第二章现代投资理论

直线，其截距相同，斜率异号。
当w1
2
证明：
时
1 2
p
( w1 )
w11
(1
w1)
，则可以
2
得到w1 f ( p )，从而
rp (
p
)
p＋ 2 1 2
r1＋(1
p＋ 2 1 2
)r2
r1
1
r2
2
p
r1
1
r2
2
2
r2
同理可证
当w1
2 1
2
时,
p
(w1)
(1
w1 )
2
w1
，则
1
rp
(
p)
r1
❖ 其特点是在同种风险水平的情况下，提供最大预 期收益率；在同种收益水平的情况下，提供最小 风险。我们把满足这两个条件（均方准则）的资 产组合，称之为有效资产组合；
❖ 由所有有效资产组合构成的集合，称之为有效集 或有效边界。
❖ 投资者的最优资产组合将从有效集中产生，而对 所有不在有效集内的其它投资组合则无须考虑。
σp
求导可得：方差最小的 股票投资比重约为 0.3226，进一步可求出 最小方差及相应的收益 率，方差为74.608，收 益率为7.3%
0
0.322
1.0
W2
资产组合的标准差是投资比重的函数
进一步分析： 对于选定的两种资产，我们可以通过改变其投资比 重，从而得到期望收益和方差不同的资产组合。在各 种可能的投资策略中，给定收益率的情况下，方差最 小的投资策略称为收益方差界面（mean-variance frontier)
X1
X2 E(rp)(%) 标准差 方差
1.0
0
6
10
100
0.9
0.1
6.4
93.24
0.8
0.2
6.8
88.96
0.7
0.3
7.2
87.16
0.68
0.32
7.3
74.608
0.5
0.5
8
91
0.4
0.6
8.4
96.64
0.3
0.7
8.8
104.76
0.2
0.8
9.2
115.36
0.1
0.9
9.6
有效集的确定
——两种风险资产的组合
假定有一个伞形基金包含两种基金，其中一个是专门投资于
长期债券的债券基金B，另一个是股票基金S，两种基金的 收
益率与方差如下表所示：
债券
股票
期望收益E( r )
6
10
标准差
10
12
相关系数
0.5
知识链接：伞形基金
• 伞型基金也可以称为“伞子基金”或“伞子结构 基金”，
产组合的可行集的顶部边界和底部边界。
• 其他所有的可能情况，在这两个边界之中。
两种完全负相关资产的可行集
两种资产完全正相关，即ρ12 ＝1，则有
p (w1)＝w11 (1 w1) 2
rp (w1) w1r1＋(1 w1)r2
当w1＝1时， p＝1，rp r1 当w1＝0时， p＝ 2，rp r2
相关系数12。随着12的增大，弯曲程 度增加；当12＝－1时，呈现折线状， 也就是弯曲度最大；当12＝1时，弯曲
度最小，也就是没有弯曲，则为一条
直线；当1 12 1，就介于直线和折 线之间，成为平滑的曲线，而且12越
大越弯曲。
n种风险资产的组合二维表示
• n种资产构成的组合的可行集呈现为伞型。
图 a 代表的投资者与图 b 代表的投资者相比，风险水平增加相同幅度, 图 a 代表的投资者要求收益率的补偿要远远高于图 b 所代表的投资者。 因此，图 a 对应的投资者更加厌恶风险。
最优组合的确定
• 最优资产组合位于无差异曲线I2与有效集相切的切 点Ｏ处。由G点可见，对于更害怕风险的投资者， 他在有效边界上的点具有较低的风险和收益。
r2
r1
1
r2
2
2
r1
1
r2
2
p
故命题成立，证毕。
两种资产组合（完全正相关），当权重w1从1 减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成
了两种资产完全正相关的可行集
收益 Erp
(r1,1)
(r2 , 2 )
风险σp
两种完全负相关资产的可行集
• 两种资产完全负相关，即ρ12 =-1，则有
p (w1)=
第二章 投资组合分析
Harry Markowitz (born August 24, 1927)
现代投资理论的产生以1952年3月Harry.M.Markowitz发表的 《投资组合选择》为标志。 马克维茨的主要贡献是发展在一个不确定条件下选择资产组合 的严格公式化的、操作性强的理论——这个理论进一步演变成 研究金融经济学的基础。 1990年Markowitz由于他1952年的论文《投资组合选择》和 1959年出版的《投资组合选择：有效分散化》一书，被授予诺 贝尔经济学奖。
128.44
0
1.0
10
12
144
在投资可行集上的左边界，称为最小方差曲线
最小方差曲线上有一个特殊的点，这一点具有最 小的方差（标准差），被称为最小方差组合 （Minimum Variance Portfolio, MVP)
❖ 整个可行集中，G点为最左边的点，具有最小标准 差。从G点沿可行集右上方的边界直到整个可行集 的最高点S（具有最大期望收益率），这一边界线 GS即是有效集。
是基金的一种组织形式。在这一组织结构下，基金 发起
人根据一份总的基金招募书，设立多只相互之间可 以根
据规定的程序及费率水平进行转换的基金，这些在 投资
目标与投资对象等方面各不相同的基金称为“子基 金”或
“成份基金”；而由这些子基金共同构成的这一基
假设投资于债券基金、股票基金的比例分别 为W1,W2,且有W1+W2=1，则有：
一、组合的可行集和有效集
• 可行集与有效集
–可行集：资产组合的机会集合（Portfolio opportunity set），即资产可构造出的所有组合 的期望收益和方差。
–有效组合（Efficient portfolio ）：给定风险水 平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平 下具有最小风险的组合。
–有效集（ Efficient set） ：又称为有效边界 （ Efficient frontier）,它是有效组合的集合 （点的连线）。
两种风险资产构成的组合的风险与收益
若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相 关系数，
则由上一章的结论可知两种资产构成的组合之期望 收rp益 和w1r方1＋w2 r2
理性投资者对风险偏好程度的描述——无差异曲 线
同一条无差异曲线, 给投资者所提供的效用（即满足程度） 是无差异的，无差异曲线向右上方倾斜, 高风险被其具有的 高收益所弥补。对于每一个投资者,无差异曲线位置越高，该 曲线上对应证券组合给投资者提供的满意程度越高。
不同理性投资者具有不同风险厌恶程度
由无差异曲线族的陡峭程度来反映。无差异曲线越陡峭，投资者越厌恶风险。
差为
p2＝w12
2 1
w22
2 2
2w1w212
＝w1212
w22
2 2
2w1w21 2 12
由于w1＋w2 1，则
rp (w1) w1r1＋(1 w1)r2
p (w1)＝
w1212
(1
w1 )2
2 2
2w1 (1
w1 ) 1
2 12
由此就构成了资产在给定条件下的可行集！
• 注意到两种资产的相关系数为1≥ρ12≥－1 • 因此，分别在ρ12＝1和ρ12＝－1时，可以得到资
w12
2 1
(1
w1)2 22－2w1(1
w1 )1 2
| w11 (1 w1) 2 |
rp (w1) w1r1＋(1 w1)r2
当w1
2 1 2
时, p
0
当w1
2 1
2
时， p
( w1 )=w1 1
(1
w1 )
2
当w1
2 1
2
时， p
( w1 )=(1
w1) 2
w11
命题2：完全负相关的两种资产构成的可行集是两条
所以，其可行集连接两点
（r1，
1）和（r2，
）的直线。
2
• 命题1：完全正相关的两种资产构成的可行集 是一条直线。
• 证明：由资产组合的计算公式可得
p (w1) w11 (1 w1) 2 则
w1 ( p－ 2 ) /(1 2 ) 从而
rp ( p ) w1r1 (1 w1)r2
(( p－ 2 ) /(1 2 ))r1 (1 ( p－ 2 ) /(1 2 ))r2
最优风险资产组合
1. 由于假设投资者是风险厌恶的，因此，最优投 资组合必定位于有效集边界上，其他非有效的 组合可以首先被排除。
2. 虽然投资者都是风险厌恶的，但程度有所不同， 因此，最终从有效边界上挑选那一个资产组合， 则取决于投资者的风险规避程度。
3. 度量投资者风险偏好的无差异曲线与有效边界 共同决定了最优的投资组合。
w1)1 212
尤其当＝0时
p (w1)＝
w1212
(1
w1 ) 2
2 2
这是一条二次曲线，
事实上，当1 1时，可行集都是二次曲线。
在各种相关系数下、两种风险资产构成的可行集
收益Erp
r1
r2
2
2
r2
ρ=-1
(r1,1)
ρ=1
(r2 , 2 )
ρ=0
风险σp
由图可见，可行集的弯曲程度取决于
马克维茨的数学模型*
• 均值-方差（Mean-variance）模型是由哈 里·马克维茨等人于1952年建立的，其目的 是寻找有效边界。通过期望收益和方差来 评价组合，投资者是理性的：害怕风险和 收益多多益善。
因此，根据占优原则这可以转化为一个 优化问题，即
（1）给定收益的条件下，风险最小化 （2）给定风险的条件下，收益最大化
收益rp
风险σp
总结：可行集的两个性质
1. 在n种资产中，如果至少存在三项资产彼此不完 全相关，则可行集合将是一个二维的实体区域
2. 可行区域是向左侧凸出的 – 因为任意两项资产构成的投资组合都位于两 项资产连线的左侧。 – 为什么？
不可能的可行集
收益rp
A
B
风险σp
风险资产组合的有效集
❖ 在可行集中，有一部分投资组合从风险水平和收 益水平这两个角度来评价，会明显地优于另外一 些投资组合。
1
r2
2
p
r1
1
r2
2
2
r2
命题成立，证毕。
两种证券完全负相关的图示
收益rp
(r1,1)
r1 1
r2
2
2
r2
(r2 , 2 )
风险σp
两种不完全相关的风险资产的组合的可行集
当1 1时
rp (w1) w1r1＋(1 w1)r2
p (w1)＝
w1212
(1
w1 ) 2
2 2
2w1 (1