工程电磁场导论

工程电磁场导论
电磁场理论中“矢量分析”的一些相关知识
1. 标量场和矢量场 场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量。

例如，在直角坐标下：
2
2
2
5
(,,)4π [(1)(2)]
x y z x y z φ=
-+++ 标量场
如温度场、电位场、高度场等； 2
2
(,,)2x y z x y z xy x z xyz =++A e e e
矢量场
如流速场、电场、涡流场等。

2. 标量场的梯度 设一个标量函数ϕ (x ，y ，z )，若函数 ϕ 在点 P 可微，则 ϕ 在点P 沿任意方向 的方向导数为
)cos ,cos ,(cos ),,(
γβαϕ
ϕϕϕ⋅∂∂∂∂∂∂=∂∂z
y x l
设 ),,,(
z
y x ∂∂∂∂∂∂=ϕ
ϕϕg )cos ,cos ,(cos γβα=l e 式中α,β, γ分别是任一方向l 与 x, y, z 轴的夹角 则有：
),cos(||l l l
e g g e g =⋅=∂∂ϕ 当0) , (==l g e θ
l
∂∂ϕ最大
ϕϕϕϕϕgrad =∇=∂∂+∂∂+∂∂z y x z y x
e e e ——梯度(gradient )
式中),,
(
z
y x ∂∂
∂∂
∂∂
=∇——哈密顿算子
梯度的意义 标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。

梯度的大小为该点标量函数ϕ的最大变化率，即最大方向导数。

梯度的方向为该点最大方向导数的方向。

3. 散度 如果包围点 P 的闭合面 ∆S 所围区域 ∆V 以任意方式缩小到点 P 时：
———散度 (divergence )
散度的意义 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数； 散度代表矢量场的通量源的分布特性。

在矢量场中，若∇• A = ρ ≠ 0，称之为有源场，ρ 称为 ( 通量 ) 源密度；若矢量场中处处 ∇• A =0 ，称之为无源场。

4. 旋度 旋度是一个矢量，其大小等于环量密度的最大值；其方向为最大环量密度的方向
——旋度(curl)
旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。

某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其方向是最大环量密度的方向。

A S A div d lim 10=⋅⎰
∆→∆S
V
V z A y
A x
A ∂∂∂∂∂∂++
=
⋅∇=z
y x A A div A A ⨯∇=rot
在矢量场中，若 ∇⨯A =J ≠ 0 称之为旋度场（或涡旋场），J 称为旋度源（或涡旋源）。

若矢量场处处 ∇⨯A = 0 ，称之为无旋场。

第1章 静电场
本章要点 ：电场强度、电位移矢量、电位、极化等概念。

静电场基本方程和分界面衔接条件。

电位的边值问题及其解法（分离变量法，有限差分法，镜像法，电轴法等）。

电场、电位、电容、能量、力的各种计算方法。

第2章 恒定电场
本章要点 ：各种电流密度概念，通过欧姆定律和焦耳定律深刻理解场量之间的关系。

导电媒质中的恒定电场基本方程和分界面衔接条件。

静电比拟法和电导的计算。

第3章 恒定磁场
本章要点 ：磁感应强度、磁通、磁化、磁场强度的概念。

恒定磁场的基本方程和分界面衔接条件。

磁位及其边值问题。

磁场、电感、能量与力的各种计算方法。

了解磁路及其计算方法。

第4章 时变电磁场
本章要点 ：电磁场基本方程组的物理意义，其中包 括位移电流的概念；动态位与场量的关系以及波动方程，理解电磁场的滞后效应及波动性；电磁波的产生和传播特性。

第5章 准静态电磁场
本章要点 ：EQS 和MQS 的共性和个性；工程计算中简化为准静态场的条件；准静态场的计算方法。

第6章 平面电磁波的传播
本章要点：均匀平面电磁波在理想介质和导电媒质中的传播特性及基本规律。

均匀平面电磁波在工程中的应用。

均匀平面电磁波斜入射时的传播特性，均匀平面电磁波正入射时的传播特性。

第7章 均匀传输线中的导行电磁波
本章要点 ：均匀传输线的稳态分析方法；电压波和电流波的传播特性 ( 行波、 驻波、匹配等 ) ；有损耗传输线的无畸变条件。

第8章 波导与谐振腔
本章要点 ：波导的概念，导行电磁波的分类和一般特性；矩形波导、介质波导的特点，TEM 波,TE 波,TM 波的概念；谐振腔概念。

例题分析
例1. 已知 345x y z x y z =++A e e e ，试判断它能否表示一个静电场？
解：静电场是一个无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。

这两个重要特性的简洁数学形式为： 0∇⨯=E ()φ=-∇E
l
d ⋅=⎰E l
f ρ∇⋅=D ()ε=D E S
d q ⋅=⎰D S
根据静电场的旋度恒等于零的性质,
x
y z x
y
z
x y z A A A ∂∂∂∇⨯=
∂∂∂e e e A
(
)(
)(
)y y x x z z x y z A A A A A A y
z
z
x
x
y
∂∂∂∂∂∂=-
+-
+-
∂∂∂∂∂∂e e e 0=
对应静电场的基本方程 ∇⨯≡E 0，矢量 A 可以表示一个静电场。

例2. 试求图示两带电长直平行圆柱导体传输 线的电场及电位分布。

图1 平行圆柱导体传输线电场的计算 ( 以y 轴为电位参考点 ) 解：
2
2
:
,
)a
h b a -=
确定电轴位置
建立坐标系
1
20
2
1
ln
2)1
1
(2:)ρρπε
τ
ϕρρπε
τ
ρρ=
-
=
p P b 21e e E 位圆柱导线间的电场与电
例3. 已知平行传输线之间电压为U 0, 试求电位分布。

解： 确定电轴的位置
⎩⎨
⎧=-=h
d a h b 22
22 2
2
)2
(a d b -=
图2. 电压为U 0的传输线
设电轴线电荷τ±，任一点电位
1
2
ln
π2ρρετ
ϕ=
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+------+=
)()(ln )()(ln π200a h b a h b a h b a h b U ετ
所以 1
20ln )
()(ln
2ρρ
ϕa h b a h b U ---+=
例4.求同轴电缆的绝缘电阻。

设内外的半径分别为R1、R2，长度为l ,中间媒质的电导率为γ，介电常数为ε。

图3. 同轴电缆横截面
图2. 电压为U 0的传输线
解法一 直接用电流场的计算方法 设
γπργ
πρl I
J E l
I J I 22=
=
→=
→ 21
21
ln
22R R R I I U d d l l
R ρπργ
πγ=
⋅==
⎰⎰
E l
电导 1
2
ln 2R R l U
I G πγ=
=
绝缘电阻 12ln 211R R
l G R πγ== 解法二 静电比拟法 由静电场解得,ln 212R R l C πε=
则根据γε
=G C 关系式得 同轴电缆电导 ,ln 21
2
R R l G πγ=绝缘电阻 1
2ln
21R R l
R πργ=
例5.球形接地器接地电阻的分析。

1. 深埋球形接地器 解：深埋接地器可不考虑地面影响,其电流场可与无限大区域)(γ 的孤立圆球的电流场相似。

解法一 直接用电流场的计算方法 →
=
→2
4r
I J I π→=
=
2
4r
I J
E πγγ
a
I dr r
I U a
πγπγ442
==
⎰
∞
a R πγ41=
解法二 静电比拟法 γ
ε=
G C ,4a C πε=,4a G πγ=a R πγ41=
图4. 深埋球形接地器
2. 浅埋半球形接地器 解：考虑地面的影响用镜像法处理。

此时由静电比拟
a G a C G C πγπεγ
ε44,=→==
实际电导 ,2G G =' 接地器接地电阻 a R πγ21=
例 6. 用坡印亭矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量的过程。

设电缆为理想导体，内外半径分别为a 和b 。

解： 理想导体内部电磁场为零。

电磁场分布如图所示。

电场强度 ρρe E )
/ln(a b U
=
磁场强度 φπρ
e H 2I =
坡印亭矢量z I
a b U
e H E S πρ
ρ2)/ln(⋅
=
⨯=
单位时间内流入内外导体间的横截面A 的总能量为 ⎰
⎰==
⋅-=b a
A
UI d a
b UI d P ρπρπρ
2/ln 22
A S
这表明：• 穿出任一横截面的能量相等，电源提供的能量全部被负载吸收。

• 电磁能量是通过导体周围的介质传播的，导线只起导向作用。

图5. 浅埋半球形接地器
图6. 同轴电缆中的电磁能流
例 7. 平板电容器如图所示，当两极板间加正弦工频交流电压 u （t ） 时，试分析电容器中储存的电磁能量。

解：忽略边缘效应及感应电场, 则电场满足无旋性质，可表示为z d
U e E = 根据全电流定律，由位移电流产生的磁场为 2
2πρ
ωεωεπρd
U j d j H
d t
d S
S
l
=⋅=→
⋅∂∂=⋅⎰
⎰
⎰S E S D
l H
整理得 φρωεe H d
U j 2 = 复坡印亭矢量 )(2~2
2
ρρωεe H E S --=⨯=*d
U j 电容器吸收能量 )(2)(2~2
2
ρρπωεe e S S ad a d U j d S
⋅--=⋅-
⎰
2
2
2
CU
j U d
a j ωεπω==
(无功功率)
显然，电容器中储存电场能量，磁场能量忽略不计,电磁场近似为EQS 场。

图4.5.1 两圆电极的平板电容器。