等差数列知识点汇总

序号从1开始依次增加时，对应的函数值按 次序排出就是数列，这就是数列的实质。
数列的图像是离散的点。
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等差数列(arithmetic sequences)的定义
如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差 等于同一个常数 ，那么这个数列叫做等差数列， 这个常数叫做该等差数列的公差 (common difference) ，通常用“d”表示 .
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等差中项
如果 a, A, b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等
差中项 .即 A? a ? b 或 2 A? a ? b
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等差数列的定义式 a n ? an?1 ? d (n ? 2, n ? N* )
用定义式判断或证明一个数列为等差数列：
有穷数列 无穷数列
等差数列的递推公式
???aan1
倒序 相加
? ?1?? ?2?: 2Sn ? ?a1 ? an ?? ?a2 ? ? an?1 ? ?a3 ? an? 2 ?? ? ? (an ? a1) 共n个括号 ? a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ? ? an ? a1
? 2Sn ? n(a1 ? an )
练习. 等差数列{an}的前m项和为0，前2m项和为-100， 求它的前 4m项的和。
性质5
对于等差数列， Sk ,S 2k ? Sk ,S3k ? S2k……仍成等差数列。
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等差数列的前 n项和公式
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等差数列的前 n项和公式的推导
设Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an ?1? ? ? Sn ? an ? an?1 ? an? 2 ? ? ? a2 ? a1 2
则
? 100a ? 10b ? 310 ??400a ? 20b ? 1220
?
?a ? 3
? ?
b
?
1
? Sn ? 3n2 ? n
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从函数的观点来看等差数列：
数列?an?为等差数列 ? an ? pn ? q ?p、q为常数? 数列?an?为等差数列 ? Sn ? an2 ? bn ?a、b为常数? Sn ? an2 ? bn?a、b为常数?? 数列?an?为等差数列?
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Sn与a n的关系: S1 ? a1, Sn ? Sn?1 ? an (n ? 2, n ? N* )
练习：已知数列{a n}的前n项的和为Sn
?
n 1? n
, 求通项公式。
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等差数列综合习题
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1. 已知一个等差数列的前四项和为 21，末四项和为67， 前n项和为286，求项数。
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2.已知数列{an}是等差数列，且a1 ? 2,它的前五项和为20， 求Sn
更一般地，对于等差数列 {an} ，若p+q=m+n，则 ap+aq=am+an（p、q、m、n均为正整数）
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性质3
从等差数列的某一项开始，每间隔相同数目的项抽取 出来的项按照原来的顺序仍排成等差数列。
已知数列{an}的通项公式为 a n ? tn ? s, 则数列{apn-q }
??t,s,p,q为常数， p,q ? ?
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例 已知一个等差数列的前 10项的和是310，前 20项的和是1220，求其前n项和的公式。
解：设该数列的首项为a1，公差为d，依题意有
? ? ?
10a1 ? 45d 20a1 ? 190d
? ?
310 1220
?
? ?
a
1
?d
? ?
4 6
?
Sn
?
4n
?
n(n ? 1) 2
?
6
?
3n 2
?
n
另解：设Sn=an2+bn
N*, n ?
q
? p
1
??是等差数列。 ?
性质4 几个等差数列的线性组合仍为等差数列
已知数列{an }与{bn }都是等差数列。且 cn ? pan ? qbn
?p, q为常数 ?, 则数列{cn}是等差数列。
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3. 等差数列{an}的前5项和为0，前10项和为-100， 求它的前 20项的和。
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例
已知数列{an}的前n项和为Sn ? n2 ? 2n. (1)求数列{an }的通项公式。（2）求证：{a n}是等差数列。
一般地，
Sn ? an2 ? bn ?a、b为常数?? 数列?an?为等差数列. 数列?an?为等差数列 ? Sn ? an2 ? bn ?a、b为常数?
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例 变式
S2n?1 ? ?2n ? 1?an
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等差数列{an }中，a2 ? 70,a 7 ? 30, 前n项和为Sn ,数列{a n }
的前n项和为S/n , 求S/n
解：先求得 an ? 86 ? 8n
Sn ? 82n ? 4n2
已知数列{an }的前n项和为Sn ? n2 ? 2n+1, 则{an }是怎样的数列？
一般地，
Sn ? an 2 ? bn ? c ?a、b为常数,c ? 0?
? 数列?an?从第二项开始为等差数列 .
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若数列?an?的前n项和Sn ? an 2 ? bn ? c ?a、b、c为常数?
则当c ? 0时，数列?an?为等差数列. 当c ? 0时，数列?an?从第二项开始为等差数列 .
由此得： Sn
?
n(a1 ? 2
an)
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等 差
Sn=
n(a1 ? an ) 2
数
列
前
用an= a1+(n-1)d代入上式
n
项
和 公 式
Leabharlann Baidu
Sn= na 1 ?
n(n ? 1) d 2
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以上为等差数列及其前n项和的基本内容 进一步地，
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从函数的观点来看等差数列：
数列?an?为等差数列 ? an ? pn ? q ?p、q为常数? 数列?an?为等差数列 ? Sn ? an2 ? bn ?a、b为常数?
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数列(Sequences of numbers )的定义 按照一定的次序排列的一列数叫数列。
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数列的本质
一个数列一旦给定，每个序号都唯一确定地对 应着数列中的一项，即
序号 1 2 3 4 … n …
项 a1 a2 a3 a4 … an…
因此，数列的项是序号的函数 （序号是 自变量，项是函数值），
?a ? an?1
?
d
?n
?
2?
等差数列的通项公式 an ? a1 ? ?n ? 1?d (n ? 2,n ? N*)
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根据等差数列的定义式或通项公式 可以证明等差数列的如下性质：
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性质1 推广的等差数列通项公式
an=aq+ (n-q)d
? ?d ?
?
ap ? p?
aq q
? ? ?
性质2 “若下标和相等，则对应项的和相等”