金融工程-chapter5

H G
相同。该 回归模型的可决系数可以用于检验套期保值有 效性。
5.1.2 股票指数期货的运用
（二） 套期保值
• 股指期货的最优套期保值比率
最小方差套期保值比率：
n
HG
H G
与CAPM衡量股票系统性风险的β系数的公式极为类似：
RiRM 2
Ri RM
Ri
RM
RM
（5.1）
如果：(1)所表示的市场指数组合与我们用于套期保值的
3个月1年远期理论差价为
W* F* F0.0088420.0085910.000251(美元/日元)
3个月期远期理论差价为
WFS0.0085910.00850.000091(美元/日元)
5.2.2 远期外汇综合协议的定价
• 例5.2 远期汇率协议的定价 根据
f Aer(T t) (F K ) Aer* (T*t) (K * F * )
• 采用支付已知收益率资产远期合约的定价公式为直接远期 外汇协议定价，可以得到直接远期外汇协议的远期价值为
远期汇率为
f Serf (T t) Ker(T t) F Se(rrf )(T t)
（5.4） （5.5）
式（5.5）就是国际金融领域著名的利率平价关系。
远期外汇综合协议的概念
远期外汇综合协议是指从未来某个时点起算的远期外 汇协议，即当前约定未来某个时点的远期汇率，其实质是 远期的远期。
5.2.2 远期外汇综合协议的定价
• 远期外汇综合协议的定价 • 在实践中，有的远期外汇综合协议直接用远期汇差规定买卖
原货币时所用的汇率。
用W* =F* F表示 T 时刻到 T* 时刻的远期差价，可得： W * Ser*rf *T*t Serrf T t
用W＝F S表示 t 时刻到 T 时刻的远期差价，可得：
股指期货价格变动一致；
(2)套期保值期间，被套期保值的股票组合的β系数 能很好地代表其真实的系统性风险；
则β的确是股指期货最优套期保值比率的一个良好近似。
5.1.2 股票指数期货的运用
（二） 套期保值
• 无风险投资组合的构造
当前文所述的两个条件满足时，运用β系数进行的股 指期货套期保值往往可以使投资者的整体投资组合系Leabharlann Baidu性 风险为零。
在实际中，采用收益率模型
rH abrG
估计系数b，得到最小方差套期保值比率。因为
Cov(rH, rG) Cov(abrG, rG)
b Cov(rG, rG) Cov(, rG)
所以
b Cov(rH, rG)/ Cov(rG, rG) Cov(rH, rG)/ Var(rG)
这与
n
HG
假定用2008年3月到期的S&P股指期货来为该投资组合进行套期 保值。那么，卖出多少数量的股指期货合约才合适？
2008年3月到期的S&P股指期货在2007年11月22日的期货价格 为1426.6。如果运用最小方差套期保值比率计算，并且以该投资组合 的Beta系数作为最小方差套期保值比率的近似值，则需要卖出的期货 合约数量为
5.2.2 远期外汇综合协议的定价
• 远期外汇综合协议的定价 • 于是：
f ASerf (T t) AKer(T t) AK e* r* (T*t) ASerf * (T*t)
Aer(T t)[Se(rrf )(T t) K ] Aer* (T*t)[K * Se ] (r* rf * )(T* t)
• 股指期货交易特殊性 ： • （1）现金结算交割； • （2）股指期货的合约规模不是固定的，而是按照
开立股指期货头寸时的价格点数乘以每个指数点 所代表的金额。
5.1.2 股票指数期货的定价
• 股价指数可以近似地看作是支付已知收益率的资 产,在无套利的市场条件下 :
F Se(rq)(T t)
(3.7)
5.1.2 股票指数期货的运用
（二） 套期保值
• 股指期货的最优套期保值比率
类似于第四章的推导，股指期货的最小方
差套期保值比率为：
n
HG
H G
其中n 为点数乘以乘数，H为股票或股票组合 收益率的标准差， G 为股指期货收益率的标 准差，HG为股票或股票组合收益率与股指期
货收益率的的相关系数。
5.1.2 股票指数期货的运用
• 注意式（3.7）的例外：在CME交易的以美元标价 的日经225指数期货无法使用式（3.7）进行定价。 原因在于：该期货的标的资产为在日本大阪证券 交易所交易的以日元计价的日经225股价平均数， 而该期货是以美元计价的，合约规模为日经225 股价平均数乘以5美元，而且该合约实行现金结算， 这样我们就无法通过无套利定价方法来定价。
第一节 股票指数期货
5.1.1 股票指数期货概述
• 股票指数，是运用统计学中的指数方法编制而成 的、反映股市中总体股价或某类股票股价变动和 走势情况的一种相对指标。 如DJIA 、S＆P500、 中国沪深300指数。
• 以股票指数作为标的资产的股票指数期货，则是 指交易双方约定在将来某一特定时间交收“一定 点数的股价指数”的标准化期货合约，通常简称 为股指期货。如沪深300指数期货、S＆P500指 数期货。
根据 F Se(rrf )(T t)
得到 F0.0085e (0.0524740.010075) 0.250.008591(美元/日元)
5.2.2 远期外汇综合协议的定价
• 例5.2 远期汇率协议的定价 根据
得到
F Se *
(r* rf* )(T * t )
F*0.0085e (0.0508870.011487) 10.008841(美元/日元)
5.1.2 股票指数期货的运用
（二） 套期保值
• 例5.1 S&P股指期货套期保值
假设某基金管理着一个总价值为4000万美 元的多样化股票投资组合，该基金长期看好这个 组合。该组合相对于S&P指数的β系数为1.22。 2007年11月22日，该基金管理者认为短期内大盘 有下跌的风险，可能会使投资组合遭受损失，决 定进行套期保值。
方法一：立即卖出股票，将所得的收入投资于 短期债券，等下跌后再重新买进。这种方法将涉 及到昂贵的交易成本，并且短期将大规模的股票 进行抛售，很可能导致股价下跌，无法按预定的 价格出售。
5.1.2 股票指数期货的运用
（二） 套期保值
• 例5.1 S&P股指期货套期保值
方法二：利用S&P股指期货进行套期保值。如果卖出一定量的股指期 货，即使大盘带动组合价值下跌，期货市场是的盈利可以冲抵现货市 场上的损失，从而达到降低总体头寸系统风险的目的。
交易的股指期货份数为
( * ) VH
VG
5.1.2 股票指数期货的运用
（二） 套期保值
• 改变投资组合的系统性风险暴露 当*时，意味着投资者希望提高所承担的系统 性风险，获取更高的风险收益，应进入股指期货 多头，这时
( * ) VH 0
VG
当*时，意味着投资者希望降低所承担的系统 性风险，应进入股指期货空头，这时
5.1.2 股票指数期货的运用
（一） 指数套利
• 若实际的期货价格高于理论价格，即 GSe(rq)(T t) ，投资者可以通过买入该股票 指数的成分股并卖出相应的股指期货，期 货到期卖出股票交割股指期货进行套利；
• 反之，若实际的期货价格低于理论价格， 即GSe(rq)(Tt) ，则投资者可以卖空该股票 指数的成分股，买入相应的股指期货，期 货到期买回股票交割股指期货进行套利。
假设某投资者希望将其原有组合中的部分股票转化为 短期国库券，她可以利用股指期货而无需出售股票达到这 一效果：保留该部分股票，同时根据β系数出售与该部分 股票价值相对应的股指期货空头，就可以创建一个合成的 短期国库券（Synthetic T-Bill）。
股票多头＋股指期货空头＝短期国库券多头 反过来，投资者同样也可以利用短期国库券的多头和 股指期货的多头创建一个合成的股票组合（Synthetic Equity Position），达到将原有的短期国库券转化为股票 组合的目的。
W S[e(rrf )(T t) 1]
5.2.2 远期外汇综合协议的定价
• 例5.2 远期汇率协议的定价 2007年10月10日，伦敦银行同业拆借3个月期美元利
率为5.2475%，1年期美元利率为5.0887%，3个月日元利率 为1.0075%，1年期日元利率为1.1487%。同时，美元对日元 的即期汇率为0.0085美元/日元。本金1亿日元的3个月1年 远期外汇综合的3个月合同远期汇率为0.008615美元/日元， 1年合同远期汇率为0.00865美元/日元。问该合约理论上的 远期汇率、远期价差和远期价值等于多少？
实际中，通常，双方在当前t时刻约定买方在结算日T 时刻按照协议中规定的结算日直接远期汇率K用第二货币 向卖方买入一定名义金额A的原货币，然后在到期日T*时 刻再按合同中规定的到期日直接远期汇率K*把一定名义 金额（在这里假定也为A）的原货币出售给卖方。
在这里，所有的汇率均指用第二货币表示的一单位原 货币的汇率。为论述方便，我们把原货币简称为外币，把 第二货币简称为本币。
该远期外汇综合协议多头价值为得到 f 100000000[e 0.0524750.25 (0.0085910.008615) e 0.0508871 (0.008865 0.008842) ] 182.83(美元)
5.3.1 远期利率协议概述
• 远期利率协议（FRA）是买卖双方同意从未来某 一商定的时刻开始的一定时期内按协议利率借贷 一笔数额确定、以具体货币表示的名义本金的协 议。
( * ) VH 0
VG
显然最优套期保值比率是目标*0的特例。
5.1.2 股票指数期货的运用
（二） 套期保值
• 改变投资组合的系统性风险暴露
当前文所述的两个条件不成立时，beta系数 不是股指期货最优套期保值比率b的一个良好近似， 就需要使用
来修正。
( * ) VH / b VG
• 直接远期外汇协议是在当前时刻由买卖双方确定未来某一 时刻按约定的远期汇率买卖一定金额的某种外汇。
5.2.2 远期外汇综合协议的定价
• 远期外汇综合协议的定价 • 远期外汇综合协议多头的现金流为：
T时刻： 付出AK本币，得到A 单位外币 T*时刻：付出A单位外币，得到AK*本币 • 这些现金流的现值即为远期外汇综合协议 多头的价值f 。 • 求现值时，外币用外国无风险利率贴现， 本币用本国的无风险利率贴现，外币的现 值要用汇率换算成本币。
• 进行现金结算是FRA常见的做法。因此，FRA中 的本金通常被称为“名义本金”。
• 注意，FRA的多方为利息支付者，即名义借款人， 其订立FRA的目的主要是为了规避利率上升的风 险。相应地，FRA的空方则是利息获得者，即名 义贷款人，其订立FRA的目的主要是为了规避利 率下降的风险。
• 程序交易：借助计算机程序自动完成交易 指令。
5.1.2 股票指数期货的运用
（二） 套期保值
• 多头套期保值与空头套期保值 股指期货的标的资产是市场股票指数，因
此运用股指期货进行套期保值，管理的是股票 市场的系统性风险。
例如，当投资者预期在将来特定时刻投资 股票，但担心实际购买时大盘整体上扬而蒙受 损失，便可通过预先进入股指期货多头的方式 消除系统性风险；当投资者看好手中所持有的 股票不愿轻易卖出，但担心大盘下跌给自己带 来损失，就可以通过股指期货空头对冲系统性 风险。
（二） 套期保值
• 股指期货的最优套期保值比率 由于n 为点数乘以乘数，股指期货的最小
方差套期保值合约数量为：
N n VH VG
其中VH为股票或股票组合的总金额，VG 为股指 期货的合约规模(等于合约的报价乘以乘数) 。
5.1.2 股票指数期货的运用
（二） 套期保值
• 股指期货的最优套期保值比率
• 远期汇率就是令合约价值为零的协议价格 ，因此
•
F Se(rrf )(T t)
•
F Se *
(r* rf* )(T * t )
• 从上述讨论中我们可以看到，远期外汇综合协议可以理解为 约定的是未来T时刻到T*时刻的远期差价。根据上式，可以 得到
f Aer(T t) (F K ) Aer* (T*t) (K * F * )
400000000 1.22 1366.4 1366 1426.6 250
5.1.2 股票指数期货的运用
（二） 套期保值
• 改变投资组合的系统性风险暴露 投资者可以利用股指期货，根据自身的预期
和特定的需求改变股票投资组合的beta系数，从 而调整股票组合的系统性风险与预期收益。
设定股票组合的原beta系数为，目标beta 系数为*。则套期保值比率就应该为*，需要