定积分的元素法

教 学 内 容

一、问题的提出

回顾：曲边梯形求面积的问题

曲边梯形由连续曲线)(x f y =)0)((≥x f 、x 轴与两条直线a x =、b x =所围成。

⎰

=

b

a

dx x f A )(

面积表示为定积分的步骤如下

（1）把区间],[b a 分成n 个长度为i x ∆的小区间，相应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形，

第i 个小窄曲边梯形的面积为i A ∆，则∑=∆=

n

i i

A

A 1

.

（2）计算i A ∆的近似值i i i x f A ∆≈∆)(ξ，i i x ∆∈ξ

（3） 求和，得A 的近似值.)(1

i i n

i x f A ∆≈

∑

=ξ

（4） 求极限，得A 的精确值i i n

i x f A ∆=∑

=→)(lim

1

ξλ⎰

=

b

a

dx x f )(

提示： 若用A ∆ 表示任一小区间],[x x x ∆+上的窄曲边梯形的面积，则∑∆=

A A ，并取

dx x f A )(≈∆，于是∑

≈

dx x f A )(

a

b )

(x f y =

∑

=dx x f A )(lim

.)(⎰

=

b a

dx x f

当所求量U 符合下列条件：

（1）U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的量；

（2）U 对于区间[]b a ,具有可加性，就是说，如果把区间[]b a ,分成许多部分区间，则U 相应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之和； （3）部分量i U ∆的近似值可表示为i i x f ∆)(ξ； 就可以考虑用定积分来表达这个量U 元素法的一般步骤：

1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为积分变量，并确定它的变化区间],[b a ； 2）设想把区间],[b a 分成n 个小区间，取其中任一小区间并记为],[dx x x +，求出相应于这小区间的部分量U ∆的近似值.如果U ∆能近似地表示为],[b a 上的一个连续函数在x 处的值)(x f 与dx 的乘积，就把dx x f )(称为量U 的元素且记作dU ，即dx x f dU )(=； 3）以所求量U 的元素dx x f )(为被积表达式，在区间],[b a 上作定积分，得⎰

=b

a

dx x f U )(，

即为所求量U 的积分表达式. 这个方法通常叫做元素法．

应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．

二、小结

元素法的提出、思想、步骤.

（注意微元法的本质）

思考题

微元法的实质是什么？ 思考题解答

a

b )

(x f y =x

dx

x +

微元法的实质仍是“和式”的极限.