2020_2021学年高中数学第一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念学案含解析

1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念

[目标] 1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法.3.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数．

[重点] 理解导数的概念．

[难点] 理解导数与瞬时变化率的关系．

知识点一 平均变化率

[填一填]

1．平均变化率的定义

对于函数f (x )，当自变量x 从x 1变到x 2时，函数值从f (x 1)变到f (x 2)，则称式子

f (x 2)－f (x 1)

x 2－x 1

为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率．

2．符号表示

习惯上，自变量的改变量用Δx 表示，即Δx ＝x 2－x 1，函数值的改变量用Δy 表示，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，于是平均变化率可以表示为Δy

Δx

.

3．平均变化率的几何意义

如图所示，函数f (x )的平均变化率的几何意义是：直线AB 的斜率．事实上，k AB ＝y A －y B

x A －x B

＝

f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1

＝Δy

Δx .根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率．

[答一答]

1．若函数在某区间上的平均变化率为零，能否说明此函数在此区间上的函数值都相等？

提示：不能．比如，f(x)＝x2在[－2,2]上的平均变化率为0，但其图象在[－2,2]上先下降后上升，值域是[0,4]．

2．一次函数f(x)＝ax＋b从x1到x2的平均变化率有什么特点？

提示：一次函数的图象为直线，图象上任意两点间连线的斜率固定不变，故一次函数定义域内的任意两个自变量之间的平均变化率等于常数a.

知识点二导数的概念

[填一填]

1．导数的定义

一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是lim

Δx→0Δy

Δx＝lim

Δx→0

f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx，称它为

函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．2．导数的符号表示

用f′(x0)或y′|x＝x

表示函数f(x)在x＝x0处的导数，即f′(x0)＝lim

Δx→0Δy

Δx＝lim

Δx→0

f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx.

[答一答]

3．根据平均速度与瞬时速度的定义探究以下问题：

(1)物体的平均速度能反映它在某一时刻的瞬时速度吗？

(2)如何计算物体的平均速度和瞬时速度？

提示：(1)不能，物体的瞬时速度是指某一时刻的速度，而平均速度是指某一段时间或一段路程的速度．

(2)平均速度：一物体的运动方程为s＝s(t)，则它在[t1，t2]这个时间段内的平均速度为

s(t2)－s(t1) t2－t1.瞬时速度：一物体的运动方程为s＝s(t)，则它在t0时刻的瞬时速度为lim

Δt→0

s(t0＋Δt)－s(t0)

Δt.

4．根据函数的瞬时变化率与在某点处导数的定义，回答下列问题：

(1)瞬时变化率与平均变化率的关系是什么？它们的物理意义分别是什么？

(2)瞬时变化率与函数在某点处导数的关系是什么？

(3)设函数f (x )在x ＝x 0处可导，则导数值与x 0，Δx 都有关吗？

提示：(1)瞬时变化率是平均变化率在Δx 无限趋近于0时，Δy

Δx 无限趋近的值，瞬时变化

率的物理意义是指物体运动的瞬时速度，平均变化率的物理意义是指物体运动的平均速度．

(2)函数在某点处的瞬时变化率就是函数在此点处的导数．

(3)导数是一个局部性的概念，它与函数y ＝f (x )在x 0及附近的函数值有关，与Δx 无关．

1．对Δx ，Δy 的理解

(1)Δx ，Δy 是一个整体符号，而不是Δ与x ，y 相乘．

(2)x 1，x 2是定义域内不同的两点，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正可负，也可为零，因此平均变化率可正、可负、也可为零．

2．导数概念的解读

(1)导数是一个局部概念，它只与函数y ＝f (x )在x ＝x 0处及其附近的函数值有关，与Δx 无关．

(2)f ′(x 0)是一个常数，即当Δx →0时，存在一个常数与f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限接近．如果

当Δx →0时，lim Δx →0

Δy

Δx

不存在，则称函数f (x )在x ＝x 0处不可导．

类型一 求函数的平均变化率

【例1】 已知函数f (x )＝2x 2＋1. (1)求函数f (x )在[2,2.01]上的平均变化率； (2)求函数f (x )在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率．

【思路分析】 先求Δx ，Δy ，再利用平均变化率的定义求解． 【解】 (1)由f (x )＝2x 2＋1， 得Δy ＝f (2.01)－f (2)＝0.080 2，

Δx ＝2.01－2＝0.01，∴Δy Δx ＝0.080 2

0.01

＝8.02.

(2)∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1 ＝2Δx(2x0＋Δx)，

∴

Δy

Δ

x＝

2Δx(2x0＋Δ

x)

Δx＝4x0＋2Δx.

求函数平均变化率的步骤

(1)求自变量的改变量Δx＝x2－x1；

(2)求函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；

(3)求平均变化率

Δy

Δx＝

f(x2)－f(x1)

x2－x1

.

分别计算下列三个图象表示的函数h(t)在区间[0,3]上的平均变化率．

解：对于(1)，Δh＝h(3)－h(0)＝10－0＝10，∴

Δh

Δt＝

10

3－0

＝

10

3，即平均变化率为

10

3.同理可以算得(2)(3)中函数h(t)在区间[0,3]上的平均变化率均为

10

3.

类型二求瞬时速度

【例2】已知s(t)＝5t2(s单位：m)．

(1)求t从3 s到3.1 s的平均速度；

(2)求t从3 s到3.01 s的平均速度；

(3)求t＝3 s时的瞬时速度．

【解】(1)当3≤t≤3.1时，Δt＝0.1，

Δs＝s(3.1)－s(3)＝5×(3.1)2－5×32