光波导模式理论小结

2 2 U2 = (k0 n1 - β 2 )a2 > 0
β 表示轴向相位常数，与波矢量 0和横向传播常数 c之 表示轴向相位常数，与波矢量k 和横向传播常数k
间有确定关系： 间有确定关系：
2 2 2 k0 n2 = β 2 + kc
2 k0 n2
2 kc
V2
U2
W2
U 2 +W 2 = V 2
V = k0a n - n =
λc
满足最低归一化频率模（ 满足最低归一化频率模（ TE01和TM01）的截止波长 和 ）的截止波长: 2π 2 2 1/ 2 2 2 λc (TE01,TM01 ) = = 2.613a n1 − n2 a n1 − n2 2.405
(
)
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阶跃光纤低阶模的场分布
2) •
Jm+1 (U) Km+1 (W) 在W→ 0 条件下，由特征方程 UJ (U) + WK (W) = 0 → 条件下， m m 解得其截止状态特征方程为 Jm（Uc）= 0
即归一化截止频率是零阶贝塞尔函数的零点（ 即归一化截止频率是零阶贝塞尔函数的零点（根）： 贝塞尔函数的零点
Uc = Vc = u0n
n = 1,2,3L
零阶贝塞尔函数的根 ， ， ， 零阶 u0n = 2.405， 5.520， 8.654，- - -零阶贝塞尔函数的根 光纤中任意一个传播模式必须满足波导参数大于截止频率： 光纤中任意一个传播模式必须满足波导参数大于截止频率： 截止频率 2π 2 2 1/ 2 V > Vc = a(n1 − n2 )
π
• 常用的估算公式： M = V 2 / 2 常用的估算公式： 2 2 2 式中： V 2 = k0 a2 (n1 − n2 ) 式中：
4.
阶跃折射率光纤中的功率流
• 沿光纤轴向单位横截面中传输的功率： 沿光纤轴向单位横截面中传输的功率：
• 其中
' Jm (U) J= UJm (U)
' Km (W) K= WKm (W)
• 弱导波光纤（∆<<1）特征方程： 弱导波光纤（ ）特征方程：
' ' Jm (U) Km (W) 1 1 + = ±m 2 + 2 UJm (U) WKm (W) U W
三、利用特征方程的讨论
波导模式理论小结
（阶跃光纤部分） 阶跃光纤部分） 2006年3月
一、阶跃光纤的矢量模解
• 三维矢量波动方程分解成横向分量和纵向分量
2 ∇2 E - k0 n2 E = 0
2 ∇2 H - k0 n2 H = 0
2 ∇2 EZ + k0 n2 EZ = 0
2 ∇2 ET + k0 n2 ET = 0
x→ 0
包层内场量在半径方向的分布： 包层内场量在半径方向的分布：变态贝塞尔函数
2 K0 ( X ) → ln X m x→ 1 0 ( X ) → (m − 1)! 2 Km 2 X
x→ 0
π Km ( X ) → e−X 2πX
x→ ∞
纵向分量E 的特点： 纵向分量 z 和 Hz的特点：
(
)
1/ 2
2 2 = 1.640a n1 − n2
3) •
Jm−1(U) Km−1(W) + =0 在W→ 0 条件下，由特征方程 → 条件下， UJm (U) WKm (W) 其截止状态特征方程分为两种情况： 其截止状态特征方程分为两种情况：
HE 混合模的截止频率
a) m = 1 ，截止状态特征方程为： 截止状态特征方程为： Uc J1 (Uc ) = 0 • 归一化截至频率为：
EH混合模的截止频率 混合模的截止频率 即归一化截至频率U 即归一化截至频率 C 是m阶贝塞尔函数的零点： 阶贝塞尔函数的零点：
Uc = Vc = umn
m = 1,2,3L
n = 1,2,3L
最小归一化频率为： c =Vc = 3.832 最小归一化频率为： = V U 最小截止波长为： 最小截止波长为： 2π 2 2 λc = a n1 − n2 3.832
b) •
m ≥ 2，截止状态特征方程为： ，截止状态特征方程为：
J m−2 (Uc ) = 0
归一化截止频率为：
Uc = Vc = um−2,n
（ m = 2、3、4 - - -，n =1、2、3 - - - ） m是贝塞尔函数的阶数，n是贝塞尔函数的零点； 是贝塞尔函数的阶数， 是贝塞尔函数的零点 是贝塞尔函数的零点； 是贝塞尔函数的阶数 • 贝塞尔函数的根， 当m = 2时，就是零阶贝塞尔函数的根，与TE01模和 时 就是零阶贝塞尔函数的根 TM01模具有相同的截止参数，成为简并模。 模具有相同的截止参数，成为简并模。
圆柱面波导波动方程纵向分量的微分方程
• 用分离变量法解二阶偏微分方程，得到关于R 和ϕ 两个解。 用分离变量法解二阶偏微分方程， 两个解。
cos mϕ Φ(ϕ) = sin mϕ
Jm(kcr) R(r) = N (k r) m c
Km (acr) R(r) = I (a r) m c
2. 1)
导波模的截止参数和单模传输条件 TE模和 模和TM模的截止频率 模和 模的截止频率 在W→ 0 条件下，由特征方程 → 条件下，
J1 (U) K (W) + 1 =0 UJ0 (U) W 0 (W) K
解得其截止状态的特征方程为： 解得其截止状态的特征方程为： J0 (Uc ) = 0 截止状态的特征方程为
引入两个参数： 引入两个参数： 表示纤芯内场沿半径a方向分布规律 表示纤芯内场沿半径 U = kca ——表示纤芯内场沿半径 方向分布规律 纤芯内横向传播常数 kc ——纤芯内横向传播常数
2 2 W2 = (β 2 - k0 n2 )a2 > 0
W = aca ——表示包层内场沿半径 方向衰减程度 表示包层内场沿半径a方向衰减程度 表示包层内场沿半径 ac ——包层内横向衰减系数 包层内横向衰减系数
2 1 2 2
β2
2πa
λ
n -n =
2 1 2 2
2πa
λ
NA
二、导波模的特征方程
• 利用边界条件（边界场的切向分量连续）确定特征方 利用边界条件（边界场的切向分量连续） 程：
2 2 n1 1 n1 1 1 1 2 (J + K) 2 J + K = m 2 + 2 2 2 + 2 n W n2 U W U 2
2 ∇2 HZ + k0 n2 HZ = 0
2 ∇2 HT + k0 n2 HT = 0
1 ∂ ∂Ez 1 ∂2Ez 2 + (k0 n2 - β )Ez = 0 r + 2 r ∂r ∂r r ∂ϕ2
1 ∂ ∂Hz 1 ∂2Hz 2 + (k0 n2 - β )Hz = 0 r + 2 r ∂r ∂r r ∂ϕ2
1. 导波模的分类 1) TM模和 模 模和TE模 模和 • 对弱导光纤有相同的特征方程： 对弱导光纤有相同的特征方程： J1 (U) K1 (W) + =0 UJ0 (U) W 0 (W) K • TE波或 TM波在光纤中存在条件是 = 0，意味着场 波或 波在光纤中存在条件是m 波在光纤中存在条件是 ， 量不是φ的函数，在光纤中呈轴对称分布， 量不是φ的函数，在光纤中呈轴对称分布，只能以子 午光线形式传播。 午光线形式传播。 2) EH模和 模——混合模 模和HE模 模和 混合模 • 则在弱导光纤条件下， 、 模有与 模有与TM、TE模相同 则在弱导光纤条件下，EH、HE模有与 、 模相同 的特征方程。 的特征方程。
纤芯折射率n 例：某光纤 a = 4.0µm，∆ ≈ 0.003 ，纤芯折射率 1=1.48， ， ， • 对TE01和TM01模： 2 2 λc (TE01,TM01) == 2.613a n1 − n2 = 1.20µm 最简单的模式TE 模和TM01在工作波长 λ=1.31 µm时不能 最简单的模式 01模和 时不能 传播，只能传播λ 的光波。 传播，只能传播λ=0.85 µm的光波。 的光波 • 对EH 11模： 2 2 λc == 1.640a n1 − n2 = 0.75µm 的光波也不能传播。 λ=0.85 µm的光波也不能传播。 的光波也不能传播 光通信工作波长在1.31 µm和1.55 µm，早期的协议规定用 光通信工作波长在 和 1.31 µm，如果取∆ ≈ 0.003 ， n1=1.46，则光纤的半径应该 如果取∆ ， 满足： 满足：
1. 1) 2) 3) 4) 2. 1) 2) 3) 在纤芯内 沿半径方向场量呈驻波分布，用贝塞尔函数描述。 沿半径方向场量呈驻波分布，用贝塞尔函数描述。 在圆周方向场量呈sin 驻波分布， 是沿圆 在圆周方向场量呈 m ϕ 或 cos m ϕ 驻波分布，m是沿圆 周方向出现最大值的对数。 周方向出现最大值的对数。 m = 0 对应子午光线。 对应子午光线 子午光线。 轴呈行波状态， 沿z轴呈行波状态，波的相位常数为β。 轴呈行波状态 在包层内 沿半径方向呈渐消场，用变态贝塞尔函数描述， 沿半径方向呈渐消场，用变态贝塞尔函数描述，以保证电 磁波能量集中在纤芯和边界面附近。 磁波能量集中在纤芯和边界面附近。 在圆周方向场量分布和纤芯内相同，以保证满足界面边界 在圆周方向场量分布和纤芯内相同， 条件。 条件。 具有表面波特性。否则成为辐射波而不是导波。 具有表面波特性。否则成为辐射波而不是导波。
π mπ 2 Jm (U) → cosU − − πU 4 2
U→∞
• 特征方程改写成： UC = (2n + m) = V 特征方程改写成： 2 • 利用作图法并考虑模之间的简并，其模式数量近似等于： 利用作图法并考虑模之间的简并，其模式数量近似等于： 简并
V 2 V M = 4 2 − π π
m = 0、1、2、- - 、 、 、
r ≤a
r >a
• 其中： 其中：
Nm (kcr) —— 第二类贝塞尔函数 Km (ac r) 和 I m (ac r)
变态贝塞尔函数
J m (kc r) —— 第一类贝塞尔函数
纤芯内场量在半径方向的分布： 纤芯内场量在半径方向的分布：第一类贝塞尔函数
J0 ( X ) →1 m x→ 1 0 (X ) → X Jm m2 ! x→ ∞ ( X ) → 2 cos X − π − mπ Jm 4 2 πX
Uc =Vc = 0 一阶贝塞尔函数的零点 贝塞尔函数的零点） u1,n−1 = 0,0.3832,7.016L （一阶贝塞尔函数的零点）
• 其中HE 11模是光纤中的主模 —— 理想极限： 理想极限： 其中 U 其截止频率为： 其截止频率为： c = Vc = 0 截至波长为： 截至波长为： λc (HE11 ) = ∞ 可以以任意低的频率在光纤中传播，不存在截止。 可以以任意低的频率在光纤中传播，不存在截止。
纵向分量（ ）式场解用贝塞尔函数表示，则有： 纵向分量（3.2）式场解用贝塞尔函数表示，则有：
纤芯内 的场解
sin mϕ − jβz Ez1 = A J m (kc r) 1 cos mϕ e
A1， B1是 待定常数 （3.8） ）
cos mϕ − jβz Hz1 = B1J m (kc r) sin mϕ e
a < 0.38λ / n1 2∆ = 4.38µm
这就是单模光纤直径选在8~9 µm的依据。 这就是单模光纤直径选在 的依据
3. 多模光纤中的模式数量
• 截止状态下的特征方程为： 截止状态下的特征方程为：
Jm−1(U) = Jm−1(Uc ) = o
• 因 V 2 =U2 +W2，当W=0时， Uc =V 时 • 利用贝塞尔函数的渐近式： 利用贝塞尔函数的渐近式：
Ez2 sin mϕ − jβz = A2 Km (ac r) cos mϕ e cos mϕ − jβz = B2 Km (ac r) sin mϕ e
A2， B2是 待定常数 （3.9） ）
包层内 的场解
Hz 2
注意两个贝塞尔函数的差异。 注意两个贝塞尔函数的差异。