圆锥曲线的焦半径解题技巧

圆锥曲线焦半径

圆锥曲线的焦半径为：二次曲线上任意一点Q 到焦点的距离．

圆锥曲线的焦半径概念，是圆锥曲线中的一个重要的概念．许多圆锥曲线的求解问题，往往都牵涉到它，且运用圆锥曲线的焦半径分析问题可给解题带来生机．因此，掌握它是非常重要的．

椭圆焦半径： R 左 = a + x e , R 右 = a - x e ,

右支双曲线焦半径：R 左 = x e + a ，R 右 = x e - a ( x > 0) ，

左支双曲线焦半径：R 左 = - (x e + a )，R 右 = - (x e - a ) ( x < 0) ,

抛物线焦半径：R 抛 = x +2

P ． 对于这些结论我们无须花气力去记，只要掌握相应的准线方程及标准方程的两种定义，可直接推得．如对双曲线而言：当P(x 0 , y 0)是双曲线b 2x 2 - a 2y 2 = a 2b 2 (a > 0, b > 0) 右支上的一点，F 1, F 2是其左右焦点．

则有 左准线方程为 c

a x 2-=． 由双曲线的第二定义得，左焦半径为 a ex c

a x e PF +=+=0201)(||; 由 |PF 1|- |PF 2| =2a ，得 |PF 2| = |PF 2| - 2a = ex 0 - a ．( |PF 2|亦可由第二定义求得)．

例1 已知F 1，F 2是椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，设P 为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆E 的离心率e 满足 |PF 1| = e | PF 2 |，则e 的值为 ( )

22)( 33

)( 32)( 22)(--D C B A

解法1 设F 1(- c, 0 )，F 2(c , 0)，P(x 0 , y 0)，

于是，抛物线的方程为 y 2

= 2 (4 c )(x + c ) , 抛物线的准线 l ：x =- 3 c ，椭圆的准线 m ：c a x 2-=， 设点P 到两条准线的距离分别为d 1 , d 2．于是，由抛物线定义，得 d 1 = | PF 2 | , ……………………① 又由椭圆的定义得 |PF 1| = ed 2，而 |PF 1| = e | PF 2 |，………………………………②

由①②得 d 2 = | PF 2 |, 故 d 1 = d 2，从而两条准线重合．∴ 3

331322=⇒=⇒-=-e e c a c ．故选 (C)． 解法2 由椭圆定义得 |PF 1| + | PF 2 | = 2a ，又 |PF 1| = e | PF 2 |，∴ | PF 2 | (1+ e ) = 2a ，………① 又由抛物线定义得 | PF 2 | = x 0 + 3c , 即 x 0 = | PF 2 | - 3c ，……………………………②

由椭圆定义得 | PF 2 | = a - ex 0 , ………………………………………③

由②③ 得 | PF 2 | = a - e | PF 2 | + 3ec ，即 | PF 2 | (1+ e ) = a + 3ec ， ………………… ④

由①④得 2a = a + 3ec ，解得 3

3=e ，故选 (C)． 点评 结合椭圆、抛物线的定义，并充分运用焦半径是解答本题的基本思想．

例2 设椭圆E ：b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b 2 (a> b> 0)，的左、右焦点分别为 F 1, F 2，右顶点为A, 如果点M 为椭圆E 上的任意一点，且 |MF 1|·|MF 2| 的最小值为24

3a ．

(1) 求椭圆的离心率e ；

(2) 设双曲线Q ：是以椭圆E 的焦点为顶点，顶点为焦点，且在第一象限内任取Q 上一点P ，试问是否存在常数λ(λ> 0)，使得∠PAF 1 =λ∠PF 1A 成立？试证明你的结论．

分析 对于(1)可利用焦半径公式直接求解．而 (2) 是一探索型的命题，解题应注重探索．由于在解析几何中对角的问题的求解，往往要主动联想到斜率．而∠PF 1A 显然是一锐角，又易知∠PAF 1是(0, 120o ) 内的角，且90o 是斜率不存在的角．于是，抓住90o 这一特殊角试探，可得解法1，若注重斜率的研究，考查所两角差的正切，可得解法2；若转变角的角度来观察，将∠PF 1A 变为∠PNF 1，使∠PAF 1变成△PNA 的外角，可得解法3；若考查角平分线的性质可得解法4；若从图像与所求式的特点分析得知，所求的λ必

须是大于1的正数，从常规看来可以猜想到它可能是二倍角或三倍角的关系．由此先探索一下二倍角的情形，考查角平分线定理，可得解法5；若是考查∠PF 1A 与∠PAF 1的图形位置，直接解三角形PAF 1，可得到解法6．

(1) 解 设M(x 0, y 0), 由椭圆的焦半径定义得

|MF 1| = a + ex 0，|MF 2| = a - ex 0，|MF 1|·|MF 2| = (a + ex 0)(a - ex 0) = a 2- e 2x 02,

∵ |MF 1|·|MF 2| 的最小值为243a , 且 |x 0|≤a ，∴ a 2- e 2x 02 ≥a 2- e 2a 2 =243a ，解得 21

=e ．

(2) 解法1 由题意得 双曲线的离心率e = 2, 且双曲线的实半轴长为c ,半焦距为2c ,

故 设双曲线Q 的方程为 1322

22=-c y

c x ，

假设存在适合题意的常数λ(λ> 0)，

① 考虑特殊情形的λ值．当PA ⊥x 轴时，点P 的横坐标为2c ，

从而点P 的纵坐标为y = 3c ，而 |AF 1| = 3c ,

∴ △PAF 1是等腰直角三角形，即 ∠PAF 1 =2π

, ∠PF 1A =4π

, 从而可得 λ= 2．

② PA 不与x 轴垂直时，则要证∠PAF 1 = 2∠PF 1A 成立即可．

由于点P(x 1, y 1)在第一象限内，故PF 1 , PA 的斜率均存在，从而，有

A PF c x y k PF 111tan 1∠=+=, 111tan 2PAF c

x y k PA ∠-=-=，且有 ))((31121c x c x y -+=,………… ※ 又∵21

211

121)()(2

122tan 11y c x y c x

k k A PF PF PF -++=-=∠， 将※代入得PA k c x y y c x y c x A PF -=--=

-++=∠2)()(22tan 1

12121111, 由此可得 tan2∠PF 1A = tan ∠PA F 1，

∵ P 在第一象限，A(2c , 0), ∴ )32,2()2,0(1π

π

π

⋃∈∠PAF ,

又∵ ∠PF 1A 为锐角，于是，由正切函数的单调性得 2∠PF 1A =∠PA F 1．

综合上述得，当λ= 2时，双曲线在第一象限内所有点均有∠PAF 1 = 2∠PF 1A 成立．

解法2 由题意得 双曲线的离心率e = 2, 且双曲线的实半轴长为c , 半焦距为2c ,

故 设双曲线Q 的方程为 1322

22

=-c y c x ，

由于点P(x 1, y 1)在第一象限内，故PF 1 , PA 的斜率均存在．且∠PF 1A 为锐角．

又∵ ))((31121c x c x y -+=, …………………………………………………… ※

设∠PF 1A =β，则 ,tan 1

1

1c x y k PF +==β

设∠PAF 1=λβ, λβ≠90o 时, 则 tan(λβ)c x y k PA 21

1--=-=,

而 tan(λβ-β)βλββλβtan )tan(1tan )tan(+-=)

)(2(12111111

11c

x y c x y c x y c x y +--++-

--=

212121112)

2(y c cx x c x y -----=

))((3))(2()2(111111c x c x c x c x c x y -+-+---=)

()2)(()

2(111111c x y x c c x c x y +=-+--=．

∴ tan(λβ-β) = tan β．

∵ ∠PF 1A =β为锐角，又 ∠P A F 1 =λβ∈)32,0(π

, ∴ tan(λβ-β) = tan β > 0, 故λβ-β是锐角，