四种线性代数模型

线性代数是高等学校理工科和经济类学科相关专业的一门重要基础课，它不仅是其他数学课程的基础，也是物理、力学、电路等专业课程的基础。作为处理离散问题工具的线性代数，也是从事科学研究和工程设计的科研人员必备的数学工具之一。

实验一 生物遗传模型

1.工程背景

设一农业研究所植物园中某植物的基因型为AA 、Aa 和aa 。常染色体遗传的规律是：后代是从每个亲体的基因对中个继承一个基因，形成自己的基因对。如果考虑的遗传特征是由两个基因A 、a 控制的，那末就有三种基因对，记为AA 、Aa 和aa 。研究所计划采用Aa(AA)型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。问经过若干年后，这种植物的任意一代的三种基因型分布如何?

2.问题分析

分析双亲体结合形成后代的基因型概率，如表6-4所示。

表6-4基因型概率矩阵 后代 基因对 父体—母体的基因对

AA —AA

AA —Aa AA —aa Aa —Aa Aa —aa aa —aa AA 1 1/2 0 1/4 0 0 Aa 0 1/2 1 1/2 1/2 0 aa

1/4

1/2

1

3.模型建立与求解

设,,n n n a b c 分别表示第n 代植物中基因型AA 、Aa 、aa 型的植物占植物总数的百分率。

则第n 代植物的基因型分布为()n n n n a x b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，0(0)

00a x b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭表示植物型的初始分布。依据上述基

因型概率矩阵，有1112n n n a a b --=+，111

2

n n n b b c --=+，0n c =，1n n n a b c ++=，表示为

矩阵形式

11111/2001/21000n n n n n n a a b b c c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪⎪

= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

记11/2001/21000M ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，则()(1)

2(2)3(3)(0)n n n n n x Mx

M x M x M x ---=====。 于是问题归结为如何计算n

M ，可将M 对角化。易于计算M 的特征值为1、1/2、0，

其相应的特征向量为(1,0,0)T ，(0,1,0)T -，(1,2,1)T

-。

令101012001P ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，则1

11/2001/21000M P P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

。

于是()

(0)

1(0)11/2001/21000n

n n x

M x P P x -⎛⎫ ⎪

== ⎪ ⎪⎝⎭

1

(0)1011

001010120(1/2)0012001000001n

n x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

11000001(0)100

11(1/2)1(1/2)(1/2)(1/2)01/21/2(1/2)(1/2)0000n n n n n n n n a b c b c x b c ----⎛⎫⎛⎫--++-- ⎪ ⎪==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

1001

001(1/2)(1/2)(1/2)(1/2)0n n n n b c b c --⎛⎫-- ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭

。

当n →∞，1,0n n a b →→，因此，可以认为经过若干年后，培育出的植物基本上呈现AA 型。

实验二 员工培训问题 1.工程背景

某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将1/6熟练工支援

其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经培训及实践至年终考核有2/5成为熟练工。若记第n 年一月份统计的熟练工与非熟练工所占比例分别为n n x y ⎛⎫

⎪⎝⎭

。 2.问题

问题1：第n+1年熟练工与非熟练工所占比例11n n x y ++⎛⎫

⎪⎝⎭

与第n 年熟练工与非熟练工所占比例n n x y ⎛⎫

⎪⎝⎭

的关系。 问题2：若第1年熟练工与非熟练工所占比例为111212x y ⎛⎫

⎪

⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭ ⎪⎝⎭

，求11n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭。

3.模型建立与求解 依据题意，有1521()656

n n n n x x x y +=

++，131

()56n n n y x y +=+。

整理化简得119210513105n n n n n n x x y y x y ++⎧=+⎪⎪⎨

⎪=+⎪⎩，

即119

21051

310

5n n n n x x y y ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫=

⎪ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，记

9

21051310

5A ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

，亦有11n n n n x x A y y ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。 由问题1结果，有112111212n n n n n n n x x x A A A y y y +-+-⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫===

= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎪⎝⎭

。 问题归结为求n

A ，可将A 对角化。易于计算1、1/2是矩阵A 的两个特征值，且相应的特征向量为()()4,1,1,1T

T

-。

记4111P -⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，则1921010511302105P P -⎛⎫

⎛⎫

⎪ ⎪=

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

11104()44()41111122

1111411550()1()14()22

2n n n n n n A ⎛

⎫+-⎛⎫ ⎪

-⎛⎫⎛⎫ ⎪==

⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪-+ ⎪

⎝⎭

⎝⎭

。 因此111183()122111023()22n n n n n x A y ++⎛⎫⎛

⎫- ⎪ ⎪⎛⎫== ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

实验三 多金属分选流程计算

1. 工程背景

设,j γγ—原矿产率及第j 种产品产率，%，100%γ=；

i α—原矿中第i 种金属品位，%；

ij β—第j 种产品中第i 种金属品位，%；

ij

β

ε—第j 种产品中第i 种金属的理论回收率，%；