整数．

14. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2−2(m +1)x +m 2=0 有两个整数根，且 m <5，求 m 的整数值．

15. 求出所有正整数 a ，使方程 ax 2+2(2a −1)x +4(a −3)=0 至少有一个整数根．

答案

第一部分

1. D

2. C

第二部分

3. a =1，3，5

4. 8

5. a =−2

6. 8 或 9

7. 5

8. 5

9. 3

10. 0 或 4

第三部分

11. (1) Δ=(m +2)2−8m =m 2−4m +4=(m −2)2， ∵ 不论 m 为何值时，(m −2)2≥0，

∴Δ≥0，

∴ 方程总有实数根．

11. (2) 解方程得 x =

m+2±(m−2)2m ，

x 1=2m ，x 2=1．

∵ 方程有两个不相等的正整数根，

∴m =1．

12. (1) Δ=[−(3m +2)]2−4m (2m +2)=(m +2)2．

∵m >0，

∴(m +2)2>0．

∴ 方程有两个不相等的实数根．

12. (2) 方程可变为 [mx −2(m +1)](x −1)=0． ∴x =2+2m 或1．

∵m >0，且 x 1

∴x 1=1，x 2=2+2m ．

∴y =x 2−2x 1=2m ．

13. (1) 设三个方程的正整数解分别为 x 1，x 2；x 3，x 4；x 5，x 6， 则有

{x 2−3ax +2b =(x −x 1)(x −x 2),⋯⋯①

x 2−3bx +2c =(x −x 3)(x −x 4),⋯⋯②x 2−3cx +2a =(x −x 5)(x −x 6).⋯⋯③

令 x =1，并将三式相加，得

3−(a +b +c )=(1−x 1)(1−x 2)+(1−x 3)(1−x 4)+(1−x 5)(1−x 6). 由题意知 x i ≥1 (i =1,2,⋯6)，

所以 3−(a +b +c )≥0.

但 a ≥1，b ≥1，c ≥1，

又有 3−(a +b +c )≤0．

所以 3−(a +b +c )=0．

故 a =b =c =1．

14. (1) ∵ 一元二次方程 x 2−2(m +1)x +m 2=0 有两个整数根， ∴Δ=b 2−4ac =4(m +1)2−4m 2=8m +4≥0， ∴m ≥−12．

∵m <5，

∴m 可取的整数有 0，1，2，3，4．

由求根公式得 x =2(m+1)±√8m+42=m +1±√2m +1． ∵ 一元二次方程 x 2−2(m +1)x +m 2=0 有两个整数根， ∴2m +1 必须是完全平方数，

∴m =0 或 4．

15. (1) 由原方程知 x ≠2，不妨将方程整理成关于 a 的一元一次方程 (x 2+4x +4)a =2x +12 得 a =2x+12(x+2)2≥1（因为是正整数） 则得 (x +4)(x −2)≤0，

解得 −4≤x ≤2

因此，x 只能取 −4，−3，−1，0，1，2．

分别代入 a 的表达式，故所求的正整数 a 是 1，3，6，10．