工程制图点线面相对位置

第九讲 线面相对位置
一、直线与平面以及两平面平行问题 二、直线与平面以及两平面相交问题 三、直线与平面以及两平面垂直问题 四、综合作图题
1、利用积聚性求交
B
N
两相交元素中若有一个元
A
K
ab
M k
m
n C cH
素具有积聚性，则可利用其 积聚性来求交点或交线。
基本作图
① 一般线与投影面垂直面相交
M
B
② 投影面垂直线与一般面相交
【例题1】求点K到直线AB的距离。
a′ m′
l′
△ZKL
k′
n′
b′
k
△ZKL
KL真长
b
m
l
a
n
作图步骤
1、过点K作直线AB 的垂面KM*KN；
2、求所作垂面与直 线AB的交点L；
3、连接 KL ，用直 角三角形法求KL的 实长。
【例题2】已知直角三角形ABC的水平投影，及直角边AB的 V投影，试完成其正面投影。
k c
解题步骤：
1、 过EF作正垂面Q。 2、求Q平面与ΔABC的交线MN。 3、求交线MN与EF的交点K。
e´ a´ 4、可见性判别
a
Q
B
C M KF
N
E
e
A
可见性判别方法
f ´ c´ 1´ (2´)
b´ k´
V
判别可见性的原理
是利用重影点。
F
Ⅱ
e´ a ´
ⅠC Ⅲ
B
K
A
f
Ⅳa
b
k
E
c 3(4) e
a′
e′
1′
1
a
b′
2′ f′
c′
c
e
2 f
b
【基本作图三】过空间一点作已知直线的垂面
e′
a′
c′
b′ f′
c
f
a
b
e
2、平面与平面垂直
几何条件：
一个平面上有一条直线垂直于另一平面或一平面通 过另一平面的法线。
Q M
P
N
L2 L1
基本作图：
④ 判别两平面是否垂直 ⑤ 过空间一直线作已知平
面的垂面
轨迹分析法：根据题目要满足的若干几何条件逐个地运用空 间几何元素轨迹的概念，分析所求的几何元素在该条件下的空间 几何轨迹，然后综合这些空间几何轨迹取公共元素，进而得出解 题方案。
3、确定作图步骤，运用基本作图完成投影图
解题方案选定后，就要决定作图步骤，先做什么，后做什么。 并熟练运用各种基本作图方法，完成投影图。
d′
2′
d
1
n
e
2
c′ a m b
f
【例题4】过点M作直线，使其与△ABC平行，且与直线EF 相交。
a′
m′
f′
2′
e′ n′ 1′
c′
2
m
a
作图步骤
b′
1、过点M作 平面MⅠⅡ平
行于已知平面
ABC；
2、求平面M
b ⅠⅡ与已知直
线EF的交点N；
3、连接MN
1 n
e
f
c
【例题5】过点K作直线KL与直线MN垂直，并与△ABC平行。
B
△ZC 1
g′
c′
g c
1 b
60 °
A = A0 c C
B0
△ZC 1
【例题7】已知等边△ABC与H面的倾角α=30°，高BD长
30mm，试完成该等边△ABC的两面投影。
【基本作图四】判别两平面是否垂直
a′
e′ △ABC⊥△EFG
1′
1
a
g′ 2′ b′
c′ c
g 2
b
d′ f′
e
d f
【基本作图五】过空间一直线作已知平面的垂面
a′
e′
b′
f′
1′
2′ g′
c′
c
e
1
a
2
f
g
b
四、综合作图题示例
1、审题
明确题意、已知条件和作图要求。
2、空间分析
逆推分析法：假设满足题目要求的几何元素已经给出，将它 和题目所给的几何元素一起，按题目要求的几何条件逐一分析， 综合研究它们之间的相对位置和从属关系，进而探求由给定的几 何元素确定所求的几何元素的途径，进而得出解题方法。
F
aC
b
e(f )(k)
c
H
b
k′ 1′
f′
c′
a
1
e(f) (k)
c
【基本作图三】一般面与投影面垂直面相交
e′ a′
m0′ m′
c′
d′
c
d m0 m
a
n′
f′ b′ b
ne
f
【基本作图四】两个同一投影面垂直面相交
PV
M QV
Q
P
PH
QH
N
PV
m′
QV
n′
m(n) PH QH
2、无积聚性时求交
基本作图：
E
① 判别直线是否与平
PV L2 FA
D L1
面垂直
② 过空间一点作已知 平面的垂线
C PH
B ③ 过空间一点作已知 直线的垂面
【基本作图一】判别直线是否与平面垂直
a′
1′
1
a
e′
EF⊥△ABC
b′ 2′ f′
c′
GH⊥P平面
K′ g′
h′
c
e
PH
h
2 f
g
K
b
【基本作图二】过空间一点作已知平面的垂线
H
利用重影点判别可见性
f ´ 1´( 2´) c´
b´
k ´
f 2
4´
3´ e´ a´ a
b
k
4(3)
1
c
e
【基本作图六】两一般位置平面相交
b´ n´ PV
求交线步骤：
c´
k´
1´
2´
1、用直线与平面求
h´ QV 交点的方法求两平面
e´
的共有点；
m ´
b 2 a´
m
k
ea
h
c
1
2、判别可见性。
B M
2′
c′
1′
a′
2
a
c
b′
作图步骤
1、过点Ａ作直线AB 的垂直面AⅠⅡ；
2、在垂直面AⅠⅡ上， 运用平面定线方法确定 AC边；
3、连线完成直角三 角形ABC的投影。 b
1
【例题3】作一直线与两交叉直线AB和CD相交，同时与直 线EF平行。
F
C
1
E
N
A M B
D
f′ a′
m′
e′ 1′ n′
b′
c′
E A
K
H
n
N
C
判别两平面的可见性
1´
b´ n´
判别可见性的原理
c´
是利用重影点。
h´
3´( 4´)
m
2´
a´
´
b
m 1（2）
4
a
3
h
c
n
三、直线与平面以及两平面垂直
1、直线与平面垂直
2、平面与平面垂直
E
PV L2 FA
D L1
C
B
PH
1、直线与平面垂直
几何条件:直线必须垂直于该平面上的任意两相 交直线；
由于相交的两元素均无积聚 性，故不能直接利用积聚性进 行求解。解决这类问题，通常 可借助设置特殊辅助平面进行 求解。
基本作图
（5）一般线与一般面相交； （6）两一般位置平面相交。
Q
C
A M KF
N
E B
B M
KA
F
L
N
C
【基本作图五】一般线与一般面相交
QV f´ m
´ b´
f
b m
c´
k ´
n´
n
P
KA
F
L
③ 一般面与投影面垂直面相交
m C
N
a
k
l
c fn
PH
④ 两个同一投影面垂直面相交
H
【基本作图一】一般线与投影面垂直面相交
b
V
´ n´
N
B
a
k
´
´
m´
A
K
ab
n
x
c´
n
M
C
k
c
a
k
m
H
b
m
c
【基本作图二】投影面垂直线与一般面相交 a′ e′
V
e´
a´
b´
k´ E A
b′
f´ E K B
c′
a′
a c
b′
g′
l′
k′
m′
k g
b l
m
作图步骤
1、过MFra Baidu bibliotek 作平面
n′
MNG垂直于平面 ABC；
2、过点K作直线 KL垂直于平面 MNG。
n
【例题6】已知直线AB与△EFG平面的夹角为60°，AB在 △EFG上的正投影为AC，求作AB的两投影。
e′
a′
△ZAC
f′
△ZAC
A0 e a
f
b′ 1′