高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战62137

x
y O
(2,0)P
()y f x =
()y f x '= 1 （第10题
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。

本卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。

作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。

请注意字体工整，笔迹清楚。

参考公式：
样本数据12,,,n x x x 的方差22
11()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位
置上．
1.若复数11i z =-，224i z =+，其中i 是虚数单位，则复数12z z 的虚部是▲.
2.已知集合(,0]A =-∞，{1,3,}B a =，若A B ≠∅，则实数a 的取值范围是▲.
3.若函数2
()21
x f x m =
++为奇函数，则实数m =▲. 4.若抛物线的焦点坐标为(2,0)，则抛物线的标准方程 是▲．
5.从某项综合能力测试中抽取10人的成绩，统计如 下表，则这10人成绩的方差为▲.
分数 5 4 3 2 1 人数 3
1
1
3
2
6.如图是一个算法的流程图，则最后输出的S =▲.
7.已知直线1l ：310ax y ++=，2l ：2(1)10x a y +++=，若1l ∥2l ，则实数a 的值是▲． 8.一个质地均匀的正四面体（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥）玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字.若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是▲.
9.已知π3cos()45θ-=，π
(,π)2
θ∈，则cos θ=▲．
10.已知函数()y f x =及其导函数()y f x '=的图象如图所示，则曲线()y f x =在点P 处的切线方程是▲．
（第6题图）
结束
开始 输出S Y 0,1S n ←←
12n ≤
N S S n ←+
2n n ←+
11.在△ABC 中，点M 满足MA MB MC ++=0，若 AB AC mAM ++=0，则实数m 的值为▲．
12.设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：①若m β⊂，αβ⊥，则m α⊥； ②若m//α，m β⊥，则αβ⊥； ③若αβ⊥，αγ⊥，则βγ⊥；④若m αγ=，n βγ=，m//n ，则//αβ．上面命题中，真命题的序号是▲（写出所有真命题的序号）．
13.若关于x 的不等式22(21)x ax -≤的解集中的整数恰有2个，则实数a 的取值范围 是▲．
14.已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，22a =，12b =，且对任意的正整数,,,i j k l ，当i j k l +=+时，都有i j k l a b a b +=+，则2010
1
1()2010i i i a b =+∑的值是▲．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定位置内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）
如图，在△ABC 中，已知3=AB ，6=AC ，7BC =，AD 是BAC ∠平分线. （1）求证：2DC BD =；
（2）求AB DC ⋅的值.
16.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，PB PD =，且E ，F 分别是BC ， CD 的中点. 求证：
（1）EF ∥平面PBD ；
（2）平面PEF ⊥平面PAC .
D B A
C D
（第15题P （第16题图）
A
B
C
E F
17.（本小题满分14分）
在各项均为正数的等比数列{}n a 中，已知2123a a =+，且23a ，4a ，35a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设3log n n b a =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S .
18.（本小题满分16分）
已知椭圆E ：22
184
x y +=的左焦点为F ，左准线l 与x 轴的交点是圆C 的圆心，圆C 恰好经
过坐标原点O ，设G 是圆C 上任意一点. （1）求圆C 的方程；
（2）若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长；
（3）在平面上是否存在一点P ，使得
1
2
GF GP =？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由.
19.（本小题满分16分）
如图1，OA ，OB 是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤，线段CD 和曲线EF 分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤.为观光旅游需要，拟过栈桥CD 上某点M 分别修建与OA ，OB 平行的栈桥MG ，MK ，且以MG ，MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK ．建立如图2所示的直角坐标系，测得CD 的方程是220(020)x y x +=≤≤，曲线EF 的方程是200(0)xy x =>，设点M 的坐标为(,)s t ．（题中所涉及长度单位均为米，栈桥及防波堤都
不计宽度）
（1）求三角形观光平台MGK 面积的最小值；
（2）若要使MGK ∆的面积不小于320平方米，求t 的范围．
20.（本小题满分16分）
已知函数()e 1x f x ax =+-(a ∈R ，且a 为常数)．
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）当0a <时，若方程()0f x =只有一解，求a 的值； （3）若对所有0x ≥都有()()f x f x -≥，求a 的取值范围．
数学Ⅱ（附加题）
21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.选修41：几何证明选讲 （本小题满分10分）
如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ．求证：
（1）AED AFD ∠=∠；
（2）2AB BE BD AE AC =⋅-⋅．
B.选修42：矩阵与变换 （本小题满分10分）
求曲线2
2210x xy -+=在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中
1002⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦M ，1011⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
N ．
E F D A B C
O · （第21—A 题图）
C.选修44：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）
以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.已知直线l 的极坐标方程为0sin 2cos =+θρθρ，曲线C 的参数方程为4cos ,
()2sin x y ααα=⎧⎨
=⎩
为参数，又直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长.
D.选修45：不等式选讲 （本小题满分10分）
若存在实数x 使3614x x a ++->成立，求常数a 的取值范围．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）
如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的点，且1EB FB ==．
（1）求异面直线1EC 与1FD 所成角的余弦值；
（2）试在面1111A B C D 上确定一点G ，使DG ⊥平面EF D 1．
23.（本小题满分10分）
设二项展开式21*(31)()n n C n -=∈N 的整数部分为n A ，小数部分为n B . （1）计算2211,B C B C 的值； （2）求n n B C .
A
D
E
C B
D 1
C 1
B 1
A 1
F
G
（第22题图）
【必做题】
第五章 平面向量第三节 平面向量的数量积
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）
1.【广西梧州、崇左两市联考高三（上）摸底】设向量，满足|+|=
，||=1，||=2，则•等于
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 2.【“五个一名校联盟” 高三教学质量监测（一）6】b a ,是两个向量，2,1==b a 且a b a ⊥+)(，则a 与b 的夹角为（ ）
A. 30
B. 60
C. 120
D.
150
3. 【重庆高考理第4题】已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =（ ） 9.2A -.0B .C 3 D.152
4.【·长春调研】已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)，若λ为实数，(b ＋λa)⊥c ，则λ的值为
( )
A ．－311
B ．－113
C.12
D.35
5.【高考辽宁卷文第5题】设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ⋅=，0b c ⋅=，则0a c ⋅=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）
A ．p q ∨
B ．p q ∧
C ．()()p q ⌝∧⌝
D ．()p q ∨⌝
6.【·北京东城质量检测】已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b)b ，则|c|＝________.
A.2
B.22
C.28
D.216
7. 【黄冈市高三5月适应性考试】非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭
且12AB AC AB AC ⋅=，则⊿ABC 为( )
A.三边均不等的三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰非等边三角形
8.【全国普通高等学校招生统一考试理科数学（江西卷）】已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β等于（ ） A. 23 B. 22 C. 223 D. 423
9. 【高考浙江卷文第9题】设θ为两个非零向量a 、b 的夹角，已知对任意实数t ，||t a b +的最小值为1（ ）
A.若θ确定，则 ||a 唯一确定
B.若θ确定，则 ||b 唯一确定
C.若||a 确定，则 θ唯一确定
D.若||b 确定，则 θ唯一确定
10.【高二暑假作业】设O 为坐标原点，()1,1A ，若点()221,,01,01,x y B x y x OA OB y ⎧+≥⎪⎪≤≤⋅⎨⎪≤≤⎪⎩
满足则取得最小值
时，点B 的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.无数个
11.【高考重庆，理6】若非零向量a ，b 满足|a|=
223|b|，且（ab ）⊥（3a+2b ），则a 与b 的夹角为 （ ）
A 、4π
B 、2π
C 、34
π D 、π 12.【原创题】对于非零向量,a b ，下列命题中正确的是（ ）.
A.a ∥b ⇒a 在b 上的投影为a
B.0a b ⋅=0a ⇒=或0b =
C.a ⊥b ⇒()2a b a b
⋅=⋅ D.a c b c ⋅=⋅⇒a b =
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中的横线上。

）
13.【黄石二中、鄂南高中、鄂州高中三校高三上学期期中联考文科数学试题】已知向量,a b 的夹角为3
π，
||2,||1a b ==，则||||a b a b +-的值是_____;
14.【高考天津，文13】在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==则AE AF ⋅的值为． 15.【高三六校联考（一）数学（文）】在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则=⋅+⋅CA CP CB CP
16.【淮安市高三上学期第一次摸底考试数学试题】如图，已知ABC ∆中，4AB AC ==，90BAC ∠=，D 是BC 的中点，若向量14
AM AB m AC =
+⋅，且AM 的终点M 在ACD ∆的内部（不含边界），则AM BM ⋅的取值范围是．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.【高考名师推荐】设向量
（1）若
，求x 的值 （2）设函数，求f(x)的最大值
18.【威海市高三3月模拟】已知向量(cos ,sin )a αα=，(1+cos ,sin )b ββ=-. （1）若3π
α=，(0,)βπ∈，且a b ⊥，求β；
（2）若=βα，求a b ⋅的取值范围.
19.【重点中学盟校高三第一次联考】已知向量)7,1(1-=a ，)1,1(=d ，对任意*
N n ∈都有a a n n +=+1.
（1）求||n a 的最小值；
（2）求正整数,m n ,使m n a a ⊥ (第13题图) D
C A
20. 【石家庄市高中毕业班第一次模拟】已知O 为锐角△ABC 的外心，AB=6，AC=10，
AO xAB yAC =+,且2x+10y=5，求边BC 的长.
21.【南昌市高三第二次模拟】如图已知ABC △中，1,2,120AB AC BAC ==∠=︒，点M 是边BC 上的动点，动点N 满足30MAN ∠=︒（点,,A M N 按逆时针方向排列）．
（1）若2AN AC =，求BN 的长；
（2）若3AM AN ⋅=，求△ABN 面积的最大值．
22. 【鹰潭市高三第二次模拟考试】如图：()(
)3,,3,A m m B n n -两点分别在射线,OS OT 上移动，且12
OA OB ⋅=-,O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+
（1）求点P 的轨迹C 的方程;
（2）设01,2Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过Q 作（1）中曲线C 的两条切线，切点分别为,M N ，①求证:直线MN 过定点; ②若7OM ON ⋅=-,求0x 的值。

高考模拟复习试卷试题模拟卷 A
B C N。