(3份试卷汇总)2019-2020学年吉林省白城市高一数学下学期期末质量跟踪监视试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，向该正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域的概率是38
，则该阴影区域的面积是（ ）
A ．3
B ．32
C ．2
D ．34
2．在正方体1111ABCD A B C D 中，异面直线AC 与1BC 所成的角为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
3．一个体积为123的正三棱柱（底面为正三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱）的三视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为（ ）
A ．63
B ．3
C ．83
D ．12 4．在中，角，，所对的边分别为，，，若
，，，则（ ） A ． B ．2 C ．3 D ．
5．某三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高为6，则该三棱柱的体积为
A ．23
B ．43
C ．3
D ．36．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2
a 的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）
A ．18π-
B ．4π
C ．14π-
D ．与a 的值有关联
7．已知数列{}n a 满足1212,(*)n n a a a a n +=>∈N ，则（ ）
A ．35a a ＞
B ．35a a <
C ．24a a >
D ．24a a <
8．各项不为零的等差数列}{n a 中，23711440a a a -+=，数列}{
n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．64
9．已知一扇形的周长为15cm ，圆心角为3rad ，则该扇形的面积为( )
A ．29cm
B ．210.5cm
C ．213.5cm
D ．217.5cm
10．已知等差数列{a n },若a 2=10,a 5=1,则{a n }的前7项和为
A ．112
B ．51
C ．28
D ．18
11．在ABC ∆中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2a =，3b =，120C =︒，则其面积等于（ ）
A ．32
B ．3
C ．33
D ．33
12．某个算法程序框图如图所示，如果最后输出的S 的值是25，那么图中空白处应填的是（ ）
A ．4?i <
B ．5?i <
C ．6?i <
D ．7?i <
二、填空题：本题共4小题
13．已知无穷等比数列{}n a 的所有项的和为3，则首项1a 的取值范围为_____________.
14．已知当x θ=时，函数22()(
1)sin cos (1)cos 2222
x x x f x a a a =+--+-（a R ∈且1a >）取得最大值，则tan 2θ=-时，a 的值为__________．
15．在直角坐标系xOy 中，直线1:1l y kx =-与直线2l 都经过点(3,2)，若12l l ⊥，则直线2l 的一般方程是_____.
16．给出下列四个命题：
①正切函数tan y x = 在定义域内是增函数；
②若函数()3cos(2)6f x x π=+
，则对任意的实数x 都有55()()1212f x f x ππ+=-； ③函数cos sin ()cos sin x x f x x x
+=-的最小正周期是π； ④cos()y x =-与cos y x =的图象相同.
以上四个命题中正确的有_________（填写所有正确命题的序号）
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知数列{}n a 前n 项和为n S ， 12a =-，且满足1112n n S a n +=
++（*n N ∈）． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若()3log 1n n b a =-+，设数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
前n 项和为n T ，求证： 34n T <． 18．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量()1,2a =-，又点()8,0A ，(),B n t ，()sin ,C k t θ，R θ∈.
（1）若AB a ⊥，且5AB OA =，求向量OB ；
（2）若向量AC 与向量a 共线，常数0k >，求()sin f t θθ=的值域.
19．（6分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 与111A B C △都为正三角形，且1AA ⊥平面ABC ，1F F ，分别是11AC A C ，的中点.
求证：（1）平面11AB F ∥平面1C BF ；
（2）平面11AB F ⊥平面11ACC A .
20．（6分）己知向量(),cos 2a m x =，()sin 2,b x n =，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(,3)12π和点2(,2)3
π-. （1）当63
x ππ-≤≤时，求函数()y f x =的最大值和最小值及相应的x 的值； （2）将函数()y f x =的图象向右平移4
π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，若()g x m =在[]0,2π有两个不同的解，求实数m 的取值范围. 21．（6分）如图，为了测量河对岸A 、B 两点的距离，观察者找到一个点C ，从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B 、C ．并测量得到以下数据，105DCA ∠=，30ADC ∠=，90BCE ∠=，60ACB CEB ∠=∠=，2002DC =米，1003CE =米．求A 、B 两点的距离．
22．（8分）已知sin 2cos 0θθ-=.
（1）求tan 2θ；
（2）求3sin cos sin 3cos θθθθ
+-的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B
【分析】
利用几何概型的意义进行模拟试验，即估算不规则图形面积的大小．
【详解】
正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率，38
S P S ==阴影正方形， 又4S =正方形，32
S ∴=阴影. 故选：B ．
【点睛】
本题考查几何概型的意义进行模拟试验，计算不规则图形的面积，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意豆子落在阴影区域内的概率与阴影部分面积及正方形面积之间的关系.
2．C
【解析】
【分析】
首先由11//,AD BC 可得1D AC ∠是异面直线AC 和1BC 所成角，再由1ACD ∆为正三角形即可求解.
【详解】
连接11,AD CD ．
因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以11//,AD BC ，
则1D AC ∠是异面直线AC 和1BC 所成角．又11AD CD AC ==,
可得1ACD ∆为等边三角形，则160o D AC ∠=，所以异面直线AC 与1BC 所成角为60，
故选：C
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，利用平行构造三角形或平行四边形是关键，考查了空间想象能力和推理能力，属于中档题.
3．A
【解析】
根据侧视图的宽为23求出正三角形的边长为4，再根据体积求出正三棱柱的高，再求侧视图的面积。

【详解】
侧视图的宽即为俯视图的高，即三角形的边长为4，
又
1
123=4233
2
h h
⨯⨯⇒=
∴侧视图的面积为：23363
S=⨯=
【点睛】
理解：侧视图的宽即为俯视图的高，即可求解本题。

4．A
【解析】
【分析】
利用正弦定理，可直接求出的值.
【详解】
在中，由正弦定理得，所以，
故选：A.
【点睛】
本题考查利用正弦定理求边，要记得正弦定理所适用的基本类型，考查计算能力，属于基础题。

5．C
【解析】
【分析】
V S h
=⋅计算结果.
【详解】
因为底面是边长为2的正三角形，所以底面的面积为13
223 2
⨯⨯=
3663
=．
【点睛】
本题考查了棱柱的体积公式，属于简单题型. 6．C
【解析】
试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为22
2()214
a a a ππ-=-．
考点：几何概型，圆的面积公式．
7．B
【解析】
【分析】
分别令1,2,3n =，求得不等式，由此证得35a a <成立.
【详解】
当1n =时，3113,4a a a a >⋅>，当2n =时，41242,2a a a a a >⋅>，当3n =时，51332a a a a >⋅=，所以53333240a a a a a ->-=>>，所以53a a >，故选B.
【点睛】
本小题主要考查根据数列递推关系判断项的大小关系，属于基础题.
8．D
【解析】
【分析】
根据等差数列性质可求得7a ，再利用等比数列性质求得结果.
【详解】
由等差数列性质可得：()222
371131177744480a a a a a a a a -+=+-=-= 又{}n a 各项不为零 78a ∴=，即78b =
由等比数列性质可得：268764b b b ==
本题正确选项：D
【点睛】
本题考查等差数列、等比数列性质的应用，属于基础题.
9．C
【解析】
【分析】
根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与弧长公式即可求出扇形的弧长与半径，进而根据扇形的面积公式即可求解．
【详解】
设扇形的弧长为l ，半径为r ，扇形的圆心角的弧度数是α.
则由题意可得：215,3r l l r r α+===.
可得：2315r r +=，解得：3r =，9l =. 可得：211=
9313.522
S lr cm =⨯⨯=扇形 故选：C
【点睛】
本题主要考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，以及考查学生的计算能力，属于基础题．
10．C
【解析】
【分析】
根据等差数列的通项公式和已知条件列出关于数列的首项和公差的方程组，解出数列的首项和公差，再根据等差数列的前n 项和可得解.
【详解】 由等差数列的通项公式结合题意有: 215
11041a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得：1133a d =⎧⎨=-⎩， 则数列{}n a 的前7项和为: 7176771321(3)282
S a d ⨯=+
=⨯+⨯-=， 故选：C.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和前n 项公式，属于基础题.
11．C
【解析】
【分析】
直接利用三角形的面积的公式求出结果．
【详解】
解：ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，
若2a =，3b =，120C =︒，
则11sin1202322ABC S ab ∆=⨯︒=⨯⨯ 故选：C ．
【点睛】
本题考查的知识要点：三角形面积公式的应用及相关的运算问题，属于基础题．
12．B
【解析】
【分析】
分别依次写出每次循环所得答案，再与输出结果比较，得到答案.
由程序框图可知，第一次循环后，1a =，1s =，2i =；第二次循环后，3a =，4s =，3i =；第三次循环后，5a =，9s =，4i =；第四次循环后，7a =，16s =，5i =；第五次循环后，9a =，25s =，此时25s =，则图中空白处应填的是5?i <
【点睛】
本题主要考查循环结构由输出结果计算判断条件，难度不大.
二、填空题：本题共4小题
13．()
()0,33,6 【解析】
【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意得出10q -<<或01q <<，根据无穷等比数列的和得出1a 与q 所满足的关系式，由此可求出实数1a 的取值范围.
【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意得出10q -<<或01q <<，
由于无穷等比数列{}n a 的所有项的和为3，则131a q
=-，()131a q ∴=-. 当10q -<<时，则112q <-<，此时，136a <<；
当01q <<时，则011q <-<，此时，103a <<.
因此，首项1a 的取值范围是()
()0,33,6. 故答案为：()
()0,33,6. 【点睛】
本题考查利用无穷等比数列的和求首项的取值范围，解题的关键就是结合题意得出首项和公比的关系式，利用不等式的性质或函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
14．3
【解析】
【分析】
先将函数()y f x =的解析式利用降幂公式化为()11sin cos 22
a a f x x x +-=-+
2252a a --，再利用辅助角公式化为()()2252
a a f x x ϕ--=-+，其中 1tan 1
a a ϕ-=+，由题意可知θ与ϕ的关系，结合诱导公式以及tan 2θ=-求出a 的值．
()()()221sin cos 1cos 2222
x x x f x a a a =+--+- ()2211cos 1125sin 15sin cos 22222
a x a a a a x a a x x +++---=--⋅+-=-+
()2252a a x ϕ--=-+，其中1tan 01a a ϕ-=>+， 当x θ=时，函数()y f x =取得最大值，则()22k k Z π
θϕπ-=+∈，22k π
θϕπ∴=++， 所以，sin 2sin cos 112tan 2cos sin tan 1cos 22k a a k πϕπθϕθπθϕϕϕπ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭===-=-=-=--⎛⎫++ ⎪⎝⎭
， 解得3a =，故答案为3．
【点睛】
本题考查三角函数最值，解题时首先应该利用降幂公式、和差角公式进行化简，再利用辅助角公式化简为()sin y A x b ωϕ=++的形式，本题中用到了θ与ϕ之间的关系，结合诱导公式进行求解，考查计算能力，属于中等题．
15．50x y +-=
【解析】
【分析】
点(3,2)代入1l 的方程求出k ，再由12l l ⊥求出直线2l 的斜率，即可写出直线2l 的点斜式方程.
【详解】
将点()3,2代入直线1:1l y kx =-得，231k =-，解得1k =，
又12l l ⊥，21l k =-，于是2l 的方程为()213y x -=-⨯-，整理得50x y +-=.
故答案为：50x y +-=
【点睛】
本题考查直线的方程，属于基础题.
16．②③④
【解析】
【分析】
①利用反例证明命题错误；②先判断512
x π=为其中一条对称轴；③()f x 通过恒等变换化成
()tan()4
f x x π
=+；④对两个解析式进行变形，得到定义域和对应关系均一样.
【详解】
对①，当1230,4
x x π
==，显然12x x <，但12tan 0,tan 1x x ==-，所以12tan tan x x >，不符合增函数的定义，故①错； 对②，当512x π=
时，55()3cos()31266f πππ=+=-，所以512x π
=为()f x 的一条对称轴，当1x 取5(
)12
x π+，2x 取5(
)12
x π-时，显然两个数12,x x 关于直线512x π=对称，所以12()()f x f x =，即
55(
)()1212
f x f x ππ
+=-成立，故②对； 对③
，)
cos sin 4()tan()cos sin 4)4
x x x f x x x x x π
ππ++=
==+-+，T π=，故③对； 对④，因为cos()cos y x x =-=，cos y x =cos ,0,
cos cos(),0,x x x x x ≥⎧==⎨
-<⎩
，两个函数的定义域都是R ，解
析式均为()cos f x x =，所以函数图象相同，故④对. 综上所述，故填：②③④. 【点睛】
本题对三角函数的定义域、值域、单调性、对称性、周期性等知识进行综合考查，求解过程中要注意数形结合思想的应用.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（Ⅰ）31n
n a =-+（Ⅱ）详见解析
【解析】【试题分析】（1）借助递推关系式，运用等比数列的定义分析求解；（2）依据题设条件运用列项相消求和法进行求解： （Ⅰ）12a =-，由1112n n S a n +=
++（*n N ∈）
，得11
2
n n S a n -=+（2n ≥）， 两式相减得132n n a a +=+．
由132n n a a +=+，得()1311n n a a +-=-,又1130a -=-≠， 所以{}1n a -是以3-为首项，3为公比的等比数列()1
133
3n n n a --=-⋅=-，
故31n
n a =-+．
（Ⅱ）()3313n
n n b log a log n =-+==，
()211111222n n b b n n n n +⎛⎫
==- ⎪++⎝⎭
， 11111111111232435112n T n n n n ⎛⎫=
-+-+-+⋯+-+- ⎪-++⎝⎭ 111112212n n ⎛⎫
=+-- ⎪++⎝⎭
()()323342124
n n n +=
-<++． 18．（1）()24,8或()8,8--；（2）当4k >时()f
θ的值域为32216,
k k ⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
. 04k <≤时()f θ的值域为[]216,216k k ---+.
【解析】
分析：（1）由已知表示出向量AB ，再根据AB a ⊥，且5AB OA =，建立方程组求出,n t ，即可求得向量OB ；
（2）由已知表示出向量AC ，结合向量AC 与向量a 共线，常数0k >，建立t 的表达式，代入
()sin f t θθ= 2
432
2sin k k k θ⎛⎫=--+ ⎪⎝
⎭，对k 分类讨论，综合三角函数和二次函数的图象与性质，即可
求出()f
θ值域.
详解：（1）()8,AB n t =-，∵AB a ⊥，且5AB OA =， ∴()820n t --+=
=
解得8t =±，8t =时，24n =；8t =-时，8n =-. ∴向量()24,8OB =或()8,8OB =--.
（2）()sin 8,AC k t θ=-，∵向量AC 与向量a 共线，常数0k >， ∴2sin 16t k θ=-+，
∴()2
sin 2sin 16sin f t k θθθθ==-+ 2
4322sin k k k θ⎛⎫=--+ ⎪⎝
⎭.
①当401k <
<即4k >时，当4sin k θ=时，()sin f t θθ=取得最大值32
k
， sin 1θ=-时，()sin f t θθ=取得最小值216k --，此时函数()f θ的值域为32216,
k k ⎡
⎤
--⎢⎥⎣
⎦
. ②当
4
1k
≥即04k <≤时，当sin 1θ=时，()sin f t θθ=取得最大值216k -+， sin 1θ=-时，()sin f t θθ=取得最小值216k --，此时函数()f θ的值域为[]216,216k k ---+.
综上所述，当4k >时()f
θ的值域为32216,
k k ⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
. 04k <≤时()f θ的值域为[]216,216k k ---+.
点睛：本题考查了向量的坐标运算、向量垂直和共线的定理、模的计算、三角函数的值域等问题，考查了分类讨论方法、推理与计算能力. 19． (1)见解析.(2)见解析. 【解析】 【分析】
（1）由1,F F 分别是11,AC A C 的中点，证得1111,B F BF AF C F ∥∥，由线面平行的判定定理，可得11B F //平面1C BF ，1AF //平面1C BF ，再根据面面平行的判定定理，即可证得平面11AB F ∥平面1C BF . （2）利用线面垂直的判定定理，可得11B F ⊥平面11ACC A ，再利用面面垂直的判定定理，即可得到平面
11AB F ⊥平面11ACC A .
【详解】
（1）在三棱柱111ABC A B C -中，
因为1,F F 分别是11,AC A C 的中点，所以1111,B F BF AF C F ∥∥， 根据线面平行的判定定理，可得11B F //平面1C BF ，1AF //平面1C BF 又11
111,B F AF F C F
BF F ==，
∴平面11AB F ∥平面1C BF .
（2）在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面111A B C ，所以111B F AA ⊥， 又1111B F AC ⊥，11
11A C AA A =，所以11B F ⊥平面11ACC A ，
而11B F ⊂平面11AB F ，所以平面11AB F ⊥平面11ACC A . 【点睛】
本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．
20．（1）最大值为2，此时6
x π
=；最小值为－1，此时6
x π
=-
. （22m ≤<
【解析】 【分析】
（1）根据向量数量积坐标公式，列出函数()sin 2cos 2f x a b m x n x =⋅=+，再根据函数图像过定点，求解函数解析式，当63x ππ
-
≤≤
时，解出26
x π+的范围，根据三角函数性质，可求最值； （2）根据三角函数平移伸缩变换，写出()y g x =解析式，画出()y g x =在[]0,2π上的图象，根据图像即可求解参数取值范围. 【详解】
解：（1）由题意知()sin 2cos 2f x a b m x n x =⋅=+.
根据()y f x =的图象过点,312π⎛⎫ ⎪⎝⎭和2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭，得到3sin cos 66
442sin cos 33m n m n ππππ
⎧
=+⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩
，
解得3m =，1n =.
()3sin 2cos 22sin 26f x a b x x x π⎛
⎫=⋅=+=+ ⎪⎝
⎭
当63x ππ-
≤≤时，52666x πππ-≤+≤，12sin 226x π⎛
⎫-≤+≤ ⎪⎝
⎭，
()f x 最大值为2，此时6
x π
=
，
()f x 最小值为－1，此时6
x π
=-
.
（2）将函数()y f x =的图象向右平移一个单位
得2sin 22sin 2463y x x πππ⎛⎫
⎛
⎫⎛
⎫=-
+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
， 再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得()2sin 23x g x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭ 令23x t π=
-，2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，如图当3
sin 1t ≤<时，
()g x m =在[]0,2π有两个不同的解
∴
32sin 223x π⎛⎫
≤-< ⎪⎝⎭
，即32m ≤<.
【点睛】
本题考查（1）三角函数最值问题（2）三角函数的平移伸缩变换，考查计算能力，考查转化与化归思想，考查数形结合思想，属于中等题型.
21．AB =米 【解析】 【分析】
在ACD ∆中，求出DAC ∠，利用正弦定理求出AC ，然后在Rt BCE ∆中利用锐角三角函数定义求出BC ，最后在ABC ∆中，利用余弦定理求出AB . 【详解】
由题意可知，在ACD ∆中，45DAC ∠=， 由正弦定理得
sin sin AC DC
ADC DAC =∠∠，所以sin 200sin DC ADC AC DAC
⨯∠=
=∠米，
在Rt BCE ∆中，300BC ==米， 在ABC ∆中，由余弦定理得
222221
2cos602003002200300700002
AB AC BC AC BC =⨯⨯=⨯⨯⨯=+-+-，
所以，AB =米. 【点睛】
本题考查利用正弦、余弦定理解三角形应用题，要将实际问题转化为三角形的问题，并结合已知元素类型选择正弦、余弦定理解三角形，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 22．（1）4
3
-（2）7- 【解析】 【分析】
（1）根据三角函数的基本关系式，可得tan 2θ=，再结合正切的倍角公式，即可求解； （2）由（1）知tan 2θ=，结合三角函数的基本关系式，即可求解，得到答案. 【详解】
（1）由sin 2cos 0θθ-=，根据三角函数的基本关系式，可得tan 2θ=， 所以22tan 4
tan 21tan 3
θθθ=
=--.
（2）由（1）知tan 2θ=，又由3sin cos 3tan 1
7sin 3cos tan 3
θθθθθθ++==---.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的基本关系式和正切的倍角公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．2019︒角的终边落在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．如果全集*{|5}U x N x =∈<，{1,2}M =，则U
M =（ ）
A ．∅
B ．{1,2}
C ．{3,4}
D ．{0,3,4}
3．已知集合A ＝{x|x 2﹣x ﹣2＜0}，B ＝{x|12
log x ≥﹣1}，则A ∪B ＝（）
A ．（﹣1，2）
B ．（﹣1，2]
C ．（0，1）
D ．（0，2）
4．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛
⎫=
=+> ⎪⎝⎭
且1)a ≠的图象可能是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
5．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足
222cos cos cos A B C -+1sin sin A C =+，且sin sin 1A C +=，则ABC ∆的形状为（ ）
A ．等边三角形
B ．等腰直角三角形
C ．顶角为150的等腰三角形
D ．顶角为120的等腰三角形
6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生
B ．200号学生
C ．616号学生
D ．815号学生
7．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ） A ．平行
B ．相交
C ．异面
D ．以上都有可能
8．边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将,ED DCF ∆∆分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于1A ，则直线1A D 与平面DEF 所成角的正弦值为（ ） A 2
B 22
C 3
D ．
13
9．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验
公式：弧田面积=
1
2
（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23
π
，弦长为403米
的弧田，其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中3π≈，
3 1.73≈）
A ．14
B ．16
C ．18
D ．20
10．已知底面半径为1，体积为3π的圆柱，内接于一个高为23圆锥（如图），线段AB 为圆锥底面的一条直径，则从点A 绕圆锥的侧面到点B 的最短距离为（ ）
A ．8
B ．43
C ．42
D ．4
11．如图所示，在四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥.将四边形ABCD 沿
对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论中正确的结论个数是（ ）
①A C BD '⊥；②90BA C ∠='； ③CA '与平面A BD '所成的角为30； ④四面体A BCD '-的体积为1
3
. A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
12．平行四边形ABCD 中，若点,M N 满足BM MC =，2DN NC =，设MN AB AD λμ=+，则λμ-=
（）
A．5 6
B．
5
6
-C．
1
6
D．
1
6
-
二、填空题：本题共4小题
13．用列举法表示集合
1
cos(),[0,]
32
x x x
π
π
⎧⎫
-=∈=
⎨⎬
⎩⎭
__________．
14．在ABC中，60
A=︒，1
b=，面积为3，则
sin sin sin
a b c
A B C
________．
15．记S n为等比数列{a n}的前n项和．若2
146
1
3
a a a
==
，，则S5=____________．
16．将一个圆锥截成圆台，已知截得的圆台的上、下底面面积之比是1:4，截去的小圆锥母线长为2，则截得的圆台的母线长为________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知圆经过（2，5），（﹣2，1）两点，并且圆心在直线y
1
2
=x上.
（1）求圆的标准方程；
（2）求圆上的点到直线3x﹣4y+23＝0的最小距离.
18．已知数列{}n a为等差数列，n S是数列{}n a的前n项和，且55
a=，
4
10
S=．
（1）求数列{}n a的通项公式；
（2）令
1
1
n
n n
b
a a
+
=，求数列{}
n
b的前n项和
n
T．
19．（6分）如图，在四棱锥P～ABCD中，底面ABCD为矩形，E，F分别为AD，PB的中点，PE⊥平面ABCD，AP⊥DP，AP＝DP．
（1）求证：EF∥平面PCD；
（2）设G为AB中点，求证：平面EFG⊥平面PCD．
20．（6分）某学校高一、高二、高三的三个年级学生人数如下表
高三高二高一
女生133 153 z
按年级分层抽样的方法评选优秀学生53人，其中高三有13人． （1）求z 的值；
（2）用分层抽样的方法在高一中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1名女生的概率；
（3）用随机抽样的方法从高二女生中抽取2人,经检测她们的得分如下：1．4，2．6，1．2， 1．6，2．7，1．3，1．3，2．2，把这2人的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过3．5的概率．
21．（6分）已知向量a b 、是夹角为60︒的单位向量，32,4c a b d ma b =+=-，
（1）求,a b a b -+；
（2）当m 为何值时，c 与d 平行？
22．（8分）已知直线1:2(1)40l x m y +++=与2:360l mx y +-=平行. （1）求实数m 的值：
（2）设直线l 过点()1,2，它被直线1l ，2l 所截的线段的中点在直线3:20l x y -+=上，求l 的方程.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】 【分析】
由20192195360︒=︒+⨯︒，即可判断. 【详解】
20192195360︒=︒+⨯︒，则2019︒与219︒的终边相同，则2019︒角的终边落在第三象限
故选：C 【点睛】
本题主要考查了判断角的终边所在象限，属于基础题. 2．C
【解析】 【分析】
首先确定集合U ，然后求解补集即可. 【详解】
由题意可得：{}1,2,3,4U =，结合补集的定义可知{}3,4U
M =.
本题选择C 选项. 【点睛】
本题主要考查集合的表示方法，补集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3．B 【解析】 【分析】
先分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∪B ． 【详解】
∵集合A ＝{x|x 2﹣x ﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x ＜2}， B ＝{x|
12
log x ≥﹣1}＝{x|0＜x≤2}，
∴A ∪B ＝{x|﹣1＜x≤2}＝（﹣1，2]． 故选B ． 【点睛】
本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4．D 【解析】 【分析】
本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】
当01a <<时，函数x
y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1
x y a
=
过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x
y a =过定点(0,1)且单调递增，
则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭过定点1(,02）
且单调递增，各选项均不符合.综上，选D. 【点睛】
易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性. 5．D 【解析】 【分析】
先利用同角三角函数基本关系得222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-，结合正余弦定理得
2221
22
a c
b a
c +-=-进而得B,再利用sin sin 13A A π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭化简得sin 13A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,得A 值进而得C,则形
状可求 【详解】
由题(
)
2
2
2
1sin 1sin 1sin 1sin sin A B C A C ---+-=+
即2
2
2
sin sin sin sin sin A C B A C +-=-，由正弦定理及余弦定理得2221
22
a c
b a
c +-=-
即()1
2
cos ,
0,23
B B B ππ=-∈∴=
故 sin sin 13A A π⎛⎫+-=
⎪⎝⎭
整理得sin 13A π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭ ，故,66A B ππ=∴=
故ABC ∆为顶角为120的等腰三角形 故选D 【点睛】
本题考查利用正余弦定理判断三角形形状，注意内角和定理，三角恒等变换的应用，是中档题 6．C 【解析】 【分析】
等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】
详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到， 所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n
=+()n *∈N ，
若8610n =+，则1
5
n =
，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ．
【点睛】
本题主要考查系统抽样. 7．D 【解析】
试题分析：根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断． 解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； ②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面． 故选D
考点：空间中直线与直线之间的位置关系． 8．D 【解析】 【分析】
在正方形中连接BD ，交EF 于点G ，根据正方形的性质，EF DG ⊥
在折叠图中DA '⊥平面A EF '，得到DA EF '⊥，从而EF ⊥平面A BG '，面A DG '⊥平面DEF ，则GD 是A D '在平面DEF 上的射影，找到直线与平面所所成的角.然后在直角三角A DG '∆中求解. 【详解】 如图所示：
在正方形中连接BD ，交EF 于点G ， 在折叠图，连接A G '，
因为,,DA A E DA A F A E A F A '''''''⊥⊥⋂=， 所以DA '⊥平面A EF '， 所以DA EF '⊥， 又因为EF DG ⊥， 所以EF ⊥平面A BG '， 又因为EF ⊂平面DEF ， 所以A DG '⊥平面DEF ，
则GD 是A D '在平面DEF 上的射影， 所以A DG '∠即为所求.
因为2
A G BG '==
2,2A D DG '=== 1
sin 3
A G A DG DG ''∠=
= 故选：D 【点睛】
本题主要考查了折叠图问题，还考查了推理论证和空间想象的能力，属于中档题. 9．B 【解析】 【分析】
根据题意画出图形，结合图形求出扇形的面积与三角形的面积，计算弓形的面积，再利用弧长公式计算弧田的面积，求两者的差即可. 【详解】
如图所示，扇形的半径为1sin 4023
r π
=⨯=， 所以扇形的面积为212160040233ππ
⨯⨯=，
又三角形的面积为212sin
4023π
⨯⨯=
所以弧田的面积为
216001600400 1.73908()33
m ππ
-≈-⨯=， 又圆心到弦的距离等于40cos
203
π
⨯=，所示矢长为402020-=，
按照上述弧田的面积经验计算可得
1
(2
弦⨯矢+矢2)2212020)892()2m =⨯+=，
所以两者的差为2
90889216()m -=. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，以及我国古典数学的应用问题，其中解答中认真审题，合理利用扇形弧长和面积公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 10．C 【解析】 【分析】
先求解圆锥的底面半径,再根据侧面展开图的结构计算扇形中,A B 间的距离即可. 【详解】
设圆柱的高为h ,则213h ππ⨯⨯= ,得3h =因为3SO =所以CD 为SOB 的中位线, 所以2OB =,则()
2
22324SB =
+=.
即圆锥的底面半径为1,母线长为4, 则展开后所得扇形的弧长为4π,圆心角为
44
π
π=. 所以从点A 绕圆锥的侧面到点B 224442.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查了圆柱与圆锥内切求解有关量的问题以及圆锥的侧面积展开求距离最小值的问题.属于中档题. 11．B 【解析】 【分析】
根据题意，依次分析命题：对于①，可利用反证法说明真假；
对于②，BA D '∆为等腰直角三角形，CD ⊥平面A BD '，得'⊥BA 平面ACD '
，根据勾股定理逆定理可
知90BA C ∠='；
对于③，由CA '与平面A BD '所成的角为45CA D '∠=知真假； 对于④，利用等体积法求出所求体积进行判定即可，综合可得答案． 【详解】
在四边形ABCD 中，1AB AD ==，2BD =，则222AB AD BD +=，可得AD AB ⊥，
由BD CD ⊥，若A C BD '⊥，且A C
CD C '=，可得BD ⊥平面ACD '
，
A D '⊂平面ACD
'
，BD A D '∴⊥，这与A D A B ''⊥矛盾，故①不正确； 平面A BD '⊥平面BCD ，平面A BD '平面BCD BD =，CD BD ⊥，CD ⊂平面BCD ，
CD 平面A BD '，
A D '⊂平面A BD '，CD A D '∴⊥，
由勾股定理得222A C A D CD ''=
+=，223BC BD CD =+=，1A B '=，
222A B A C BC ''∴+=，故90BA C ∠='，故②正确；
由②知CD ⊥平面A BD '，则直线CA '与平面ABD 所成的角为CA D '∠，且有CD A D '⊥，
CD A D '=，则A CD '∆为等腰直角三角形，且90A DC '=∠，则45CA D '∠=.
故③不正确；
四面体A BCD '-的体积为111
326
A BCD C A BD V V A
B A D CD ''--'''==⨯⨯⨯⨯=，故④不正确. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了直线与平面所成的角，以及三棱锥的体积的计算，考查了空间想象能力，推理论证能力，解题的关键是须对每一个进行逐一判定． 12．B 【解析】 【分析】
画出平行四边形ABCD ，在CD 上取点E ，使得13DE DC =，在AB 上取点F ，使得2
3
AF AB =，由图中几何关系可得到()
11122223MN FD FA AD AB AD ⎛⎫
==+=-+ ⎪⎝⎭
，即可求出,λμ的值，进而可以得到答案． 【详解】
画出平行四边形ABCD ，在CD 上取点E ，使得13DE DC =
，在AB 上取点F ，使得2
3
AF AB =，则()
11112112222332MN BE FD FA AD AB AD AB AD ⎛⎫
=
==+=-+=-+ ⎪⎝⎭
， 故13λ=-
，1
2
μ=，则56λμ-=-.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，考查了平行四边形的性质，属于中档
题．
二、填空题：本题共4小题
13．
2 {0,}
3
π
【解析】
【分析】
先将x的表示形式求解出来，然后根据范围求出x的可取值. 【详解】
因为
1
cos()
32
x
π
-=，所以2,
33
x k k Z
ππ
π
-=±+∈，又因为[0,]
xπ
∈，所以0
k=，此时0
x=或2
3
π
，
则可得集合：
2 {0,}
3
π.
【点睛】
本题考查根据三角函数值求解给定区间中变量的值，难度较易.
14
【解析】
【分析】
由已知利用三角形面积公式可求c，进而利用余弦定理可求a的值，根据正弦定理即可计算求解. 【详解】
60
A=︒，1
b=
11
sin1
222
bc A c
==⨯⨯⨯,
解得4
c=，
由余弦定理可得：
a===，
所以
13239
sin sin sin sin3
3
2
a b c a
A B C A,
故答案为：
3
【点睛】
本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.。