反卷积课程习题

的结果计算
yn
的
功率谱的估计, 与前面的结果相比较.
5. Cadzow 的超定方程法归结为解方程 R e a e = 0 ( 第四章公式(4.5.48)). rank R e = p, p 是 AR 部分
| 2) - | E ( x 2)| 2 .
17. (复型随机变量通过线性系统的高阶统计分析) 设线性系统的输入输出关系为
3
∞
∑ y( n ) =
h( n - k ) x( k )
k =−∞
其中 x( k ) 是零均值复型随机序列. 记 Cum( 1x,4x,2L4,3x,1x*,4x*2,L4,3x* ) = Cum (| x |2p).
(a)
(b)
(c)
(d)
(A)
(B)
(C)
(D)
2
7. 设 F1(ω ) 和 F2 (ω ) 分别是 f1(t)和 f1(t)的富氏变换.
∞
g(t) = ∫ f 1 (τ ) f 2 (t − ατ ) dτ ,
−∞
试求 g(t) 的富氏变换 G(ω ) 用 F1(ω ) 和 F2 (ω ) 的表达式. 需给出证明过程.
称正定的 A 各试验一个实例, 得出你的结论.
⎡1 3 2 4⎤
⎡19 ⎤
5.
计算实践：已知
⎢ ⎢
0
⎢5
2 1
3 0
1
⎥ ⎥
2⎥
⎡2⎤
⎢ ⎢
1
⎥ ⎥
⎢ ⎢
8
⎥ ⎥
= ⎢17 ⎥
。由于数据观测有误差，建立了以下方程：
⎢ ⎢
3
⎢1
1 2
2 2
1
⎥ ⎥
3⎥
⎢1⎥
⎢ ⎣
3
⎥ ⎦
⎢⎢12
⎥ ⎥
⎢15 ⎥
⎢ ⎣
dt
−∞
−∞
2. 编写一个 MATLAB M-文件实现 Wiener 滤波. 并模拟计算一个例子.
文件名: wiener1.m 调用方式: x = wiener1(y, h)
信噪功率谱之比用常数代替, 该常数可以在运行时输入.
3. 编写一个 MATLAB M-文件计算一个长度为 N 的序列的自相关估计. 其步骤参照 4.5.5 节. 文
的算法细节步骤.
3. 设 a 和 b 是两个向量, 它们的长度不大于 N . 现用添零方法将 a 和 b 的长度扩充到 N，用它
们做卷积核构造 N×N 循环矩阵, 分 别记为 A 和 B. 证明 Ab = Ba. 这个事实即是循环卷积的互易
性质.
4. 编制一个用共轭梯度法求解线性方程 A x = b 的 MATLAB 程序. 用四阶对称正定的 A 和非对
p
p
∞
∑ 证明 Cum (| y |2p) = Cum (| x |2p)
| h( k )|2p.
k =−∞
第三章
1. 用最小二乘方法解算子方程 Ku = g 可以归结于解方程 K *Ku = K * g. Landweber 迭代 公式为
u (n+1) = K * g + ( I - K *K ) u (n).
13. 设 f, h1, 和 h2 是 Hilbert 空间中的三个已知元. h = λ h1 + (1- λ) h2 , 0 ≤ λ ≤ 1. 求 λ 使得 || f - h ||2 为
最小.
14. 试给出 (2.8.15) 式的证明.
15. 一个移不变线性系统的转移函数表示为
H(z) =
b0 a0
(1) 证明: 从任何一个非零的起始条件出发, 系统输出都产生一个发散序列.用 MATLAB 和数
值实例检验你的结果.
(2) 写出系统的频率响应函数.
(3) 构造一个新系统, 它与给定系统具有相同的幅度-频率特性, 但新系统是稳定的.
10. 给定 x = {2 5 3 6 0 2 4}, y = {3 1 0 5 2}. 计算 u = x ∗ y 以及 v = x @ y . 写出 x, y, u, v 的 z-变换 X(z),
(1) 从 u (0)= 0 开始, 证明当 n → ∞ 时解可以写成
( ) ( ) ∑ u (n+1)=
∞
µ
j =1
j
⎡⎣⎢1
−
1−λ j
n +1 ⎤ ⎦⎥
g,u j
vj,
其中 (u j , v j , µ j ) 是 K 的奇异系统. (2) 提出一种方法对(1)进行修改, 使得修改后的迭代能够保证收敛.
8. 记序列 x(n) 的 z- 变换为 X(z), 表示为 x(n) ⇔ X(z). 证明
(1) x(- n) ⇔ X(1/z).
(2) x( n)∗ x *(- n) ⇔ X(z) X *(1/z*).
9. 一个移不变线性系统可以用下列差分方程描述: x(n) + 2 x(n -1) - 0.5 x(n -2) = e(n).
⎣ 2 0.1 1.1 2 ⎦
⎢⎥ ⎣11 .1⎦
4
(1). 用常规最小二乘方法解该方程，计算解的误差。
(2). 用总体最小二乘方法重新求解该方程，计算解的误差。比较和分析你的结果。 6. 方程 A x = b 的总体最小二乘解可以表述为找解 x 使得满足方程
(A + E ) x = b + r,
+ b1z −1 +L+bq z −q + a1z −1 +L+a p z − p
.
如果系统从时刻 n = 0 起输入 N 个随机数后停止输入. 输出序列记为 y(n). 用 C y(k, r) 表示 用
y(n) 的元构造的 r 阶 Hankel 矩阵, 该矩阵的第一个元是 y(k), k ≥ 0. 试利用 Gantmacher 定理决定
。
现有关于X的N个观测{X1, X 2,L, X N }。试写出用矩量法和最大似然法估计参数σ和µ的计
算步骤和公式。
12. 设 h ∈H 是 Hilbert 空间的一个元, R > 0. 集合 B R (h) := {f ∈H : || f - h || ≤ R } 是 H 中以 h
为心 R 为半径的闭凸集. 给定 H 中的元 f(t). 在 B R (h) 中找与 f(t) 距离最近的元.
(1)
并使得
|| [ E r ] || F = min ,
(2)
其中 || · || F 是 Frobenius 范数.
1) 如果 x 和 r 固定, 证明满足 (2) 和 (2) 的 E 是
(b − Ax + r) xT
E = E ( x, r ) =
xT x
.
(3)
2) 如果只是 x 固定, 证明满足 (1) 和 (2) 的 E 和 r 是
2 2
3⎥⎥ . (1) 手工计算a和b的卷积。(2)用MATLAB检验你的计算 1⎥⎦
结果。
（3）将a和b的卷积表达为向量-矩阵形式，并计算出结果，与前面的结果进行比较。
3. 设 a = {1 3 2 0 1 2 4 5}, b = {3 1 2}. (1) 用卷积方法计算部分卷积 c = aYb ; (2) 用向量-矩阵方法
2
0
1
2
⎥ ⎦
⎢⎣11
⎥ ⎦
⎡0.9 3 2 4 ⎤
⎡19 .1⎤
⎢ ⎢
0
.1
2
3
⎢ 5 1.1 0.1
1 2
⎥ ⎥ ⎥
⎡ x1
⎢ ⎢
x
2
⎤ ⎥ ⎥
⎢ ⎢
7.9
⎥ ⎥
= ⎢16 .9 ⎥
，
⎢ ⎢
3
⎢1
1 2
2 2
1
⎥ ⎥
3 .1⎥
⎢ ⎢ ⎣
x x
3 4
⎥ ⎥ ⎦
⎢⎢12
.1
⎥ ⎥
⎢14 .9 ⎥
⎢
⎥
Y(z), U(z), V(z). 检查 U(z) = X(z)Y(z) 和 V(z) = X(z)Y(z) 是否成立. 由此了解 z-变换的卷积定理对部分
卷积并不成立.
11. 假定随机变量X是Gauss分布的，其分布函数表达为 p(x) =
1 2π σ
exp⎜⎜⎝⎛ −
(x − µ )2
2σ 2
⎟⎟⎠⎞
(b − Ax) xT
(b − Ax)
E= xT x +1 , r= − xT x +1 .
(4)
3) 利用 (4) 证明 TLS 问题等价于下列最小化问题
Ax − b 2
min x
xT
x
2
+1
.
第四章
∫ ∫ 1. 设 y(t) = x(t)∗h(t), | dx | < M 以及
∞
∞
h(t)dt = 1. 证明 | y(t) - x(t) | ≤ M |th(t)|dt .
Yule-Walker
方程,
计算模型参数
{a 1,
a2
,Biblioteka Baidu
a3
,
a4,
σ
2 ε
}的
估计值,
然后与实际值作比较.
5
(5) 利用估计的和实际的模型参数, 计算 yn 的功率谱:
1
A(ω) 2
. 比较你的结果.
(6)
用同样的数据块,
实施
Burg
算法估计{
a 1,
a2
,
a3
,
a4,
σ
2 ε
}.
利用
Burg
算法
yn + a 1 y n -1 + a 2 y n -2 + a 3 y n -3 + a 4 y n -4 = ε n ,
其中 ε n 是均值为零, 方差为 1 的 Gauss 白噪声. 选择 { a 1, a 2 , a 3 , a 4} 使预测误差滤波器 A(z) =1
+ a 1 z -1 + a 2 z -2 + a 3 z -3 + a 4 z -4 的零点处于 0.99 exp( ±0.2π j) 和 0.99 exp( ±0.4π j).
件名: acorr1.m 调用方式: r = acorr1(x)
模拟一个随机序列, N = 128. 用你的 r = acorr1 (x) 计算估计的自相关, 并用 MATLAB 原有程
序计算 R = xcorr(x). 比较 r 和 R, 解释你的结果.
4. 计算实践. 一个 4 阶 AR 过程定义为
重新计算该部分卷积。(3)用Hankel矩阵表达部分卷积，并计算出结果，与前面结果进行比
较。
4. 设 x(n) = { x 1 x 2 L x N - 2 0 0 } . 记 X(k) = DFT [x(n)]. 试用 X(k) 表达以下序列的离散富氏变 换: (1) y(n) = { 0 0 x 1 x 2 L x N - 2 }; (2) z(n) = { 0 0 x N - 2 L x 2 x 1 }. 用 MATLAB 和数值实例 检验你的结果. 5. (滑窗 FFT) 设 x(n) = { x 1 x 2 L x N L }. 记 x N (n) = { x 1 x 2 L x N } 以及 X N = DFT [x N ]. 试用 X N 表达 DFT [x N + 1 (n)], 这里 x N + 1 (n) = { x 2 x 3 L x N + 1}. 用 MATLAB 和数值实例检验你的结 果. 6. 下图中 (A)(B)(C)(D) 是 (a) (b) (c) (d) 的富氏变换幅度, 但各图的次序是任意排列的. 试依据图 像空间域和频率域相对应的物理概念, 指出各个图像对应的富氏变换幅度图的编号.
1
“现代信号处理：反卷积和信号复原”课程习题
第二章
1. 设 a = {1 3 2 5 3} 以及 b ={2 3 0 4}。(1) 用两种方法计算a和b的卷积。(2)将a和b的卷积表达为
向量-矩阵形式，并计算出结果，与前面的结果进行比较。
⎡0 0 2⎤
2.
设
a
=
⎡2 ⎢⎣3
1⎤ 0⎥⎦ ,
b = ⎢⎢0 ⎢⎣1
(1) 确定出{ a 1, a 2 , a 3 , a 4}.
(2) 编写一个 MATLAB 程序, 产生出随机序列 ε n 以及 yn . 达到 1000 个样本后, 截取 50 个样本
的 yn 数据块.
(3) 基于获得的数据块, 计算 yn 的样本自相关估计.
(4)
利用
Levinson
递推算法解
Rank C y(k, r). 用 MATLAB 和数值实例检验你的结果. 16. (复型随机变量的累积) 假定 x 1 和 x 2 实且相互独立, x = x 1 + j x 2 , 则有 Cum( x) = Cum( x 1 ) + j Cum( x 2 ). 记 Cum( x , x, x*, x*) = Cum(| x | 4). 设x 1 和 x 2有零均值，证明 Cum(| x | 4) = E (| x | 4) - 2E 2 (| x
2. (1) 设 B 和 C 是两个块循环矩阵, x 和 y 是图象的堆积的向量. 关于 x 的求解方程可以写 成
(B T B + α C T C ) x = B T y .
试将该求解方程写成频域求解的闭合公式.
(2) 假定 B 和 C 是两个非周期卷积矩阵, 它们的生成数组 h(m, n) 和 c(m, n) 的尺寸分别 是. M1 × M 2 和 K1 × K 2 . 图象 x(m, n) 和 y(m, n) 的尺寸是 N1 × N 2 和 L1 × L 2 , 其中 L1 = M1 + N1 1, L 2 = M 2 + N 2 - 1. 试利用非周期矩阵模型和 FFT 技术, 写出用 Van Cittert 迭代解 (1) 中方程