高中数学 平面向量的线性运算 教学设计

高中数学平面向量的线性运算教学设计

教材分析

本节首先从数及数的运算谈起,有了数只能进行计数,只能引入了运算,数的威力才得以充分展现。类比数的运算,向量也能够进行运算,运算引入后,向量的工具作用才能得到充分发挥。教学中应引导学生体会考察一个量的运算问题,最主要的就是认清运算的定义及其运算律,这样才能正确、方便地实施运算。

平面向量的线性运算包括:向量加法、向量减法、向量数乘运算,以及它们之间的混合运算。其中加法运算就是最基本、最重要的运算,减法、数乘运算都以加法运算为基础,都可以归结为加法运算。

向量的加法运算就是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合成等两个物理模型为背景引入的,使加法运算的学习建立在学生已有认知基础上。由于向量有方向,在进行运算时,不但要考虑大小,而且要考虑方向,应注意体会向量运算与数的运算的联系与区别,更好地把握向量加法的特点。

类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),向量减法的实质就是:减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量;向量数乘运算则就是相同向量的连加。

因此,与数的运算的类比,就是学习向量的线性运算的重要方法。

向量的线性运算具有深刻的物理背景与几何意义,使得向量在解决物理与几何问题时可以发挥很好的作用。

2、2、1 向量加法运算及其几何意义

一、教学分析

向量的加法就是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算,就是向量的第二节内容、其主要内容就是运用向量的定义与向量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则,并对向量加法的交换律、结合律进行证明,同时运用她们进行相关计算,这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解,同时也为接下来学习向量的减法奠定基础,起到承上启下的重要作用、学生已经通过上节的学习,掌握了向量的概念、几何表示,理解了什么就是相等向量与共线向量、在学习物理的过程中,已经知道位移、速度与力这些物理量都就是向量,可以合成,而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则,这为本课题的引入提供了较好的条件、

培养数学的应用意识就是当今数学教育的主题,本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识、在向量加法的概念中,由于涉及到两个向量有不平行与平行这两种情况,因此有利于渗透分类讨论的数学思想,而在猜测向量加法的运算律时,通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比、则能培养学生类比、迁移等能力、在实际教学中,类比数的运算,向量也能够进行运算、运算引入后,向量的工具作用才能得到充分发挥、实际上,引入一个新的量后,考察它的运算及运算律,就是数学研究中的基本问题、教师应引导学生体会考察一个量的运算问题,最主要的就是认清运算的定义及其运算律,这样才能正确、方便地实施运算、

向量的加法运算就是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的、这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上,同时还可以提醒学生注意,由于向量有方向,因此在进行向量运算时,不但要考虑大小问题,而且要考虑方向问题,从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与

区别、这样做,有利于学生更好地把握向量加法的特

点、

二、教学目标:

1、知识与技能:

掌握向量的加法运算,并理解其几何意义;会用向量加法的三角形法则与平行四边形法则作两个向量的与向量,培养数形结合解决问题的能力。

2、过程与方法:

通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律与结合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法。

3、情感态度与价值观:

通过阐述向量的加法运算与实数运算之间的相似性质,使学生理解事物之间相互联系的辩证思想。

三、重点难点

教学重点:向量加法的运算及其几何意义、

教学难点:对向量加法法则定义的理解、

四、学法指导

数能进行运算,向量就是否也能进行运算呢？数的加法启发我们,从运算的角度瞧,位移的合成、力的合成可瞧作向量的加法、借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法,让学生顺理成章接受向量的加法定义。结合图形掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则,联系数的运算律理解与掌握向量加法运算的交换律与结合律。

五、教学设想

(一)导入新课

思路1、(复习导入)上一节,我们一起学习了向量的有关概念,明确了向量的表示方法,了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念,并接触了这些概念的辨析判断、另外,向量与我们熟悉的数一样也可以进行加减运算,这一节,我们先学习向量的加法、

思路2、(问题导入)2004年大陆与台湾没有直航,因此春节探亲,要先从台北到香港,再从香港到上海,这两次位移之与就是什么?怎样列出数学式子？一位同学按以下的命令进行活动:向北走20米,再向西走15米,再向东走5米,最后向南走10米,怎样计算她所在的位置?由此导入新课、

(二)推进新课、新知探究、提出问题

①数能进行运算,向量就是否也能进行运算呢？类比数的加法,猜想向量的加法,应怎样定义向量的加法？

②猜想向量加法的法则就是什么?与数的运算法则有什么不同?

图1

活动:向量就是既有大小、又有方向的量,教师引导学生回顾物理中位移的概念,位移可以合成,如图1、某对象从A点经B点到C点,两次位移、的结

果,与A点直接到C点的位移AC结果相同、力也可以合成,老师引导,让学生共

同探究如下的问题:

图2(1)表示橡皮条在两个力的作用下,沿着GC的方向伸长了EO;图2(2)表

示撤去F

1与F

2

,用一个力F作用在橡皮条上,使橡皮条沿着相同的方向伸长相同

的长度、

图2

改变力F

1与F

2

的大小与方向,重复以上的实验,您能发现F与F

1

、F

2

之间的

关系不?

力F对橡皮条产生的效果与力F

1与F

2

共同作用产生的效果相同,物理学中把

力F叫做F

1与F

2

的合力、

合力F与力F

1、F

2

有怎样的关系呢?由图2(3)发现,力F在以F

1

、F

2

为邻边的

平行四边形的对角线上,并且大小等于平行四边形对角线的长、

数的加法启发我们,从运算的角度瞧,F可以认为就是F

1与F

2

的与,即位移、

力的合成瞧作向量的加法、

讨论结果:①向量加法的定义:如图3,已知非零向量a、b,在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b,则向量AC叫做a与b的与,记作a+b,即a+b=AB+BC=AC、

图3

求两个向量与的运算,叫做向量的加法、

②向量加法的法则:

1°向量加法的三角形法则

在定义中所给出的求向量与的方法就就是向量加法的三角形法则、运用这一法则时要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点,则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为与向量、0 位移的合成可以瞧作向量加法三角形法则的物理模型、

2°向量加法的平行四边形法则