第9章目标规划

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例1: 用图解法求解目标规划问题
min {Pd1 , P2 d 2 , P3d 3 } 1 5 x1 10 x2 60 x1 2 x2 d1 d1 0 s.t. 4 x1 4 x2 d 2 d 2 36 6 x1 8 x2 d 3 d 3 48 x , x , d , d 0, i 1, 2,3. 1 2 i i
目标规划问题及数学模型
数据：若公司是利润导向的，管理层的目标通常包括以下内 容：
1）保持稳定的利润
2）增加市场份额 3）多样化产品线 4）保持价格稳定 5）提高员工的士气
6）保持对业务的控制力
7）增加公司的声誉
目标规划问题及数学模型
数据：对该公司而言， （1）管理层提出，在经历了过去一年的销量连续下降之后，必 须提高公司的利润。 这三种新产品在淘汰之前必须创造出至少1.25亿的利润。 （2）制造部门认识到，多年来公司的利润较好，其中最重要的 资产就是公司的员工，这也是公司取得成功的主要原因。因此， 提出应该保持员工的稳定性，以取得稳定的长期收益。 若追求短期利润势必要求裁员，但这样会带来破坏性结果； 若增加员工数量也会引起一些问题，比如考虑这些员工的培 训支出，而生产规模缩小时又不得不将他们裁掉。 因此，保持现在大约4000名员工的水平是最佳的。
目标规划（Goal Programming）
交互式法（STEM等等） 智能算法（遗传算法，模拟退火算法等等）
多目标规划(决策)简介
目标规划（Goal Programming），是由Charnes和Cooper在 1961年提出，是一种解决多目标决策问题的行之有效的方法。
目标规划在处理实际决策问题时，允许各项决策要求或目标 发生矛盾或冲突，同时也不再强调绝对意义上的最优性。目标 规划被认为是一种较之线性规划更接近于实际决策过程的决策 工具。
目标规划问题及数学模型
3. 目标函数---也称为准则函数或达成函数,
（1）当不考虑各目标拥有不同的优先等级时，目标 函数将由辅助决策变量（即正负偏差变量）和各目 标的惩罚权重系数组成 例如：
公司的决策目标是尽量同时实现三个目标，因此，这里的目 标函数是最小化所有偏差变量的线性组合
min z = 5d1- + 2d2+ +4d2- + 3d3+
目标规划问题及数学模型
数据： （3）财务部门指出，依据惯常使用的方法计算了新产品上的最 小投资，包括生产设备、市场营销等，大概需要投入550万。 投资金额最好控制在550万元之内。 为何这里叙述决策目 标的方式与(LP)中完 全不同？
（GP）的基本思想——让决策者通过设定各目标的目的值（或称 靶值），决策者在评价一个方案时，选择一个与目的值偏差最小的 方案。
其中gk为第k个目标的预期目标值，Pk为第k级优先因子 Wkl-,wkl+为分别赋予第k个目标的约束的正负偏差变量的权系数
目标规划问题及数学模型
目标规划的优点:
(1)将DM的主观意愿和判断结合到建模中,更符合 客观的决策实际情况.
(2)不再强调严格数学意义上的最优解,而是结合实 际情况的满意解. 目标规划的最大缺陷: 要求决策者对问题有非常深入的了解,否则决策者 很难提出切合实际而又理想的目的(即靶子)来.
目标规划的软件求解及结果分析
目标规划问题及数学模型
目标规划的一般数学模型可以表示为
K min Pl (Wlk d k Wlk d k ) , l 1, 2, , L k 1 n ckj x j d k d k g k , k 1, 2, , K , j 1 n a x ( , )b , i 1, 2, , m, s.t. ij j i j 1 x j 0, j 1, 2, , n, d k , d k 0, k 1, 2, , K .
Max z = cx
s.t. Ax≤b x≥0 最优解 多目标决策中一个本 质性的问题是“何谓 方案的好坏”
多目标规划(决策)简介
有效解 : 设x*为可行解, 若不在另外的可行解 x使得 fi(x)≥fi(x*), i=1,2,…, m,
且至少存在一个i0, 有fi0(x)>fi0(x*)成立, 则称x*为有效解.
12x1+9x2 + 15x3 + d1- - d1+ =125
5x1 + 3x2+ 4x3 + d2- - d2+ =40 s.t.
0.5x1+0.7x2 + 0.8x3 + d3- - d3+ =5.5 x1, x2, d1- , d1+, d2- , d2+, d3- , d3+ ≥ 0
总结目标规划模型的特点
目标规划问题及数学模型
对于目标 fj (x)，提出目标可能的情况有如下三种 基本形式:
(1)希望 fj (x) 尽量不超过目标值 fj* (x), 但允许不足目标值,
min dj+
(2)希望 fj (x) 尽量不低于目标值 fj* (x), 但允许超过目标值, min dj－ (3)希望 fj (x) 尽量不低于目标值 fj*(x), min dj+ + dj－
min {Pd , P2 (2d d ), P4 d } 10 x1 15 x2 d1 d1 60 x1 d 2 d 2 5 s.t. x2 d 3 d 3 3 20 x1 40 x2 d 4 d 4 M x , x , d , d 0, i 1, 2,3, 4. 1 2 i i
目标规划问题及数学模型
目标规划求解问题的过程见下面框图
明确问题，列出或修改 构造目标规划 的模型
目标的优先级和权系数
求出满意解
满意否
Hale Waihona Puke Baidu
分析各项指标 完成情况
据此制订出 决策方案
目标规划练习
练习: 某工厂负责装配两种型号的洗衣机, 装配型号I的洗衣机需 耗费10个设备工时,装配型号II的洗衣机需耗费15个工时, 型号I和型号II的洗衣机的利润分为20元和40元. 现工厂决策部门提出如下要求:
目标规划问题及数学模型
数据：
因 素 长期利润（百万元） 雇用水平（百人） 资本投资（百万元）
产品的单位贡献
I 12 5 0.5 II 9 3 0.7 III 15 4 0.8
目标 ≥125 =40 ≤5.5
惩罚 权重 5 2(+),4(-) 3
目标规划问题及数学模型
模型： 目标规划模型的四个基本要素: 1. 决策变量 设x1,x2，x3 分别表示三种新产品I, II, III的每天的产量. 偏差变量---表示目标实际值与设定目的值之间的差异
如: (1) 总利润最好不少于1.55亿
12x1+9x2 + 15x3 + d1－ - d1+ =125 (2) 雇用水平保持在4000人左右 5x1 + 3x2+ 4x3 + d2- - d2+ =40 (3) 投资资金总额最好不超过550万元
0.5x1+0.7x2 + 0.8x3 + d3- - d3+ =5.5
例如：三个同学语数外三门课程的成绩如下： 甲同学：语文75 数学100 外语70 乙同学：语文99 数学0 外语80
丙同学：语文70 数学90 外语60
请对这三个同学的学习成绩进行排序。
多目标规划(决策)简介
多目标规划(多目标决策)的求解方法: 字典序法 线性加权法, 约束法, 理想点法
1
2
x2
9 3 6
d 2
B
d 3
d1
C
F
F D E D E8 9 A
12
O
0
x1
满意解的集合为四边形CDEF区域.
例2: 用图解法求解目标规划问题
min {Pd1 , P2 d 2 , P3 (5d3 3d 4 ), P4 d1 } 1 x1 2 x2 d1 d1 6 x1 2 x2 d 2 d 2 9 s.t. x1 2 x2 d 3 d 3 4 x2 d 4 d 4 2 x , x , d , d 0, i 1, 2,3, 4. 1 2 i i
多目标规划(决策)简介
线性规划的特点和局限性：
（1）追求单个目标的优化 （2）强调解的”最优性” 现代决策强调“柔性”的解决问题，强调“满意”而非最优的方 案。 线性规划只适用于解决部分问题，更多的问题是多目标决策 问题。
多目标规划(决策)简介
线性规划模型(LP) 多目标线性规划模型(MOLP) Max z = {c1x, c2x , …, cmx} s.t. Ax≤b x≥0 Pareto解/非劣解/有效解
目标规划问题及数学模型
问题：某公司在近十几年的发展历程中，一直都保持着市场领导者 的地位，这一成就主要归功于公司拥有一批忠诚且有技术的工人。 他们中很多人从公司成立开始一直工作到现在，生产出优质产品， 从而树立了公司的地位。管理层在决策是首先要考虑的就是要保持 职工的稳定性，从而保持职工对工作的热情和忠诚。 在刚过去的一年中，公司销量少于历年水平而收入也有所下降，这 一点已经引起了许多股东的不满，后果之一就是公司目前可用于开 发新产品的资金没有往年充足。如果销售量不能很快改善，管理层 将会考虑削减公司的生产规模。 现在，公司准备将目前生产的三种产品都换成新一代产品，从而使 经营有一线转机。管理层希望能够通过这一举措改变目前的现状， 争取在今后1-2年内保持较高的销量，由于资金有限，管理层不得不 在三种新产品间做出取舍决策。另外一点要考虑的是，这样做是否 会影响职工的稳定性。
第一, 要求每天装配的工时不超过现有60工时;
第二,装配型号I的洗衣机数量不超过5, 型号II的洗衣机数量 不低于3; 第三,使该工厂的利润尽可能大; 请建立一目标规划模型以帮助该工厂确定其每天生产计划.
目标规划练习
解: 设工厂装配型号A和型号B的洗衣机数量分别为x1, x2,
则有如下形式的目标规划模型:
目标规划问题及数学模型
4. 优先因子和权系数
不同目标的主次轻重有两种差别:
（1）目标优先级层次的高低通过优先因子P1, P2, … 表示.
Pk Pk 1
注意：优先权因子Pk不是一个数，只是表示层次间 的从属关系 （2）属于同一优先级层次的目标, 其重要程度用权系 数Wlk表示
目标规划问题及数学模型
d + ---超出目标目的值的差值, 称为正偏差变量
d－ ---未达到目标目的值的差值, 称为负偏差变量 d+ ≥ 0, d－ ≥ 0, d+ d－=0.
目标规划问题及数学模型
2. 绝对约束和目标约束 绝对约束---指必须严格满足的约束条件, 是硬约束 目标约束---也称软约束，是一种将约束同目标结 合在一起的表达式
归纳书中的分析，形成如下目标的优先等级:
目标优先级:
(1) P1: 希望尽量避免出现员工超过4000名的情形
投资资金总额尽量避免超过550万元
(2) P2: 三种新产品带来的长期利润不应低于1.25亿
希望尽量避免出现员工少于4000名的情形
目标规划问题及数学模型
带优先权的目标规划模型为
Min { P1 ( 2d2+ + 3d3+ ) +P2 ( 5d1- + 4d2- ) }
总结目标规划模型的特点
目标规划的软件求解及结果分析（见书58页）
问:若第1优先级的目标要求总利润越大越好,怎么表示?
目标规划问题及数学模型
3. 目标函数---也称为准则函数或达成函数,
（2）当考虑各目标拥有不同的优先等级时，目标 函数将由各目标约束的偏差变量di-,di+和相应的优 先因子Pk和权重系数Wrk构成
目标规划问题及数学模型
至此，可以得到不带优先权的目标规划模型如下:
Min {5d1- + 2d2+ +4d2- + 3d3+}
12x1+9x2 + 15x3 + d1- - d1+ =125
5x1 + 3x2+ 4x3 + d2- - d2+ =40 s.t.
0.5x1+0.7x2 + 0.8x3 + d3- - d3+ =5.5 x1, x2, d1- , d1+, d2- , d2+, d3- , d3+ ≥ 0