法向接触刚度对装配体振动模态影响的研究_艾延廷
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振 第 31 卷第 6 期
动
与
冲
击 Vol． 31 No． 6 2012
JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCK
法向接触刚度对装配体振动模态影响的研究
艾延廷，翟
摘
学，王
志，乔永利
（ 沈阳航空航天大学 辽宁省数字化工艺仿真与试验技术重点实验室 ， 沈阳 110136 ）
Abstract： For analysis of vibration modes and dyanmics of assemblies，normal contact stiffness between two contact surfaces is always ignored due to difficulties of treatment，in fact，it affacts final calculation results greatly． Here， influences of normal contact stiffness between two contact surfaces of an assembly on its vibration modes were studied based on the finite element （ FE ） modeling method． Firstly，the relations between normal contact stiffness and contact roughness parameters of two contact surfaces， and the contact stress were derived based on the theory of contact mechanics． Then，a FE modeling method to simulate normal contact stiffness by altering solid elements' elasticity modulus was explored． In the end，the differences of vibration modes considering normal contact stiffness and ignoring that were analyzed． It was shown that the calculated results of the equivalent FE model considering normal contact stiffness are almost the same as the analytic solutions； the calculated results of the FE model ignoring contact stiffness is of great difference to the analytic solutions，and the differences are normally above 10% ； the lower the frequencies，the greater the differences； in addition，the vibration modal shapes considering contact stiffness are changed obviously； the proposed FE model is suitable for analyzing influence of normal contact stiffness on an assembly's vibration modes． Key words： assembly； roughness； contact stiffness； vibration mode； finite element （ FE ） method； equivalent stiffness 在工程领域， 结构分析的研究对象往往是由众多 零件、 组件和部件经过装配而形成的机械系统。 工程 结构装配形式繁多， 包括配合连接、 螺栓连接、 销连接、 焊接、 胶结、 啮合连接等。 在对装配体进行模态仿真和 动力学分析时， 由于结合面处理的技术问题， 不得不对 分析模型进行简化。如不考虑零件之间的连接配合关 系， 而是将装配体中的各个零件直接合并为一个整体， 认为装配件之间是刚性连接。 由于有预载荷的机械装 配体（ 如螺栓法兰连接 ） 的接触表面存在接触应力， 不 同的接触应力和接触面粗糙度， 使接触面间形成分布 不均匀的法向接触刚度， 会对整个装配体的振动模态 产生影响。刚性连结假设不能正确反映装配结构间的 连接刚度和阻尼， 其动力学特性计算结果往往与实际 情况相差很大， 无法实际应用。 本文的研究起源于对 航空发动机盘式拉杆转子各轮盘之间以及盘轴间的连 接刚度对发动机转子的轴向和横向振动模态影响的分
要： 在对装配体进行模态分析时， 装配体接触面间的法向接触刚度对计算结果具有很大影响 ， 但在实际中由
于处理困难却往往被忽略 。基于有限元建模方法分析了装配体接触面法向接触刚度对装配体振动模态的影响 。首先， 根 据接触力学理论推导了法向接触刚度与接触表面粗糙度和接触应力之间的关系 ； 然后， 探讨了通过改变层单元弹性模量 通过算例分析了考虑与不考虑接触刚度时振动模态的差异 。研究结果表 来模拟法向接触刚度的有限元建模方法 ； 最后， 明， 考虑法向接触刚度的有限元等效模型计算结果与解析解非常接近 ， 不考虑接触刚度的整体模型计算结果与解析解相 差较大， 一般超过了 10% 以上， 且频率越低差异越大， 另外振型也有明显差异 。 建立的有限元模型可用于研究法向接触 刚度对装配体振动模态的影响 。 关键词： 装配体； 粗糙度； 接触刚度； 振动模态； 层单元； 等效刚度 中图分类号： TH11 文献标识码： A
结构设计技术的发展， 要求在设计初期即进行转子和 进而通过仿真实现其动力学优化 整机的有限元建模， 1］ 设计。文献［ 提出的方法是对设计并加工出的实物 模型进行实验模态分析， 因而无法在设计之初进行模 2 － 3］ 态计算与分析； 文献［ 使用的键合图法与轮盘等 4］采用有限 结构的有限元模型无法联合使用。 文献［ 元法中的接触单元进行接触刚度分析与模态计算。 在 一个装配体中， 常常有多处采用螺栓联接结构， 如在某 如 型航空发动机转子两级盘 － 盘联接中有 50 余螺栓， 果对每个螺栓都进行有限元建模， 则需要大量的计算 机资源， 造成大量的时间消耗， 甚至计算机无法运行， 5］ 因此， 该方法的实际应用受到限制。文献［ 通过对传 统的有限元方法进行改进， 并编程计算， 实现接触面接 触刚度对转子动力特性影响的研究与分析。 本文试图 对带有预紧力的螺栓联接结构的接触刚度进行有限元 等效计算， 以便为工程中的螺栓联接有限元建模与仿 真问题提供一个有效方法。 本文在静态接触分析的基础上， 依据接触力学相 关 理 论， 根据接触面的粗糙度参数确定出接触刚 度
基金项目： 辽宁省自然科学基金航空专项 （ 2005400612 ） 收稿日期： 2010 － 07 － 21 修改稿收到日期： 2011 － 01 － 11 1963 年生 第一作者 艾延廷 男， 教授，
172
振 动 与 冲 击
［1 ］
2012 年第 31 卷
析。该方面的研究主要方法有两种， 一是模态实验 二是对部件做集中参数处理后通过键合图法 限元法
将式（ 4 ） 代入式（ 5 ） ， 并进行归一化处理可得： A* = P* = = Ak s = Nσ s －z ∫ π( z σ
∞ s s s
－ d * φ（ z s ） d z s
)
； 然后在有限元模型中加入实体层单元， 通过改
变实体层单元的弹性模量来等效接触刚度； 最后再通 过有限元方法对装配体进行模态分析 。
2 1 2 2 1 /2
由式（ 6 ） 可得接触刚度 k c ： kc =
(σ k )
s s 1 /2
1 /2
dP * dd *
－1
= NE *
(σ k )
s s
dd * dP *
（ 7）
2
2. 1
模型建立
接触刚度计算 许多实际的表面， 特别是未处理过的基表面， 其高
度分布服从 Gauss 分布。 对于标准偏差为 σ 的 Gauss 分布， 顶点高度的分布非常接近 Gauss 分布， 其标准偏 差 σ s ≈σ， 顶点的高度位于表面的平均水平之上 0 ． 5 σ ～ 1 ． 5 σ 之间； 顶点曲率与该表面的均方根曲率量级相 同， 即 k s = σ k ； 如果波状表面是随机的各向同性表面， 采用趋近于零的抽样间隔， 则单位面积的顶点数为 η s = 1 ． 209 η2 其中 η p 为迹线单位长度上的峰点数， 通过 p， 分析轮廓迹线中的峰点数确定。 均值为 z s ， 方差为 σ s 的 Gauss 分布的概率密度函数为：
/2 Pk1 s /2 NE * σ3 s
（ 6）
1
接触刚度理论
根据赫兹理论
［8 ］
∫
∞
d
4 zs － zs － d* 3 σs d － zs σs dP = NE * dd
(
)
3 /2
φ（ z s ） d z s
， 二个弹性球接触， 可以转换为具
d* =
有当量曲率半径和当量弹性模量的球体刚性光滑平面 根据其受力后顶点的 接触。对于粗糙平面间的接触， 变形及粗糙层内应力分布的特点， 可先假设： ① 粗糙 平面模型是由半径为 a 的球形截体安装在刚性基体上 球截体具有不均匀的高度分布； ② 由于平 而构成的， 故可以近似认为， 各接触 面接触时接触斑点密度很低， 9］ 点之间相互独立， 微凸体变形互不影响。 由文献［ 的 研究结果可知， 当顶点高度分布均为高斯分布， 且分布 的有效值分别为 σ1 和 σ2 时， 其接触可以转换为一个 且等效不平 光滑的刚性表面和另一个具有高斯分布， 度为 σ = （ σ + σ ） 常曲率 k s 的球形
［4 － 5 ］ ［2 － 3 ］
，
n = N
或有
∫
∞
Biblioteka Baidu
d
φ（ z s ） d z s
（ 1）
进行数值计算。 随着发动机转子以及整机
如果顶点高度超出了间隔， 那么它将被压缩 δ = z s － d， 并且将在半径为 a 的小圆形区域中与平面构成接 触。因此， 第 i 个顶点具有的接触区域为： A i = πa2 i = f（ δ i ） 压缩该顶点所需要的力可写成： P i = g（ δ i ） 变形完全是在弹性极限之内， 由 Hertz 方程有： f（ δ） = πδ / k s g（ δ） = 4 * －1 / 2 3 / 2 E ks δ 3 （ 4） （ 3） 式中 f（ δ） 和 g （ δ ） 与接触表面的材料性质有关。 如果 （ 2）
Influences of normal contact stiffness on an assembly's vibration modes AI Yanting，ZHAI Xue，WANG Zhi，QIAO Yongli
（ LiaoNing Key Lab of Digital Technology Simulation and Test Technique， Shenyang University of Aeronaultics ＆ Astronautics，Shenyang 110136 ，China）
的粗糙表面相接触。该粗糙表面
*
具有等效弹性模量 E 。 假定凹凸起伏的顶点是具有
［6 ］
。
取表面的平均水平线为基准线， 称刚性表面到基 准距离为间隔 d， 称顶点到基准的距离为顶点高度 z s 。 z s 的平均值为 z s ， 其概率密度函数为 φ （ z s ） 。 如果在名 义表面积 A0 中有 N 个顶点， 则在间隔 d 处接触的顶点 数为：
［6 － 7 ］
为了求出真实的总接触面积 A 和总的名义应力 p = P / A0 ， 必须对高度超出间隔的所有凹凸起伏求和 。 于是有： A = N
∫
∞
d
f （ z s － d ） φ（ z s ） d z s
pA0 ≡ P = N
∫
d
∞
d
f （ z s － d ） φ（ z s ） d z s
（ 5）
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JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCK
法向接触刚度对装配体振动模态影响的研究
艾延廷，翟
摘
学，王
志，乔永利
（ 沈阳航空航天大学 辽宁省数字化工艺仿真与试验技术重点实验室 ， 沈阳 110136 ）
Abstract： For analysis of vibration modes and dyanmics of assemblies，normal contact stiffness between two contact surfaces is always ignored due to difficulties of treatment，in fact，it affacts final calculation results greatly． Here， influences of normal contact stiffness between two contact surfaces of an assembly on its vibration modes were studied based on the finite element （ FE ） modeling method． Firstly，the relations between normal contact stiffness and contact roughness parameters of two contact surfaces， and the contact stress were derived based on the theory of contact mechanics． Then，a FE modeling method to simulate normal contact stiffness by altering solid elements' elasticity modulus was explored． In the end，the differences of vibration modes considering normal contact stiffness and ignoring that were analyzed． It was shown that the calculated results of the equivalent FE model considering normal contact stiffness are almost the same as the analytic solutions； the calculated results of the FE model ignoring contact stiffness is of great difference to the analytic solutions，and the differences are normally above 10% ； the lower the frequencies，the greater the differences； in addition，the vibration modal shapes considering contact stiffness are changed obviously； the proposed FE model is suitable for analyzing influence of normal contact stiffness on an assembly's vibration modes． Key words： assembly； roughness； contact stiffness； vibration mode； finite element （ FE ） method； equivalent stiffness 在工程领域， 结构分析的研究对象往往是由众多 零件、 组件和部件经过装配而形成的机械系统。 工程 结构装配形式繁多， 包括配合连接、 螺栓连接、 销连接、 焊接、 胶结、 啮合连接等。 在对装配体进行模态仿真和 动力学分析时， 由于结合面处理的技术问题， 不得不对 分析模型进行简化。如不考虑零件之间的连接配合关 系， 而是将装配体中的各个零件直接合并为一个整体， 认为装配件之间是刚性连接。 由于有预载荷的机械装 配体（ 如螺栓法兰连接 ） 的接触表面存在接触应力， 不 同的接触应力和接触面粗糙度， 使接触面间形成分布 不均匀的法向接触刚度， 会对整个装配体的振动模态 产生影响。刚性连结假设不能正确反映装配结构间的 连接刚度和阻尼， 其动力学特性计算结果往往与实际 情况相差很大， 无法实际应用。 本文的研究起源于对 航空发动机盘式拉杆转子各轮盘之间以及盘轴间的连 接刚度对发动机转子的轴向和横向振动模态影响的分
要： 在对装配体进行模态分析时， 装配体接触面间的法向接触刚度对计算结果具有很大影响 ， 但在实际中由
于处理困难却往往被忽略 。基于有限元建模方法分析了装配体接触面法向接触刚度对装配体振动模态的影响 。首先， 根 据接触力学理论推导了法向接触刚度与接触表面粗糙度和接触应力之间的关系 ； 然后， 探讨了通过改变层单元弹性模量 通过算例分析了考虑与不考虑接触刚度时振动模态的差异 。研究结果表 来模拟法向接触刚度的有限元建模方法 ； 最后， 明， 考虑法向接触刚度的有限元等效模型计算结果与解析解非常接近 ， 不考虑接触刚度的整体模型计算结果与解析解相 差较大， 一般超过了 10% 以上， 且频率越低差异越大， 另外振型也有明显差异 。 建立的有限元模型可用于研究法向接触 刚度对装配体振动模态的影响 。 关键词： 装配体； 粗糙度； 接触刚度； 振动模态； 层单元； 等效刚度 中图分类号： TH11 文献标识码： A
结构设计技术的发展， 要求在设计初期即进行转子和 进而通过仿真实现其动力学优化 整机的有限元建模， 1］ 设计。文献［ 提出的方法是对设计并加工出的实物 模型进行实验模态分析， 因而无法在设计之初进行模 2 － 3］ 态计算与分析； 文献［ 使用的键合图法与轮盘等 4］采用有限 结构的有限元模型无法联合使用。 文献［ 元法中的接触单元进行接触刚度分析与模态计算。 在 一个装配体中， 常常有多处采用螺栓联接结构， 如在某 如 型航空发动机转子两级盘 － 盘联接中有 50 余螺栓， 果对每个螺栓都进行有限元建模， 则需要大量的计算 机资源， 造成大量的时间消耗， 甚至计算机无法运行， 5］ 因此， 该方法的实际应用受到限制。文献［ 通过对传 统的有限元方法进行改进， 并编程计算， 实现接触面接 触刚度对转子动力特性影响的研究与分析。 本文试图 对带有预紧力的螺栓联接结构的接触刚度进行有限元 等效计算， 以便为工程中的螺栓联接有限元建模与仿 真问题提供一个有效方法。 本文在静态接触分析的基础上， 依据接触力学相 关 理 论， 根据接触面的粗糙度参数确定出接触刚 度
基金项目： 辽宁省自然科学基金航空专项 （ 2005400612 ） 收稿日期： 2010 － 07 － 21 修改稿收到日期： 2011 － 01 － 11 1963 年生 第一作者 艾延廷 男， 教授，
172
振 动 与 冲 击
［1 ］
2012 年第 31 卷
析。该方面的研究主要方法有两种， 一是模态实验 二是对部件做集中参数处理后通过键合图法 限元法
将式（ 4 ） 代入式（ 5 ） ， 并进行归一化处理可得： A* = P* = = Ak s = Nσ s －z ∫ π( z σ
∞ s s s
－ d * φ（ z s ） d z s
)
； 然后在有限元模型中加入实体层单元， 通过改
变实体层单元的弹性模量来等效接触刚度； 最后再通 过有限元方法对装配体进行模态分析 。
2 1 2 2 1 /2
由式（ 6 ） 可得接触刚度 k c ： kc =
(σ k )
s s 1 /2
1 /2
dP * dd *
－1
= NE *
(σ k )
s s
dd * dP *
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模型建立
接触刚度计算 许多实际的表面， 特别是未处理过的基表面， 其高
度分布服从 Gauss 分布。 对于标准偏差为 σ 的 Gauss 分布， 顶点高度的分布非常接近 Gauss 分布， 其标准偏 差 σ s ≈σ， 顶点的高度位于表面的平均水平之上 0 ． 5 σ ～ 1 ． 5 σ 之间； 顶点曲率与该表面的均方根曲率量级相 同， 即 k s = σ k ； 如果波状表面是随机的各向同性表面， 采用趋近于零的抽样间隔， 则单位面积的顶点数为 η s = 1 ． 209 η2 其中 η p 为迹线单位长度上的峰点数， 通过 p， 分析轮廓迹线中的峰点数确定。 均值为 z s ， 方差为 σ s 的 Gauss 分布的概率密度函数为：
/2 Pk1 s /2 NE * σ3 s
（ 6）
1
接触刚度理论
根据赫兹理论
［8 ］
∫
∞
d
4 zs － zs － d* 3 σs d － zs σs dP = NE * dd
(
)
3 /2
φ（ z s ） d z s
， 二个弹性球接触， 可以转换为具
d* =
有当量曲率半径和当量弹性模量的球体刚性光滑平面 根据其受力后顶点的 接触。对于粗糙平面间的接触， 变形及粗糙层内应力分布的特点， 可先假设： ① 粗糙 平面模型是由半径为 a 的球形截体安装在刚性基体上 球截体具有不均匀的高度分布； ② 由于平 而构成的， 故可以近似认为， 各接触 面接触时接触斑点密度很低， 9］ 点之间相互独立， 微凸体变形互不影响。 由文献［ 的 研究结果可知， 当顶点高度分布均为高斯分布， 且分布 的有效值分别为 σ1 和 σ2 时， 其接触可以转换为一个 且等效不平 光滑的刚性表面和另一个具有高斯分布， 度为 σ = （ σ + σ ） 常曲率 k s 的球形
［4 － 5 ］ ［2 － 3 ］
，
n = N
或有
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φ（ z s ） d z s
（ 1）
进行数值计算。 随着发动机转子以及整机
如果顶点高度超出了间隔， 那么它将被压缩 δ = z s － d， 并且将在半径为 a 的小圆形区域中与平面构成接 触。因此， 第 i 个顶点具有的接触区域为： A i = πa2 i = f（ δ i ） 压缩该顶点所需要的力可写成： P i = g（ δ i ） 变形完全是在弹性极限之内， 由 Hertz 方程有： f（ δ） = πδ / k s g（ δ） = 4 * －1 / 2 3 / 2 E ks δ 3 （ 4） （ 3） 式中 f（ δ） 和 g （ δ ） 与接触表面的材料性质有关。 如果 （ 2）
Influences of normal contact stiffness on an assembly's vibration modes AI Yanting，ZHAI Xue，WANG Zhi，QIAO Yongli
（ LiaoNing Key Lab of Digital Technology Simulation and Test Technique， Shenyang University of Aeronaultics ＆ Astronautics，Shenyang 110136 ，China）
的粗糙表面相接触。该粗糙表面
*
具有等效弹性模量 E 。 假定凹凸起伏的顶点是具有
［6 ］
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取表面的平均水平线为基准线， 称刚性表面到基 准距离为间隔 d， 称顶点到基准的距离为顶点高度 z s 。 z s 的平均值为 z s ， 其概率密度函数为 φ （ z s ） 。 如果在名 义表面积 A0 中有 N 个顶点， 则在间隔 d 处接触的顶点 数为：
［6 － 7 ］
为了求出真实的总接触面积 A 和总的名义应力 p = P / A0 ， 必须对高度超出间隔的所有凹凸起伏求和 。 于是有： A = N
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pA0 ≡ P = N
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