-迦辽金法

i =1 i =1
2.结合问题，写出余数表达式： 结合问题，写出余数表达式： 结合问题
2 2 2 ∇ φ = ∇ (∑ Ci x i ) = ∇ 2 (C1 x1 ) + ∇ 2 (C2 x 2 ) i =1 = 0 + 2C2 2 ∇ φ = 0
Ω : RΩ = ∇ 2φ − ∇ 2φ
∇ 2φ = 0 φ 0 = 0; φ d = 10;
3. 加权余量法－－例
加权余量法求解： 加权余量法求解： 1.选取尝试函数、构造近似解： 选取尝试函数、 选取尝试函数 构造近似解：
理论上任意选取， 操作中越简单越好
n 2
ψ i Ci x i = C1ψ 1 + C2ψ 2 = C1 x1 + C2 x 2
i =1 Γ i =1 n n
∫
n
Ω
由于是线性微分算子，故微分、求和、积分次序可调换,代数方程变形：
{[ ∫ w j l(ψ i )dΩ]C i } + ∑ {[ ∫ w *ξ (ψ i )dΓ]C i } = ∫ w j q dΩ + ∫ w * s dΓ ∑ j j
i =1 Ω i =1 Γ Ω Γ
3. 加权余量法－－例
该静态电场问题的真解（解析解： 该静态电场问题的真解（解析解：）
真解与近似解相同是 由于尝试函数选择的 刚好，通常是有差别 的，如选用三角函数， 但求解过程会复杂， 可见尝试函数的选取 是有技巧的。
4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
一般化偏微分方程： 线性微分算子
问题的自 由度
场域 Ω内 : RΩ = ∇ 2φ − ∇ 2φ 边界Γ上： Γ = φ Γ）− φ Γ） R （ （
注意：一般余数并不表示近似解与真解间的差（场域内） 注意 ： 一般余数并不表示近似解与真解间的差 （ 场域内） ， 加权余量法 的采用拉普拉斯算子作用后的差别（即余数） 的采用拉普拉斯算子作用后的差别 （ 即余数 ） ， 来代表近似解接近 偏微分方程真解的程度。 偏微分方程真解的程度。
Ω Γ
= ∫ x(2C2 )dΩ + ∫
0
d
Γ| x = 0
x((C1 x1 + C2 x 2 )
x =0
− 0) dΓ − 10) dΓ
+∫
Γ| x = d
x((C1 x1 + C2 x 2 )
x =d
= C2 d 2 + 0 + (C1d 2 + C2 d 3 − 10d ) = d 2C1 + d 2 (1 + d )C2 − 10d = 0
ψi
的线性组合表达， 的线性组合表达，表达中有待定系数
近似解
Ci
即：
问题的自 由度
φ = ∑ Ciψ i
i =1
n
简单函数，一般选用 简单形式的函数，一 旦选定就是已知的了
待定系数是真 正的求解目标
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
加权余量法就是一种定义近似解与真解之间误差（即余数） 加权余量法就是一种定义近似解与真解之间误差（即余数），并设 法使其最小的方法。 法使其最小的方法。 加权余量法误差（即余数）的定义： 加权余量法误差（即余数）的定义：
Ω Γ
= ∫ w j [l(∑ C iψ i ) − q ] dΩ + ∫ w [ξ (∑ C iψ i ) − s ] dΓ = 0
Ω i =1 Γ * j i =1
n
n
4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
w j [l(∑ C iψ i ) − q ] dΩ + ∫ w * [ξ (∑ C iψ i ) − s] dΓ = 0 j
在x = 0处： Γ）x =0＝0 φ （ φ 在x = d处： Γ）x = d ＝10 （
3. 加权余量法－－例
3. 加权余数表达式： 加权余数表达式：
F j ( R ) = ∫ ψ j RΩ dΩ + ∫ ψ j RΓ dΓ，j = 1,2
Ω Γ
j = 1时, 得到一个代数方程： F1( R ) = ∫ ψ 1 RΩ dΩ + ∫ ψ 1 RΓ dΓ
Γ2
Γ2
= h(Γ 2)
两个偏微分方程形式相同，故以电位方程的求解过程为例。 两个偏微分方程形式相同，故以电位方程的求解过程为例。磁位矢 量的方程可以分解到个分量上变为标量方程。 量的方程可以分解到个分量上变为标量方程。
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
加权余量法 在求解场域内， 在求解场域内，偏微分方程的真解为 φ ，近似解为 φ 它由一组简单函数
w j＝w ＝ψ j
* j
即：迦辽金法选取尝试函数本身为加权函数
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
由此构建加权量法的目标函数： 由此构建加权量法的目标函数：
F j ( R ) = ∫ ψ j RΩ dΩ + ∫ ψ j RΓ dΓ，
Ω Γ
关于函数是函数， 称为：泛函数，或 泛函
令 F j ( R ) = 0 则余数最小， φ 趋于φ ⇒
l(φ ) = q ∈ Ω ξ (φ ) = s ∈ Γ
其中：φ = ∑ C iψ i
i =1 n
R = l(φ ) − l(φ ) = l(φ ) − q 则其余数为： Ω
令加权余数为0，构建代数方程：
RΓ = ξ (φ ) − ξ (φ ) = ξ (φ ) − s
F j ( R ) = ∫ w j [l(φ ) − q ] dΩ + ∫ w * [ξ (φ ) − s ] dΓ = 0 j
1. 基本思想：
以偏微分方程的近似解来代替其真解， 以偏微分方程的近似解来代替其真解，只要近似解与真解足够 接近，就可以近似解作为问题的解，并满足足够的精度。 接近，就可以近似解作为问题的解，并满足足够的精度。
尝试函数，基 函数，形函数
2. 基本方法：
1. 2. 3.
假设一个近似解，该解一组（形式上） 假设一个近似解，该解一组（形式上）简单函数 ψ i 的线性组合来 表示， 表示，线性组合的系数就是一组待定系数 Ci 然后建立一种考虑了微分方程和边界条件的关于真解 φ 和近似解φ 间误差的目标函数 F 用适当的算法使得该目标函数最小化――最小化的过程就确定了 用适当的算法使得该目标函数最小化 最小化的过程就确定了 待定系数，从而也就得到了问题的近似解。 待定系数，从而也就得到了问题的近似解。
解得：C1＝10 / d； 2＝0 C
10 近似解：φ Γ） ∑ Ci x ＝C1 x + C2 x ＝ x （ ＝ d i =1
i 1 2 2
加权余量法求解流程： 加权余量法求解流程： 1.选取尝试函数、构造近似解 选取尝试函数、 选取尝试函数 2.结合问题，写出余数表达式 结合问题， 结合问题 3. 写出加权余数表达式 4. 令各加权余数表达式为 ，得到代数方程组，解之得到待定 令各加权余数表达式为0，得到代数方程组， 系数， 系数，从而确定近似解
设加权函数为：w j ∈ Ω; w ∈ Γ
* j
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
加权余数的定义： 加权余数的定义：
目标函数：
∫
Ω
w j RΩ dΩ + ∫ w* RΓ dΓ， j = 1,2,.... j
Γ
加权函数的选取方法很多：如点重合、子域重合、最小二乘法、迦辽金法。 加权函数的选取方法很多：如点重合、子域重合、最小二乘法、迦辽金法。 效果较好的、运用较多的是迦辽金法： 效果较好的、运用较多的是迦辽金法：
n
∑{[ ∫
i =1
n
Ω
w j l(ψ i )dΩ] + [ ∫ w *ξ (ψ i )dΓ]}C i = ∫ w j q dΩ + ∫ w * s dΓ j j
Γ Ω Γ
有j个代数方程， 通常等于待定系 数个数
4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
∑{[ ∫
i =1
n
Ω
w j l(ψ i )dΩ] + [ ∫ w*ξ (ψ i )dΓ]}Ci = ∫ w j q dΩ + ∫ w* s dΓ j j
3. 加权余量法－－例
2.结合问题，写出余数表达式： 结合问题，写出余数表达式： 结合问题
φ Γ） ∑ Ci x i＝C1 x1 + C2 x 2 （ ＝
2
Γ： Γ = φ Γ）− φ Γ） R （ （
i =1
在x = 0处： Γ） ＝(C1 x1 + C2 x 2 ) φ x =0 （ x =0 在x = d处： Γ） ＝(C1 x1 + C2 x 2 ) φ x=d （ x =d
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
当余数小于要求的精度时，就可以认为近似解就是偏微分方程的解。 当余数小于要求的精度时，就可以认为近似解就是偏微分方程的解。 要减少余数，我们可以通过寻求适当的待定系数来实现。 要减少余数，我们可以通过寻求适当的待定系数来实现。 为有效表达减小余数的效果，还选取适当的加权函数， 为有效表达减小余数的效果， 还选取适当的加权函数，以使余数和该加 权函数的积分为0。－－“加权余量法”的来由。 权函数的积分为 。－－“加权余量法”的来由。
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
电磁场问题总可以用位函数的偏微分方程和相应的边界条件表述
r r 2r ∂ A ∇ A − µε 2 = − µJ ∂t ρ ∂ 2φ ∇ 2φ − µε =− 2 ∂t ε
2
φ
∂φ ∂t
Γ1
= g (Γ1) (Γ
+ σ (Γ 2)φ
2.数值求解方法
2/4
目标函数最小化的目的：一方面，使得近似解最大程度接近真解； 目标函数最小化的目的 ： 一方面 ， 使得近似解最大程度接近真解 ； 另 一方面，求得构成近似解的待定系数。 一方面，求得构成近似解的待定系数。
数学上，构成目标函数的方法很多， 数学上，构成目标函数的方法很多，不同的构成方法就形成了不同的 数值解法，电磁场中就常见的是：加权余量法和变分法。 数值解法，电磁场中就常见的是：加权余量法和变分法。
上述过程中，已经将偏微分方程转化为 个代数方程组 便于计算机求解。 个代数方程组， 上述过程中，已经将偏微分方程转化为j个代数方程组，便于计算机求解。
3. 加权余量法－－例
两极电容板内部电场分布问题： 例1.两极电容板内部电场分布问题： 两极电容板内部电场分布问题 根据问题特点将3维问题简化为 维 根据问题特点将 维问题简化为2维， 维问题简化为 进一步简化为1维 进一步简化为 维。 该问题是静态电场问题， 该问题是静态电场问题， 偏微分方程和边界条件： 偏微分方程和边界条件：
Γ Ω Γ
系数 代数方程写成矩阵形式：
系数矩 阵n×n
激励
边界条件
[ K ][C ] = [ F ][b]
待定系数矩阵、源矩阵、 边界矩阵n×1
K ji = w j l(ψ i )dΩ + w*ξ (ψ i )dΓ ∫Ω ∫Γ j 虽然元素值还需要积分、 矩阵元素值： 微分的求得，还难以借助 计算机求解，但至少化为 F j = ∫Ω w j q dΩ 了代数方程组。 b j = ∫ w* s dΓ 通过选择合适的加权函数 j Γ 和尝试函数可以大大简化
x =0 x =d
− 0) dΓ − 10) dΓ
+∫
2 = C2 d 3 + 0 + (C1d 3 + C2 d 4 − 10d 2 ) 3 2 = d 3C1 + d 3 ( + d )C2 − 10d 2 = 0 3
3. 加权余量法－－例
4. 求解上述两个代数方程组，得到待定系数，从而确定近似解 求解上述两个代数方程组，得到待定系数，
3. 加权余量法－－例
3. 加权余数表达式： 加权余数表达式：
j = 2时, 又得到一个代数方程： F2 ( R ) = ∫ ψ 2 RΩ dΩ + ∫ ψ 2 RΓ dΓ
Ω Γ
= ∫ x 2 (2C2 )dΩ + ∫
0
d
Γ| x = 0 Γ| x = d
x 2 ((C1 x1 + C2 x 2 ) x 2 ((C1 x1 + C2 x 2 )
1.偏微分方程求解－－有限元法的原理（加权余量法和变分法）
1.
解析法
应用范围有限，适用于理论求解，但有强烈的物理含义（常系数微分方程） 某些复杂问题，很考虑根本找不到解析解
2. 数值法
工程实际中应用广泛，复杂场域问题，但物理含义不很清楚。任何问题总可 以找到数值解（数学方法）
2.数值求解方法
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