曲线拟合研究

曲线拟合研究

1 曲线拟合

用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系。更广泛地说，空间或高维空间中的相应问题亦属此范畴。在数值分析中，曲线拟合就是用解析表达式逼近离散数据，即离散数据的公式化。实践中，离散点组或数据往往是各种物理问题和统计问题有关量的多次观测值或实验值，它们是零散的，不仅不便于处理，而且通常不能确切和充分地体现出其固有的规律。这种缺陷正可由适当的解析表达式来弥补。

曲线拟合是用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x与y的一组数据对(xi，yi)（i＝1，2，…m），其中各xi是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y＝f(x，c）来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。f(x，c)常称作拟合模型，式中c＝(c1，c2，…cn)是一些待定参数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c 使得拟合模型与实际观测值在各点的残差(或离差)ek＝yk－f(xk，c)的加权平方和达到最小，此时所求曲线称作在加权最小二乘意义下对数据的拟合曲线。有许多求解拟合曲线的成功方法，对于线性模型一般通过建立和求解方程组来确定参数，从而求得拟合曲线。至于非线性模型，则要借助求解非线性方程组或用最优化方法求得所需参数才能得到拟合曲线，有时称之为非线性最小二乘拟合。

2 基本原理

2.1 曲线拟合的定义

解决曲线拟合问题常用的方法有很多，总体上可以分为两大类：一类是有理论模型的曲线拟合，也就是由与数据的背景资料规律相适应的解析表达式约束的曲线拟合；另一类是无理论模型的曲线拟合，也就是由几何方法或神经网络的拓扑结构确定数据关系的曲线拟合。

2.1.1 有理论模型的曲线拟合

有理论模型的曲线拟合适用于处理有一定背景资料、规律性较强的拟合问题。通过实验或者观测得到的数据对（xi,yi）错误！未找到引用源。（i=1,2, …,n），可以用与背景资料规律相适应的解析表达式y=f(x,c)错误！未找到引用源。来反映x、y之间的依赖关系，错误！未找到引用源。称为拟合的理论模型，式中c=c0,c1,…cn是待定参数。当错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的方法是最小二乘法。

2.1.1.1 线性模型的曲线拟合

线性模型中与背景资料相适应的解析表达式为：

β+

β

ε

y

=x

+

（1）

1

式中，错误！未找到引用源。0，错误！未找到引用源。1未知参数，错误！未找到引用源。

ε服从N(0，σ2)。

将错误！未找到引用源。个实验点分别带入表达式（1）得到：

i i i x y εββ++=10 （2）

式中i=1,2,…错误！未找到引用源。，ε1, ε2,…, εn 错误！未找到引用源。相互独立并且服从N(0，σ2)。

根据最小二乘原理，拟合得到的参数应使曲线与试验点之间的误差的平方和达到最小，也就是使如下的目标函数达到最小：

2101)(i i n

i i x y J εββ---=∑= （3）

错误！未找到引用源。将试验点数据点入之后，求目标函数的最大值问题就变成了求取使目标函数对待求参数的偏导数为零时的参数值问题，即：

0)(2101

0=----=∂∂∑=i i n i i x y J εβββ （4） 0)(2101

1=----=∂∂∑=i i i n i i x x y J εβββ （5） 从而，就能唯一地确定参数错误！未找到引用源。0，错误！未找到引用源。1错误！未找到引用源。的值，完成了曲线的最小二乘拟合。

2.1.1.2 非线性模型的曲线拟合

非线性模型的问题一般比线性问题的处理要复杂，模型也分为两类。一类是能通过某些数学变换使待求参数以线性形式出现的，一般优先对其进行线性变换将问题转换，这种称为伪线性最小二乘问题；另一类是无法将待求参数线性化的问题，则必须采用较复杂的非线性问题处理方法。

对于第一类问题，其典型代表是多项式模型，设多项式函数为

m m x x x x f αααα++++=...)(2210 （6）错误！未找到引用源。

我们令x m =x m ，则解析式变为

m m x x x x f αααα++++=...)(22110 （7）

此时试验点数据为(x i1,x i2,…x im , y i 错误！未找到引用源。)，将试验点数据代入解析式得：

im m i i i x x x x f αααα++++=...)(22110 （8）

式中i=1,2,…,n 。

此时的目标函数为

2221101)]...([im m i i n

i i x x x y J αααα++++-=∑=（9）

为使目标函数得到最小值，需使其对各待求参数的偏导数等于零，即

0)]...([2221101

0=++++--=∂∂∑=im m i i n i i x x x y J ααααα0)]...([2221101

=++++--=∂∂∑=ij im m i i n i i j x x x x y J ααααα),...,2,1(m j =错误！未找到引用源。 （10）错误！未找到引用源。

由此便可求得各参数的唯一值，从而完成了曲线的最小二乘拟合。

类似的可以进行线性化的常用曲线如下表所示： 表1 可转化为线性式的曲线类型

函数表达式 变换后表达式 变量和参数变化

Y

X A B

对于第二类不能直接线性化的问题，通常要借助求解非线性方程组, 通过最优化方法求得所需参数。最常用的最优化方法有：单纯形法、拟牛顿法以及Marquadst 算法。另外, 遗传算法(GA )、免疫算法( IA ) 的研究也为曲线拟合中的优化问题提供了新的思路。

2.2.2 无理论模型的曲线拟合

无理论模型的曲线拟合通常用于工程当中规律性差、理论模型难以确定或者根本不需要理论模型的问题的处理。这种情况下一般采用几何方法或神经网络方法实现曲线拟合。

2.2.2.1曲线拟合的圆弧法

圆弧拟合是一种描绘通过观测点(型值点) 的几何拟合方法。它用分段圆弧代替曲线, 并且使相邻两个圆弧有公共切线。这种方法归结为以下三种情况:

a. 已知圆O 错误！未找到引用源。和圆外两点A 1错误！未找到引用源。、A 2, 求圆P 错误！未找到引用源。，使它通过A 1错误！未找到引用源。、A 2，并且与圆错误！未找到引用源。O 相切(外切或内切)。

b. 已知圆O 错误！未找到引用源。和圆外一点A 2，求圆错误！未找到引用源。P,使它通过A 2，并且和圆O 错误！未找到引用源。切于点A 1。

c. 已知圆O 1和圆O 2错误！未找到引用源。, 求圆P, 使它和圆O 2相切, 且与圆O 1切于定点错误！未找到引用源。A 。

根据上述三种情况可以确定圆的圆心坐标、半径以及切点, 从而唯一的确定拟合曲线。 对于常规的已知实验数据点求拟合曲线问题，圆弧拟合法的示意图如图1所示。分别对试验点连线P 1P 2错误！未找到引用源。和P 2P 3错误！未找到引用源。做垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为第一段圆弧的圆心，第一段圆弧过前三个试验点，以后的每个试验点的圆弧拟合方法以第q 个试验点P q 错误！未找到引用源。为例进行说明。