组合优化问题与现代优化算法
联合优化问题的新方法和新算法
联合优化问题的新方法和新算法一、引言随着现代社会的发展，科技的进步和人类社会的需求不断推动着人们对于联合优化问题的研究。
联合优化问题是多个含有约束条件的目标函数的最优化问题，在许多领域中有着重要的应用，如工程领域、经济学、计算机科学、运筹学等。
为了解决这些问题，研究人员提出了各种各样的优化方法和算法，其中既包括传统的优化方法也包括一些新的方法，这些方法不仅可以提高联合优化问题的求解效率，还可以提高求解结果的质量。
本文将介绍其中的新方法和新算法。
二、方法的分类一般而言，我们可以将联合优化问题的方法划分为以下几类。
1. 数值方法数值方法是一种比较传统的优化方法，它的基本思路是通过计算机模拟来求解优化问题。
数值方法往往是以迭代算法为主要手段，通过不断地调整各种参数来逐步逼近最优解。
2. 近似算法近似算法的基本思路是通过降低计算复杂度来解决复杂的联合优化问题。
近似算法往往不会给出精确的解，但是它们可以在实际应用中提供一个较好的逼近值，因此具有较高的实用价值。
3. 模型方法模型方法是将联合优化问题看作是一种统计模型，利用概率统计方法进行优化的方法。
模型方法相对于传统的优化方法更为灵活，可以针对实际问题进行不同的模型构建，针对不同的模型采用不同的算法来求解。
三、新方法的介绍1. 先进的演化算法演化算法是一种新兴的优化方法，其主要思路是通过模拟生物进化过程来求解最优解。
演化算法相对于传统的优化方法更加简单、快速，可以解决复杂的多变量和多模态的最优化问题。
演化算法有许多种，其中最有名的是遗传算法(GA)。
遗传算法的基本思路是模拟自然遗传过程，通过模拟“选择、交叉、变异”等基本操作来进行参数优化与搜索。
遗传算法能够在非线性、非凸的复杂寻优问题上取得良好的效果，成为了多目标优化、组合优化和动态优化等方向的重要研究内容之一。
2. 模拟退火算法模拟退火算法(SA)是一种从统计物理学中演化而来的优化算法，其主要思路是模拟物质从高能态到低能态的过程，在算法的迭代中，加与减噪声的过程扩散了初始条件的影响，从而得到最优的解。
组合优化问题的模型与算法分析
组合优化问题的模型与算法分析在当今复杂多变的世界中，组合优化问题无处不在。
从物流运输的路径规划，到生产线上的任务分配，从通信网络的资源配置，到金融投资的组合选择，组合优化问题的身影贯穿于各个领域，影响着我们的生活和工作效率。
那么，究竟什么是组合优化问题？又有哪些模型和算法可以帮助我们有效地解决它们呢？组合优化问题，简单来说，就是在一个有限的集合中，寻找出满足特定条件的最优元素组合。
这里的“最优”通常是指在某个给定的目标函数下，能够取得最大值或最小值的组合。
目标函数可以是成本最小化、利润最大化、时间最短化等等，而满足的条件则可能包括资源限制、技术要求、法规约束等。
为了更好地理解和解决组合优化问题，人们提出了各种各样的模型。
其中，最常见的有整数规划模型、图论模型和动态规划模型。
整数规划模型是将问题中的变量限制为整数的一种数学规划模型。
比如，在决定是否要在某个地点建设工厂时，我们可以用 0 表示不建设，用 1 表示建设，这样就将问题转化为了一个整数规划问题。
整数规划模型能够精确地描述许多实际问题，但由于其求解难度较大，在处理大规模问题时往往会遇到计算瓶颈。
图论模型则是利用图的结构来表示问题。
例如，在交通网络中，城市可以看作图的节点，道路可以看作图的边，通过对图的分析来寻找最优的路径。
图论模型直观形象，对于一些具有明显网络结构的问题非常有效。
动态规划模型是将一个复杂的问题分解为一系列相互关联的子问题，并通过求解子问题来逐步得到原问题的解。
它适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
有了模型，接下来就需要算法来求解。
常见的算法包括精确算法和启发式算法。
精确算法能够保证在有限的时间内找到问题的精确最优解。
其中，分支定界法是一种常用的精确算法。
它通过不断地将问题的解空间进行分支和界定，逐步缩小搜索范围，最终找到最优解。
但精确算法的计算时间往往随着问题规模的增大而呈指数增长，对于大规模问题往往难以在可接受的时间内得到结果。
组合优化问题及算法
启发式算法
邻域概念
TSP问题解的另一种表示法为
D={S=(i1,i2,…,in)是1,2,…,n的一个排列} 可以定义它的邻域映射为2-opt，即S中的两个 元素对换。
如4个城市的TSP问题，当S=(1,2,3,4)时， N(S)={(2,1,3,4),(3,2,1,4),(4,2,3,1),(1,3, 2,4),(1,4,3,2),(1,2,4,3)}.
i 1
xi {0,1},
i 1,, n
一些例子
2. 旅行商问题(TSP，traveling salesman problem)
一个商人欲到n个城市推销商品，每两个城市i和j之
间的距离为dij，如何选择一条道路使得商人每个城市正 好走一遍后回到起点且所走路径最短。
n
min dij xij
i j
n
组合优化问题及算法
引言
组合最优化（combinatorial optimization)是通过 对数学方法的研究去寻找离散事件的最优编排、分组、次 序或筛选等，是运筹学(operations research)中的一个 重要分支。所研究的问题涉及信息技术、经济管理、工业 工程、交通运输、通信网络等领域。该问题可用数学模型 描述为：
邻域的构造依赖于问题决策变量的表示，邻 域的结构在现代化优化算法中起重要作用。
启发式算法
邻域概念
例如，前面例子2给出的TSP问题模型。由解空间 D={x{0,1}n(n-1)}，可以定义它的一种邻域为：
N (x) {y |yx| |yijxij|k, y D }
i,j
k为一个正整数。 TSP问题解的另一种表示法为 D={S=(i1,i2,…,in)是1,2,…,n的一个排列}
《现代优化方法》课件
混合整数规划问题求解
混合整数规划问题概述
混合整数规划问题的求解方法
混合整数规划问题的应用领域
混合整数规划问题的发展趋势
多目标优化问题求解
问题定义：多 个目标函数同
时优化
求解方法：遗 传算法、粒子
牛顿法
牛顿法是一种迭代法，用于求解非线性方程组 牛顿法的基本思想是利用函数的导数信息来构造一个迭代公式 牛顿法的优点是收敛速度快，但需要计算函数的导数 牛顿法在优化问题中的应用广泛，如求解非线性规划问题、最优化问题等
遗传算法
基本概念：模拟生物进化过程，通过选择、交叉、变异等操作进行优化 特点：全局搜索、自适应、并行处理 应用领域：组合优化、机器学习、人工智能等
优化方法的应用领域
工业生产：提高生产效率， 降低成本
交通运输：优化路线，减 少运输时间
商业决策：制定最优策略， 提高利润
科学研究：优化实验设计， 提高实验效率
工程设计：优化设计方案， 提高工程质量
教育领域：优化教学策略， 提高教学质量
现代优化方法的 主要技术
梯度下降法
基本思想：通过迭代求解，逐步减小目标函数的值 应用场景：机器学习、深度学习等领域 优点：简单、易于实现、适用范围广 缺点：容易陷入局部最优解，需要选择合适的学习率
优化方法在多目标优化问题中的应用
优化方法在数据驱动的决策问题中的应 用
优化方法在分布式计算和云计算中的应 用
感谢您的观看
汇报人：PPT
群算法等
应用领域：工 程设计、生产 调度、投资决
策等
发展趋势：智 能化、自动化、
组合优化问题的算法设计与实现
组合优化问题的算法设计与实现组合优化问题是一类经典的数学问题，它们常见于实际生产和生活中的众多领域，如供应链管理、生产调度、货物配送等等。
本文就组合优化问题的算法设计与实现进行阐述和探讨。
一、组合优化问题的简介组合优化问题是一类在已有许多元素的情况下，从其中选取某些元素的问题。
在该类问题中，需要进行最大化或最小化的优化目标往往是某种“价值函数”或“代价函数”。
在现实中，许多问题都可以转化为组合优化问题，如流水线调度问题、背包问题、旅行商问题等。
二、组合优化问题的算法设计1.暴力搜索暴力搜索，也称穷举搜索，是最基本的求解组合优化问题的方法，其实现思路是将问题的所有可能解都列出来，再从中选择出最优解。
虽然暴力搜索具有通用性和简单性，但是由于复杂度太高，所以仅适用于数据规模较小的问题。
2.贪心算法贪心算法是一种运用最优化策略的算法，其思路是在每一步中选择当前最优解。
贪心算法的思想相对简单，实现复杂度也较低，但是其常常只能得到局部最优解。
3.动态规划算法动态规划算法是一种通过综合后效性来减小问题规模的方法，其实现思路是将原问题划分成几个子问题，再结合最优策略，逐步求解。
动态规划算法具有较高的复杂度和较高的求解精度，适用于大部分组合优化问题。
4.分支定界算法分支定界算法是一种将问题的解空间“树形”表示，然后从根节点向下逐步求解的方法。
在每次求解时，分支定界算法都会选择一个“分支点”，并根据分支点的优先级进行分支，然后再按照最优子树进行搜索。
分支定界算法具有较高的求解精度和通用性，但是实现复杂度较高。
三、组合优化问题算法的实现组合优化问题的算法实现，主要包括以下几个步骤：1.问题建模对组合优化问题建立数学模型，明确优化目标和变量，描述问题的约束条件。
2.算法选择依据问题的特点和规模，选择合适的算法。
3.程序设计利用计算机语言实现选择的算法。
4.数据测试对程序进行测试，验证算法的求解精度和效率。
总之，组合优化问题的算法设计和实现需要考虑诸多因素，包括问题的性质、规模、复杂度等等。
组合优化问题与算法研究进展
组合优化问题与算法研究进展在当今数字化和信息化的时代，组合优化问题在各个领域中扮演着至关重要的角色。
从物流运输的路径规划，到生产制造中的资源分配，再到通信网络的频谱分配，组合优化问题无处不在。
这些问题的解决不仅影响着企业的运营效率和成本，也关系到社会资源的合理利用和可持续发展。
因此，对组合优化问题及其算法的研究具有重要的理论意义和实际应用价值。
组合优化问题是一类在给定的有限集合中寻找最优解的问题。
其特点是可行解的数量通常是有限的，但可能非常庞大，以至于无法通过穷举法来找到最优解。
例如，旅行商问题（Travelling Salesman Problem，TSP）就是一个经典的组合优化问题，要求找到一个推销员在给定的城市集合中旅行的最短路径，且每个城市只能访问一次。
这个问题的可行解数量随着城市数量的增加呈指数增长，对于较大规模的问题，直接求解几乎是不可能的。
为了解决组合优化问题，人们提出了各种各样的算法。
这些算法大致可以分为精确算法和启发式算法两大类。
精确算法能够保证找到问题的最优解，但通常只适用于规模较小的问题。
常见的精确算法包括分支定界法、动态规划法等。
以分支定界法为例，它通过将问题的解空间逐步分解为子空间，并对每个子空间进行评估和剪枝，从而缩小搜索范围，最终找到最优解。
然而，当问题规模较大时，精确算法的计算时间和空间复杂度往往会急剧增加，使其在实际应用中受到很大限制。
相比之下，启发式算法虽然不能保证找到最优解，但能够在合理的时间内给出一个较好的近似解。
启发式算法通常基于问题的特征和经验知识，通过一定的策略来搜索解空间。
常见的启发式算法包括贪心算法、局部搜索算法、模拟退火算法、遗传算法等。
贪心算法在每一步都选择当前看起来最优的决策，虽然简单高效，但容易陷入局部最优解。
局部搜索算法则从一个初始解出发，通过在其邻域中搜索来逐步改进解的质量。
模拟退火算法借鉴了物理中固体退火的过程，在搜索过程中以一定的概率接受较差的解，从而有可能跳出局部最优。
组合优化及算法 共36页PPT资料
Combinatorial Optimization
组合优化是运筹学的后继课程，同时也是运筹学的 一个重要独立分支，是一类重要的优化问题
• 最优化(数学规划)
– 连续优化(数学规划)： – 数学规划（线性规划、非线性规划）、非光
滑优化、全局优化、锥优化等 – 离散优化：网络优化、组合优化、整数规划等 – 不确定规划：随机规划、模糊规划等
30! / 10e+10 > 2.65e+22 (秒) 即 2.65e+22 / (365*24*60*60)
> 8.4e+13 (年)
计算复杂性的概念
多项式时间算法
构造算法的目的是能够解决问题（或至少是问题某个 子类）的所有实例而不单单是某一个实例
问题（Problem）是需要回答的一般性提问，通常含有若干个满 足一定条件的参数. 问题通过下面的描述给定：（1）描述所有
实例I,算法A总能找到一个可行解，那么这个算法
称为该问题的近似算法.
最优算法：如果进一步，如果这个可行解的目标值 总等于最优解值，则称A为最优算法.
典型组合优化问题
• 背包问题 • 装箱问题 • 平行机排序问题 • 图与网络优化问题
最小支撑树、最短路、最大流、最小费用流、最大基数匹 配问题 • 指派问题 • 旅行售货商问题 • 斯坦纳最小树问题
计算复杂性的概念
多项式时间算法
例 构造算法将n个自然数从小到大排列起来
算法
输入自然数a(1),a(2),…,a(n). for (i=1;i<n;i++)
for (j=i+1;j<=n;j++) if (a(i)>a(j)){ k=a(i);a(i)=a(j);a(j)=k; }
组合优化问题与现代优化算法.
组合优化问题与现代优化算法.《组合优化问题与现代优化算法》在我们的日常生活和工作中，经常会遇到各种各样的决策问题，比如如何安排生产计划以最大化利润，如何规划物流路线以最小化运输成本，如何分配资源以满足不同的需求等等。
这些问题都可以归结为组合优化问题。
组合优化问题是一类在有限的解集合中寻找最优解的问题，其解空间通常是离散的，并且随着问题规模的增大，解的数量会呈指数级增长，这使得求解组合优化问题变得非常困难。
组合优化问题具有广泛的应用领域。
在交通运输领域，车辆路径规划问题就是一个典型的组合优化问题。
如何安排车辆的行驶路线，使得在满足客户需求的前提下，行驶距离最短、成本最低，这对于物流企业来说至关重要。
在制造业中，生产调度问题也是一个重要的组合优化问题。
如何安排生产任务，使得在满足交货期的前提下，生产效率最高、成本最低，这直接影响到企业的竞争力。
在计算机科学中，图的着色问题、旅行商问题等都是著名的组合优化问题，这些问题的解决对于算法设计和计算机性能的提升具有重要意义。
然而，由于组合优化问题的复杂性，传统的精确算法往往难以在合理的时间内找到最优解。
因此，人们提出了各种各样的现代优化算法来求解这些问题。
现代优化算法是一类基于启发式思想的算法，它们不保证能够找到最优解，但通常能够在较短的时间内找到一个较好的近似解。
遗传算法是一种常见的现代优化算法，它模拟了生物进化的过程。
在遗传算法中，解被编码为染色体，通过选择、交叉和变异等操作来产生新的染色体，从而不断进化，逐步找到更好的解。
例如，在求解旅行商问题时，可以将旅行路线编码为染色体，通过不断的进化，找到一个较短的旅行路线。
遗传算法具有全局搜索能力强、鲁棒性好等优点，但也存在收敛速度慢、容易早熟等缺点。
模拟退火算法是另一种现代优化算法，它模拟了固体退火的过程。
在模拟退火算法中，解的质量通过目标函数来评价，算法在搜索过程中以一定的概率接受较差的解，从而避免陷入局部最优。
组合优化问题的算法优化
组合优化问题的算法优化组合优化问题是指在给定的一组限制条件下寻求最优解问题，其中限制条件是由可选项的组合形成的。
该问题的性质通常是确定性的，即在给定的限制条件下可求解最优解，但随着可选项数量增加，该问题的规模会逐渐增大，从而导致求解困难。
因此，如何优化组合优化问题的算法成为了当前热门研究方向之一。
本文将从算法的角度出发，介绍组合优化问题的算法优化方法。
一、贪心算法贪心算法(或称“贪心策略”)通常是指局部最优解推导全局最优解。
所谓局部最优解是指每一个步骤中所能求得的最优解，而全局最优解则是指所有步骤中所能得到的优解。
在组合优化问题中，贪心算法通常被用于求解图的最小生成树问题和集合覆盖问题等。
例如，对于集合覆盖问题，如果某一个集合包含了当前未涵盖元素最多，那么我们就选择这个集合，当所有元素都被覆盖时，得到的结果即为全局最优解。
二、分支定界算法分支定界算法(或称“深度优先搜索算法”)是指在搜索过程中对可能的解空间进行搜索，而在该搜索过程中，对当前的解空间中的每一个节点进行截短，以减少搜索空间。
分支定界算法通常被用于求解NP难问题(即非多项式时间问题)，包括制造进程调度问题和旅行商问题等。
例如，在旅行商问题中，我们将待求的旅行路线看作图，然后通过深度搜索得到符合约束条件的最优解。
三、动态规划算法动态规划算法(或称“最优子结构算法”)在求解组合优化问题中也有广泛应用。
动态规划算法基于以下原则：求解问题的最优解可以由求解该问题的子问题的最优解来推导得到。
对于动态规划算法和分支定界算法相比较，其时间复杂度较低，但其要求问题具有最优子结构性质。
例如，在0/1背包问题中，我们可以使用动态规划算法，推导出在限定的承重下，最大的总价值。
四、遗传算法遗传算法(或称“遗传优化算法”)是一种模拟自然遗传过程的优化方法。
遗传算法通常包含以下核心环节：选择、交叉和变异。
在该算法中，由一个初始种群开始，然后每一次通过选择、交叉和变异改进种群，直到达到目标解。
组合优化问题与算法设计
组合优化问题与算法设计随着信息技术的发展，计算机已经成为各个领域的重要工具，其中组合优化问题成为了计算机科学中的一个重要研究方向。
组合优化问题是指在具有一定约束条件下，找到最优的组合方案。
组合优化问题涉及到许多领域，例如图论、网络流、线性规划等等，它们都可以用来解决不同的优化问题。
本文将介绍组合优化问题的基本概念、算法设计以及应用领域。
一、组合优化问题的基本概念组合优化问题是一类重要的数学问题，它主要研究如何在给定的条件下，寻找最优或次优的方案。
组合优化问题一般由两部分组成，即目标函数和约束条件。
其中，目标函数可以是最小化或最大化某个变量，而约束条件则用来描述问题的限制条件。
组合优化问题是一个复杂的问题，它涉及到多个维度的约束条件、多个变量的目标函数等多个因素。
例如在一个网络中选取最短路径或最小生成树，或在一个生产线中安排生产任务使得开销最小等等。
由于组合优化问题本质上是算法问题，因此需要设计算法来求解最优方案。
二、算法设计在求解组合优化问题时，经常会用到各种算法，如贪心算法、动态规划算法、回溯算法、分支定界法等等。
由于组合优化问题的多样性，不同应用场景需要选用不同的算法。
下面简单介绍几种常见的算法。
1. 贪心算法贪心算法是一种简单而有效的算法，它适用于求解一些具有贪心策略的优化问题。
贪心算法的基本思想是：在每一步选择中都采取当前状态下最优的选择，然后再去解决子问题。
例如，在一条路径上选择总是当前最短的边，这样就能很快得到最短路径。
但是，贪心算法并不能保证求得全局最优解，因为它只考虑了局部最优解。
2. 动态规划算法动态规划算法是一种具有广泛应用的算法。
它主要用于求解多阶段决策问题，其核心思想是将一个复杂的问题分解成若干个子问题，每个子问题只求解一次，并将其结果存储起来，以便于后面的计算。
随着子问题规模的不断缩小，最终可以得到原问题的解。
动态规划算法在网络流、最短路问题、背包问题等方面都有着广泛的应用。
组合最优化问题及其求解优化算法
组合最优化问题最基本的特点就是变量是离散的, 由此导致其数学模型中的目标函数和约束函数在其可行域内是也是离散的。
在现实世界中，许多的实际问题本质上是离散事件的而不是连续事件，都可归结为组合最优化问题。
这类问题在理论上多数都属于NP难问题，NP类问题仍属于可计算问题，即存在算法来求解。
求解这类组合最优化问题方法分为精确算法和近似算法两类。
常用的精确算法有动态规划、分支定界和枚举等。
精确算法只能解决一些小规模问题，当求解小规模组合优化问题时可以用这类精确算法在较短的时间内得到最优解。
当求解大规模组合优化问题时，理论上可以得到问题的最优解，但由于计算量太大，所以使用精确算法并不可行。
利用精确算法求解NP-hard组合优化问题时，即使能得到最优解，但所需要的计算时间过长，在实际问题中难以直接应用。
近似算法是指在合理的计算时间内找到一个近似的最优解。
近似算法虽然求解速度较快，但并不能保证得到问题的全局最优解。
近似算法分为基于数学规划（最优化）的近似算法、启发式算法和基于智能优化的近似算法。
1) 基于数学规划（最优化）的近似算法是根据对问题建立的数学规划模型，运用如拉格朗日松弛、列生成等算法以获得问题的近似解，是以数学模型为基础，采用列生成、拉格朗日松弛和状态空间松弛等求解问题。
拉格朗日松弛（LR）算法求解问题的主要思想是分解和协调。
首先对于NP难的优化问题，其数学模型须具有可分离性。
通过使用拉格朗日乘子向量将模型中复杂的耦合约束引入目标函数，使耦合约束解除，形成松弛问题，从而分解为一些相互独立的易于求解的子问题，设计有效的算法求得所有子问题的最优解。
利用乘子的迭代更新来实现子问题解的协调。
列生成(Column generation, CG)算法是一种已经被认可的成功用于求解大规模线性规划、整数规划及混合整数规划问题的算法。
与智能优化算法相比，基于数学规划的近似算法的优点是通过建立问题的数学模型，松弛模型中难解的耦合约束或整数约束，得到的松弛问题的最优解可以为原问题提供一个下界。
组合优化问题的算法设计与实现
组合优化问题的算法设计与实现在当今数字化和信息化的时代，组合优化问题在各个领域中频繁出现，从物流运输的路线规划，到生产制造中的资源分配，再到计算机科学中的任务调度，其身影无处不在。
组合优化问题旨在从众多可能的组合中找出最优的解决方案，以达到某种目标，例如最小化成本、最大化利润或最小化时间等。
然而，要解决这些复杂的组合优化问题并非易事，需要精心设计有效的算法并加以实现。
组合优化问题通常具有巨大的搜索空间，可能的组合数量随着问题规模的增加呈指数级增长。
这就使得穷举所有可能的组合变得几乎不可能，尤其是在实际应用中面对大规模的问题。
因此，算法的设计就显得至关重要，它需要在有限的时间和计算资源内找到接近最优甚至最优的解。
贪心算法是解决组合优化问题的一种常见策略。
它在每一步都做出当前看起来最优的选择，而不考虑整体的最优解。
例如，在背包问题中，贪心算法可能会选择单位价值最高的物品先放入背包。
然而，贪心算法虽然简单高效，但往往不能保证得到最优解，只是在某些特定情况下能够给出较好的近似解。
动态规划则是一种更为强大的方法。
它通过将问题分解为子问题，并保存子问题的解，避免了重复计算。
以最长公共子序列问题为例，通过构建一个二维数组来保存中间结果，逐步计算出最终的最优解。
动态规划在处理具有重叠子问题和最优子结构性质的问题时表现出色，但它的空间复杂度可能较高，对于大规模问题可能存在存储上的困难。
分支定界法是另一种有效的策略。
它通过对问题的解空间进行分支和剪枝来缩小搜索范围。
在求解整数规划问题时，分支定界法可以有效地排除不可能包含最优解的区域，从而提高搜索效率。
这种方法需要巧妙地设计分支策略和界定函数，以确保能够快速收敛到最优解。
模拟退火算法是一种基于概率的启发式算法。
它模仿了物理中固体退火的过程，在搜索过程中允许以一定的概率接受较差的解，从而跳出局部最优，最终找到全局最优解。
这种算法在解决复杂的组合优化问题，如旅行商问题时，具有较好的效果。
组合优化问题及算法
启发式算法
近似算法定义
记问题A的任何一个实例I的最优解和启发式 算法H解的目标值分别为zopt(I)和zH(I),若对某 个正数0，有
|zH(I)-zopt(I)| |zopt(I)|，IA 则称H是A的近似算法。
-13-
启发式算法
背包问题的贪婪算法
1）将物品以ci/ai（单位体积的价值）由大到小的顺 序排列，不妨把排列记为{1,2,…,n},k:=1;
n
s.t. xij 1, i 1,, n
j1
n
xij 1, j 1,, n
i1
xij | S | 1, 2 | S | n 2,
i, jS
xij {0,1}, i, j 1,, n, i j.
S {1,2,, n}
-4-
一些例子
3. 有 约 束 的 机 器 调 度 问 题 ( capacitated machine scheduling)
min f ( x) s.t. g( x) 0
xD
其中D表示有限个点组成的集合。
-2-
一些例子
1. 0-1分别为
ai(i=1,2,…,n),价值分别为ci (i=1,2,…,n)的物品，如 何以最大的价值装包？
n
max ci xi
i 1
n
s.t. ai xi b
-27-
冷却进度表的参数设置
3.Markov链的长度Lk的选取 2）由接受和拒绝的比率来控制Lk
实现的第一种方法是：给定一个充分大的 长度上限U和一个接受次数指标R,当接受次数等 于R时，此温度不再迭代而使温度下降。
实现的第二种方法是：给定一个接受比率 指标R,长度上限U和下限L,当迭代次数超过L时 ，若接受次数与迭代次数的比率不小于R时，此 温度不再迭代而使温度下降，否则，一直迭代 到上限步数U。
组合优化问题与现代优化算法.
i , jS
x x
i 1
1,
| S | 1,
xij {0,1}, i, j 1, , n, i j.
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一个经典的组合优化问题——旅行商问题
• 旅行商问题的应用领域 • 旅行商问题要从图G的所有旅行路线中求取最小成本的旅 行路线，而从初始点出发最终回到初始点的周游路线一共 有n!条，即等于除初始结点外的n个结点的排列数，因此 旅行商问题是一个排列问题。 • 可用于： - 指导交通规划，以减轻交通拥堵 ； - 指导物流节点的布局规划，物流路径的合理选择，以减 少物流成本； - 指导互联网环境中节点的设置，以更好地让信息流动。
c1,c2—学习因子，经验值取c1=c2=2，调节学习最大步长 rand（）—随机数，取值范围（0，1），以增加搜索随机性
Байду номын сангаас
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仿生优化算法——粒子群算法
每个寻优的问题解都被想象成一只鸟，我们也称 为“Particle”。 所有的Particle 都有一个fitness function 以判断 目前的位置之好坏。 每一个Particle必须赋予记忆性，能记得所搜寻到 最佳位置。 每一个Particle 还有一个速度以决定飞行的距离 与方向。
max c i x i
i 1 n
n
s.t.
a x
i 1 i
i
b i 1, , n
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x i {0,1},
经典的组合优化问题——旅行商问题
• 旅行商问题 一个推销员欲到n个城市推销商品，每两个城市 i和j之间的距离为dij，如何选择一条道路使得 推销员每个城市正好走一遍后回到起点且所走 路径最短。
组合优化问题的模型与算法分析
组合优化问题的模型与算法分析一、前言组合优化问题是一类重要的优化问题，普遍存在于工业、经济、军事等许多领域中。
它主要研究如何在给定约束条件下，寻找最优解来优化某些目标函数。
本文将从组合优化问题的定义入手，详细介绍组合优化问题的模型和算法分析。
二、组合优化问题的定义组合优化问题是指在一组离散元素中，选择一定数量的元素，并对其进行某种约束条件的限制，从而达到最优化某些目标函数的目的。
组合优化问题常见的例子包括背包问题、旅行商问题、集合覆盖问题等等。
三、组合优化问题的建模建模是解决组合优化问题的关键步骤之一，良好的模型设计能够有效提高算法的求解效率。
在组合优化问题中，模型设计可以从以下几方面入手：（1）目标函数：组合优化问题通常需要在一定的约束条件下，使得目标函数最优化。
在模型设计中，需要充分考虑目标函数的限制条件，选择合适的目标函数来进行描述。
（2）约束条件：组合优化问题的约束条件通常包括线性和非线性约束条件等等。
在模型设计中，需要综合考虑不同的约束条件来进行统一描述。
（3）变量设置：组合优化问题中变量设置的合理性对算法求解效率也有很大影响。
在模型设计中，需要尽可能减少变量数目，降低问题维度，从而有效提高算法求解效率。
四、组合优化问题的算法分析组合优化问题的构造是很难直接求解，需要设计专门的算法进行求解。
下面将介绍几种常见的组合优化问题算法：（1）贪心算法：贪心算法是一种自底向上的算法，通过每次选择当前最优解来逐步构建最终解。
这种算法的优点是简单易行，但缺点是不能保证全局最优解。
（2）回溯算法：回溯算法是一种自顶向下的算法，通过多次递归遍历整个搜索空间，寻找所有可能的解。
这种算法的优点是能够找到所有解，但缺点是复杂度非常高，需要考虑合适的剪枝策略来优化效率。
（3）分支限界算法：分枝限界算法是一种基于回溯算法的改进算法，它通过限制搜索空间，减少搜索的分支数，提高算法效率。
这种算法的优点是能够保证找到全局最优解，但缺点是需要考虑合适的限界策略来保证算法效率。
现代优化算法简介PPT课件
混合优化算法
将传统优化算法与启发式 优化算法相结合，以提高 效率和精度。
02
常见优化算法介绍
梯度下降法
总结词
基本、直观、易实现
详细描述
梯度下降法是最基础的优化算法之一，它通过不断沿着函数梯度的反方向进行 搜索，以寻找最小值点。由于其简单直观且易于实现，梯度下降法在许多领域 都有广泛应用。
牛顿法
优化算法的重要性
优化算法是解决复杂问题的关键，能 够提高效率和精度，降低成本和风险 。
随着大数据和人工智能的快速发展， 优化算法在解决实际问题中扮演着越 来越重要的角色。
现代优化算法的发展历程
01
02
03
传统的优化算法
如梯度下降法、牛顿法等， 适用于简单问题。
启发式优化算法
如遗传算法、模拟退火算 法等，适用于复杂问题。
多目标优化问题
总结词
多目标优化问题是指同时追求多个目标函数 的优化问题，如多目标决策、多目标规划等 。
详细描述
多目标优化问题需要同时考虑多个相互冲突 的目标函数，找到一个平衡的解。现代优化 算法如遗传算法、粒子群算法等在多目标优 化问题中广泛应用，能够找到一组非支配解
，满足不同目标的权衡和折衷。
04
指算法在处理大规模数据集时的性能表现。
详细描述
随着数据规模的增大，算法的可扩展性变得越来越重 要。现代优化算法需要能够高效地处理大规模数据集 ，同时保持较高的计算效率和精度。这需要算法设计 时充分考虑计算资源的利用和优化。
算法的理论支撑
总结词
指算法的理论基础和数学证明。
详细描述
现代优化算法需要有坚实的理论基础 和数学证明，以确保其有效性和正确 性。这需要算法设计者具备深厚的数 学功底和理论素养，以确保算法的可 靠性和稳定性。
组合优化问题的算法和方法
组合优化问题的算法和方法在实际工程和科学问题中，组合优化问题是常常遇到的一种类型，该问题种类涵盖面广，包括最短路问题、货车运输问题、统计分组问题等。
组合优化问题的求解需要使用特定的算法和方法，在本篇文章中，我将讨论组合优化问题的算法和方法，以期给读者提供有关该领域的重要知识点。
一、贪心算法贪心算法是一种基于贪心思想的算法，该算法以局部最优解为基础，试图寻找至于全局最优解的一种优化方法。
对于组合优化问题，贪心算法的核心思想是在每个阶段，选择最优决策，以求得最优解。
例如，在经典的背包问题中，贪心算法可以采用按单位体积价值排序的策略，即按照物品单位体积价值从大到小的顺序，尽可能多地将价值高的物品装入背包中。
这种贪心算法可以在O(n log n)的时间复杂度内求解背包问题。
二、分支定界法分支定界法是一种广泛应用于组合最优化问题求解的算法，其主要思想是从初始可行解开始，逐步削弱可行解的空间，当最终问题的可行解空间被缩小到只剩下一个解，或者无解可行时，分支定界法给出最优解的求解方法。
例如，在运输问题中，可以使用分支定界法求解最优路线或路径。
分支定界法将每个节点作为一个初始可行解，在搜索过程中逐一削弱每个可行解的解空间，最终找到解空间被削弱到单个有效解或无可行解时，就求得最优解。
三、动态规划法动态规划法是求解组合问题的一种典型方法，该算法采用基于多阶段决策和递推思想的方法来求解问题，常用于求解最优路线问题、DNA序列比对问题等。
以旅行商问题为例，动态规划法可以利用动态规划表格，通过状态转移方程求得旅行商的最优解。
在动态规划表格的推导过程中，所有城市之间的距离，以及旅行商的旅行路径被存储在一个二维数组中，该数组可以用于计算任意两个城市之间的距离。
四、线性规划法线性规划法是求解多种组合最优化问题的重要方法。
线性规划法通常用于解决诸如资源分配、产品生产、设备调度等问题，其核心思想是通过最大化或最小化一个目标函数，并在附加约束条件下求解最优解。
组合优化问题的算法与求解
组合优化问题的算法与求解在我们的日常生活和工作中，经常会遇到各种各样的优化问题。
比如，如何规划物流配送路线，使得运输成本最低且能按时送达；如何安排生产计划，以最小化生产成本并满足市场需求；如何在网络中选择最优的节点路径，以提高数据传输效率等等。
这些问题都属于组合优化问题，它们的共同特点是需要从众多可能的组合中找到一个最优的解决方案。
组合优化问题是一个具有挑战性的研究领域，因为其解空间通常非常庞大，直接枚举所有可能的组合往往是不现实的。
因此，研究高效的算法来求解这些问题具有重要的理论和实际意义。
让我们先来了解一下什么是组合优化问题。
简单来说，组合优化问题就是在一个有限的集合中，寻找一个满足特定约束条件并且使得某个目标函数达到最优值的元素组合。
例如，旅行商问题（TSP）就是一个经典的组合优化问题，给定一组城市以及城市之间的距离，要求找到一条经过所有城市且总路程最短的路径。
为了解决组合优化问题，人们提出了许多算法。
其中，精确算法能够保证找到问题的最优解，但通常计算复杂度较高，只适用于规模较小的问题。
常见的精确算法包括分支定界法和动态规划法。
分支定界法通过不断地将问题分解为子问题，并对每个子问题的解进行估计和比较，逐步缩小搜索范围，最终找到最优解。
这种方法在处理一些具有特定结构的问题时非常有效，但对于大规模问题，由于需要枚举大量的分支，计算时间可能会非常长。
动态规划法则是通过将问题分解为多个重叠的子问题，并保存子问题的解，避免重复计算，从而提高求解效率。
然而，动态规划法也存在着存储空间需求大的问题，对于复杂的问题可能难以应用。
由于精确算法在处理大规模组合优化问题时的局限性，启发式算法和元启发式算法得到了广泛的应用。
启发式算法是基于直观或经验构造的算法，能够在合理的时间内得到一个较好的解，但不能保证是最优解。
常见的启发式算法有贪心算法和局部搜索算法。
贪心算法在每一步都选择当前看起来最优的决策，希望最终能得到一个较好的整体解。
组合优化问题的模型与算法
组合优化问题的模型与算法组合优化问题是指在一定的限制条件下，通过选取某些元素或者某些操作，使某个目标函数达到最优的问题。
组合优化问题广泛应用于交通、电力等方面。
同时，随着互联网日益普及，如何在庞大的数据中获得最优解也成为了组合优化问题面临的挑战。
本文将介绍一些组合优化问题的模型与算法。
一、0/1背包问题0/1背包问题是指有一系列物品，每个物品只能选取一次，每个物品有一个重量和一个价值，现在需要在给定背包容量的情况下选取一些物品，使得在满足背包容量限制的情况下，价值最大化。
该问题可以应用于考试题目的选题、物流的运输问题等。
0/1背包问题可以使用动态规划算法求解。
定义一个二位数组dp[i][j]，表示在前i个物品中，容量不超过j的条件下，能够获得的最大价值。
那么状态转移方程为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i])其中w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。
最终的结果为dp[N][M]，其中N表示物品数量，M表示背包的容量。
二、车辆路径问题车辆路径问题是指在满足各种限制条件的情况下，使得所有车辆的路径总长度最小的问题。
该问题可以用于物流公司的车辆调度、城市的交通规划等方面。
在车辆路径问题中，需要考虑到所有车辆的起点和终点，以及车辆之间的配送限制等情况。
该问题可以使用模拟退火算法求解。
模拟退火算法采用随机搜索的思想，通过模拟退火的过程不断迭代，以一定概率接受次优解，最终找到最优解。
三、最大流问题最大流问题是指在一个有向图中，从源节点s到汇节点t之间有若干个节点，每个节点之间有一定的容量限制，现在需要在不超过这些容量限制的情况下，使得从s到t节点的流量最大化。
该问题可以用于网络传输、航空航天制造等方面。
最大流问题可以使用Ford-Fulkerson算法求解。
该算法从源点s 开始，通过不断增加流量，寻找增广路径，直到无法再找到增广路径为止。
机组组合问题的优化方法综述
机组组合问题的优化方法综述一、本文概述随着能源行业的快速发展，电力系统的稳定性和经济性越来越受到关注。
机组组合问题，即在满足电力系统负荷需求的优化发电机组的运行组合，以提高电力系统的整体运行效率和经济性，成为当前研究的热点。
本文旨在综述机组组合问题的优化方法，对现有的各类优化算法进行全面分析和比较，为相关领域的研究者和实践者提供有益的参考。
本文将简要介绍机组组合问题的基本概念和数学模型，为后续的优化方法分析奠定基础。
将重点介绍并分析传统优化方法，如线性规划、动态规划、整数规划等，以及现代启发式优化算法，如遗传算法、粒子群优化算法、模拟退火算法等。
这些算法在机组组合问题中的应用将被详细阐述，包括其优点、缺点以及适用范围。
本文将总结机组组合问题优化方法的发展趋势，并对未来的研究方向进行展望。
通过本文的综述，读者可以全面了解机组组合问题的优化方法，为进一步提高电力系统的稳定性和经济性提供理论支持和实践指导。
二、机组组合问题的数学模型机组组合问题（Unit Commitment Problem, UCP）是电力系统运行中的一个核心问题，其目标是在满足系统负荷需求、系统安全约束以及机组运行约束的前提下，通过优化决策各机组的启停状态以及出力分配，来实现某种运行成本的最小化。
为了有效地解决UCP，首先需要建立其相应的数学模型。
机组组合问题的数学模型通常由目标函数和约束条件两部分组成。
目标函数通常与系统的运行成本相关，例如总燃料成本、排放成本或综合成本等。
约束条件则涵盖了电力系统的各种物理和运行限制，如功率平衡约束、机组出力上下限约束、爬坡率约束、旋转备用约束等。
在数学形式上，机组组合问题可以表示为一个混合整数线性规划（Mixed Integer Linear Programming, MILP）问题。
其中，整数变量用于表示机组的启停状态（0表示停机，1表示运行），而连续变量则用于表示机组的出力。
由于机组组合问题是一个NP难问题，其求解复杂度随着机组数量和系统规模的增加而迅速增长，因此在实际应用中，通常需要采用启发式算法、智能优化算法或近似求解方法来求得满意解。
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旅行商问题的解
从 n!条周游路线中找出一条具有最小成本的旅行路线， 如果用枚举的方法寻找，就是把每一个旅程的成本都计算 一次，再比较大小，显然需要计算n!次；当n不断的变大， 问题的求解会呈现出一种组合爆炸的状态。 所以，寻求有效的算法是解决组合问题的关键。
——粒子本身找到的历史最好解（个体极值点pbest） ——整个种群目前找到的最好解（全局极值点gbest） • 需要计算粒子的适应值（目标函数值），以判断粒子位 置距最优点的距离。 • 每次迭代中，根据适应值更新pbest和gbest。 • 迭代终止条件：设置最大迭代次数或全局最优位置满足 预定最小适应阈值。
C A
F E
B
D
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一个经典的组合优化问题——旅行商问题
数学模型
n
min dij xij
i j
n
s.t. xij 1, i 1,, n
j 1
n
xij 1, j 1,, n
i 1
xij | S | 1, 2 | S | n 2,
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仿生优化算法——粒子群算法
假设在一个D维的目标搜索空间中，有m个粒子组成一个
群落，其中第i个粒子表示为一个D维的向量 xi (xi1, xi2, , xiD)
i=1,2,…m.每个粒子的位置就是一个潜在的解。将其带入一 个目标函数就可以计算出其适应值，根据适应值的大小衡 量其优劣。 第i个粒子的“飞翔”速度也是一个D维的向量，记为
i, jS
xij {0,1}, i, j 1,, n, i j.
S {1,2,, n}
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一个经典的组合优化问题——旅行商问题
• 旅行商问题的应用领域 • 旅行商问题要从图G的所有旅行路线中求取最小成本的旅
行路线，而从初始点出发最终回到初始点的周游路线一共 有n!条，即等于除初始结点外的n个结点的排列数，因此 旅行商问题是一个排列问题。 • 可用于： - 指导交通规划，以减轻交通拥堵 ； - 指导物流节点的布局规划，物流路径的合理选择，以减
• 蚂蚁觅食
• 单只蚂蚁的能力和智能非常简单，但它们通过相互协调、 分工、合作完成筑巢、觅食、迁徙等复杂行为，比如蚂蚁 在觅食过程中能够通过相互协作找到食物源和巢穴之间的 最短路径。
• 其它的动物如蟑螂，鱼，细菌，鸟等都能够利用群智能， 采取合理的行动进行觅食，人们仿照这些动物的觅食行为 构造了相应的仿生算法。
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•仿生优化算法——群智能算法
• 勤劳的小蜜蜂
• 英国伦敦大学皇家霍洛韦学院等机构的研究人员报告：在 花丛中飞来飞去的小蜜蜂显示出了轻而易举破解旅行商问 题的能力。人们利用人工控制的假花进行了实验，结果显 示，不管怎样改变花的位置，蜜蜂在稍加探索后，很快就 可以找到在不同花朵间飞行的最短路径。
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仿生优化算法——粒子群算法
每个寻优的问题解都被想象成一只鸟，我们也称 为“Particle”。
所有的Particle 都有一个fitness function 以判断 目前的位置之好坏。
每一个Particle必须赋予记忆性，能记得所搜寻到 最佳位置。
每一个Particle 还有一个速度以决定飞行的距离 与方向。
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仿生优化算法——粒子群算法
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仿生优化算法——粒子群算法
粒子群优化算法( PSO) 是一种集群智能方 法的演化计算技术, PSO的基本概念源于对鸟群捕 食行为的研究. 1995 被Kennedy和Eberhart于 1995年提出。PSO算法的思想是跟踪最好点，并 逐步向最好点 靠近。粒子（潜在的解）在解空间 跟踪最优的粒子进行搜索。
vi (vi1, vi2, , viD )
记第i个粒子迄今为止搜索到的最优位置为
pi ( pi1, pi2, , piD)
记整个粒子群迄今为止搜索到的最优位置为
pg ( pg1, pg2, , pgD )
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仿生优化算法——粒子群算法
基本思路： • 初始化一群随机粒子（随机解） • 每次迭代中，粒子通过跟踪两个极值更新自己：
xD
• “组合优化问题”存在于生活中的方方面面 - 田忌赛马，投资组合 “组合优化”是通过“优化某种顺序排列方式”实现的
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经典的组合优化问题——背包问题
0-1背包问题
设有一个容积为b的背包，n个体积分别为ai (i=1,2,…,n), 价值分别为ci (i=1,2,…,n)的物品，如何以最大的价值装包？
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仿生优化算法——粒子群算法
每个粒子如何迭代？
vid (k 1) vid (k) c1 rand () ( pid - xid (k)) c2 rand () ( pgd - xid (k)) xid (k 1) xid (k) vid (k) c1,c2—学习因子，经验值取c1=c2=2，调节学习最大步长 rand（）—随机数，取值范围（0，1），以增加搜索随机性
组合优化问题与仿生优化算法
数学建模培训
何谓组合优化问题？
组合最优化（combinatorial optimization)是通过对 数学方法的研究去寻找离散事件的最优编排、分组、次 序或筛选等。所研究的问题涉及信息技术、经济管理、 工业工程、交通运输、通信网络等领域。该问题可用数 学模型描述为：
min f (x) s.t. g(x) 0
n
max ci xi
i 1
n
s.t. ai xi b
i 1
xi {0,1},
i 1,, n
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经典的组合推销商品，每两个城市 i和j之间的距离为dij，如何选择一条道路使得 推销员每个城市正好走一遍后回到起点且所走 路径最短。