图论及其应用

值是个公开的难题。
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图论及其应用第一章
Ramsey数R(p,q)
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图论及其应用第一章
Ramsey数的计算
• Ramsey数的计算是对人类智 力的挑战！例如R(4,5)=25 (1993年计算机11年的计算 量)
• Erdös用如下比喻说明其困难 程度：一伙外星人入侵地球， 要求一年内求得R(5,5)，否 则将灭绝人类！那么也许人类 能集中所有计算机和专家来求 出它以自保；但如果外星人问 的是R(6,6) ，那么人类将别 无选择，只能拼死一战了。
图论起源于18世纪的一个游戏----俄罗斯的哥尼斯堡七桥问 题。
（1736年 瑞士数学家欧拉——图论之父）
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图论及其应用第一章
七桥问题
C
A
D
B
包含两个要素：对象（陆 地）及对象间的二元关系 （是否有桥连接）
转化
Euler 1736年
C
A
D
B 图论中讨论的图
问题：是否能从A，B，C，D 转化 中的任一个开始走，通过每 座桥恰好一次再回到起点？
2. 任意的9个人中，总有3个人互相认识或有4个人互不认 识。
3. 问题：
4.
对任意的自然数k和t，是否存在一个最小的正整
数r(k,t)，使得每个至少有r(k,t)个人的团体，总有k个
人互相认识或有t个人互不认识。
5.
拉姆瑟（F.P. Ramsey）在1930年证明了这个数
r(k,t)是存在的，人们称之为 Ramse第一章
最精美的组合定理
Rota：如果要求在组 合学中仅举出一个 精美的定理，那么 大多数组合学家会 提名Ramsey定理。
• 1984年Wolf奖得主Erdös • 1997年Fulkerson奖得主Kim • 1998年Fields奖得主Gowers • 1999年Wolf奖得主Lovasz • 2003年Steele奖得主Graham • 2005年Gödel奖得主Alon • 2006年Fields奖得主Tao
是否能从任意一个顶点开 始，通过每条边恰好一次 再回到起点？
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图论及其应用第一章
中国邮递员问题
1962年中国数学家管梅谷提出图论中的“中国邮递员问 题”。 问题：一个邮递员从街区的某一点出发，经过街区每条街 道至少一次又回到原出发点，如何设计投递路线，使总路 程最短？
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图论及其应用第一章 Hamilton问题
图论及其应用
图论及其应用第一章
图论发展史
图论在现代科学技术中有着重要的理论价值和广泛的应用背 景，如：线性代数、密码学、物理化学、网络设计、计算 机科学、信息科学、DNA的基因谱的确定和计数、工业生 产和企业管理中的优化方法等都广泛的应用了图论及其算 法。
首先我们通过图的发展过程来了解一下图论所研究的内容。
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图论及其应用第一章
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是 按照肯普的想法在进行。后来美国数学家富兰克林于1939年 证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从 22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可 以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。
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图论及其应用第一章
四色问题
四色问题是世界近代三大数 学难题之一。
四色问题的内容是：任何一张 地图只用四种颜色就能使具有共 同边界的国家着上不同的颜色。
它的提出来自英国。1852年， 毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思 里发现了一种有趣的现象：“看 来，每幅地图都可以用四种颜色 着色，使得有共同边界的国家都 被着上不同的颜色。”这个现象 能不能从数学上加以严格证明呢？
Hamilton问题源于1856年，英国数学家Hamilton设计 了一个名为周游世界的游戏：他用一个正十二面体的二十 个端点表示世界上的二十座大城市（见图），提出的问题 是要求游戏者找一条沿着十二面体的棱通过每个端点恰好 一次的行走路线。反映到图论上就是判断一个给定的图是 否存在一条含所有顶点的回路。
均对Ramsey理论有杰出贡献
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以为是造物主的杰作。但根据Ramsey 定理，只要随机 分布的星星数目足够多，就可以描绘出各种图形的轮廓。 • 1994年Statistical Science的一篇论文利用统计方法证 明：圣经隐藏了许多讯息，而这些讯息是有意安排的，绝 非文字排列偶然造成的。 1997 年Michael Drosnin的《 The Bible Code 》通过计算机扫读圣经中的304805个 字母，发现圣经密码当中传达的讯息除了拉宾被刺杀外， 还包括美国肯尼迪和林肯两位总统，以及印度总理甘地遇 刺的事件，日本神户、美国旧金山的大地震、世界末日与 广岛原子弹轰炸等，种种过去与未来发生的大事件。
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图论及其应用第一章
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学 会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两 人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大 家都认为四色猜想从此也就解决了。
1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的 精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。不久，泰勒的证明也被 人们否定了。后来，人们开始认识到，这个貌似容易的题目， 其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。
1976年6月，美国伊利诺大学哈肯与阿佩尔在两台不同 的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于 完成了四色定理的证明，轰动了世界。
然而，真正数学上的严格证明仍然没有得到！数学家仍 为此努力，并由此产生了多个不同的图论分支。
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图论及其应用第一章 Ramsey 问题
几个事实：
1. 任意的6个人中，总有3个人互相认识或有3个人互不认 识。
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图论及其应用第一章
Ramsey理论的哲理意义
Ramsey理论的哲理意义 • 完全的无序是不可能的(Complete disorder is impossible)。任一足够大的结构中必定包含一个给定大 小的规则子结构。无序无意的行为产生了有规律的后果， 发人深思耐人寻味。 • 古人在满天的星斗中发现野兽和众神群集于天空的图形，