第三章恒定电场题解

第三章 恒定电场

3-1 导电回路的电阻为R 。要使回路中维持恒定电流I ，则回路中电源的电动势

e 应为多少？ 解 根据欧姆定律，可知 RI e =

3-2 一平行平板电容器如图3-1所示。两极板相距d ，极板之间有两层电介质。

第一种电介质厚度为a ，介电常数为ε1，电导率为γ1。第

二种电介质厚度为d a -，介电常数为ε2，电导率为γ2。若两极之间加电压U ，求电介质中的电场强度、漏电流密度、电介质分界面上自由电荷的面密度。

解 据题意可得 ()U a d E a E =-+21，又有 2211E E γγ=， 得 12

12E E γ

γ=

，代入上式，得介质中的电场强度为

()

()

a d a U a d

a U

E -+=-+

=

1222

11γγγγ

γ，()

a d a U E -+==

1212γγγ

漏电流密度为 ()

12

1212211γγ

γγγγγ-+=

==a d U

E E J

分界面上自由电荷的面密度为 ()()

12

12

11

2112212γγγγ

εγεεεσ-+-=

-=-=a d U

E E D D

3-3 如图3-2所示，由导电媒质构成的半圆环，电导率为γ，求A 、B 之间的电

阻。

解 设有电流I 从A 向B 流动，A 、B 间的电压为U ，则在导电媒质中，有02=∇ϕ，对于圆柱坐标，有

012

2

2

2

=∂∂=

∇α

ϕϕr

，解得 B A +=αϕ

代入边界条件 ()00==αϕ，得 0=B ()U A ===ππαϕ，得 π/U A = 即 απ

ϕU

=

，α

α

ϕ

ϕe E ∂∂-

=-∇=r 1，α

π

γγe U

r

⋅

-==1E J

b

R R

a U adr U r Jds I

b R R +=⋅--=-=⎰⎰+ln

1πγπγ 因此，可得所求电阻为 R

b R a I

I

U R +=

=ln

γ

3-4 如图3-3图所示，由导电媒质构成的扇形，厚度为h ，电

导率为γ。求A 、B 之间的电阻。 解 设A 、B 间的电压为U ，则在导电媒质中有

012

=⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂∂∂=

∇r r r r ϕϕ，解得 B r A +=ln ϕ，代入边界条件，

0ln 1=+B R A ，U B R A =+2ln ，解得 1

2/ln R R U A =

，1

21/ln ln R R R U B -

=

可得 1

1

2ln /ln R r R R U =

ϕ，r

r r

R R U

r

e e E 1/ln 1

2⋅-

=∂∂-

=-∇=ϕϕ

r r

R R U

e E J γ

γ⋅

-

==1

2/ln ，b

R R a U r a U r I b

R R

+=⋅=

⋅-=⎰

⎰+ln d 1d πγπγs J

因此，可得 R

b R a I

U R +=

=

ln

γπ

3-5 如图3-4图所示，半球形电极埋于陡壁附近。已知电极半径为a ，距离h ，

土壤的电导率为γ 。a h <<，考虑陡壁的影响，

求接地电阻。 解 由于有地面和陡壁的影响，求接地电阻需按图3-5取镜象，则可将整

个空间视为导电媒质（土壤）。在图3-5中，设两电极间的电压为U 2，极间有电流I 2，由于a h <<，则在极间导电媒质中由于一个球中电流的影响，应有，

2

4r

I E πγ=

，则有 a

I U πγ41=

，考虑另一电极的影响，有 h

I U 242⋅=

πγ

因此，球对地的电压为 ha

a h I h a I

U U U 224211

421+⋅=

⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=πγπγ

接地电阻为 ha

a h I U R πγ4221+==

3-6 在导电媒质中，电荷的体密度为 ρε

γ

=∇∙()J 。当导电媒质为均匀媒质时，

ε和γ都不随空间位置变化，因此电荷密度为零。另一方面，由定义可知，

体电流密度为电荷体密度乘以电荷运动的速度。试解释均匀导电媒质中体电流密度不为零而体电荷密度为零这一“矛盾”。

解 在定义式v J ρ=中，体电荷密度为运动电荷的体密度。

3-7 由导电媒质中欧姆定律的微分形式，试导出两电极之间电压与导电媒质中总

电流之间关系（欧姆定律的积分形式）。

解 设图3-6所示电导率为γ的导电媒质的长度为l 、截面为S ，其中