几何模型：一线三等角模型

一线三等角模型

一.一线三等角概念

“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。

二.一线三等角的分类

全等篇

同侧锐角直角钝角

P

异侧相似篇

A

同侧锐角直角钝角

P

异侧

三、“一线三等角”的性质

1.一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC ∽△BDE.

2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED ，则△AEC ≌△BDE.

3.中点型“一线三等角”

如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.

4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且1

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BOC BAC ∠=︒+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.

如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，

1

902

BOC BAC ∠=︒+∠这是内心的性质，反之未必是内心.

在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF ，交于点 P ，则点 D 是△PEF 的旁心.

5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明 ）

图 3-5

其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题

四、“一线三等角”的应用

1.“一线三等角”应用的三种情况.

a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；

b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；

c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.

体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.

2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.

3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似

坐标系中，要讲究“线”的特殊性

如图 3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角

当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。

上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不容易掌握.

解题示范

例 1 如图所示，一次函数4y x =-+与坐标轴分别交于 A 、B 两点，点 P 是线段 AB 上一个动点（不包括 A 、B 两端点），C 是线段 OB 上一点，∠OPC=45°，若△OPC 是等腰三角形,求点 P 的坐标.

例 2 如图所示，四边形 ABCD 中，∠C=90°,∠ABD=∠DBC=22.5°，AE ⊥BC 于 E ，∠ADE=67.5°，AB=6,则 CE= .

例 3 如图，四边形ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3，AD=5.求BC 的长.

例 4 如图，△ABC 中,∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3,求AD 的长.

一线三等角，补形最重要，内构勤思考，外构更精妙.找出相似形，

比例不能少.巧设未知数，妙解方程好

还是可以纵横斜三个方向构造，坐标系中一般考虑纵横两个方向构造

例5 如图，在△ABC 中，∠BAC=135°，AC= 2AB, AD⊥AC 交BC 于点D，若AD = 2，求△ABC的面积

当然有45°或135°等特殊角，据此也可以构造不同的一线三等角

一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起，是相似集中条件的一种.

大练身手：

例7：在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，3），C（－3，0），D是线段AB上一点，CD交y轴于E，且S△BCE＝2S△AOB．

（1）求直线AB的解析式；

（2）求点D的坐标，猜想线段CE与线段AB的数量关系和位置关系，并说明理由；

（3）若F为射线CD上一点，且∠DBF＝45°，求点F的坐标．

例8：如图，直线y＝x＋2与y轴交于点C，与抛物线y＝ax2交于A、B两点（A在B的左侧），BC＝2AC，点P是抛物线上一点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P在直线AB的下方，求点P到直线AB的距离的最大值；

（3）若点P在直线AB的上方，且∠BPC＝45°，求所有满足条件的点P的坐标．

练1：.如图，抛物线的顶点为C（－1，－1），且经过点A、点B和坐标原点O，点B的横坐标为－3．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D为抛物线上的一点，且△BOD的面积等于△BOC的面积，请直接写出点D的坐标；

（3）若点E的坐标为（0，2），点P是线段BC上的一个动点，是否存在点P，使得∠OPE ＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

课后作业：

如图，点A(0,-1),B(3,0),P为直线y= -x+5上一点，若∠APB=45°，求点P的坐标

在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3,AD=4,求AC的长.

如图，正方形ABCD中，点E,F,G分别在AB,BC,CD上，△EFG为等边三角形，求证：BE+GC=3BC