常微分方程练习试卷及答案

常微分方程练习试卷

一、填空题。

1.方程23

210d x

x dt

+=是阶（线性、非线性）微分方程. 2. 方程

()x dy

f xy y dx

=经变换_______，可以化为变量分离方程. 3. 微分方程3230d y

y x dx

--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个.

4. 设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x

y x e e xe =++，则此方程的系数α=，

β=，γ=.

5. 朗斯基行列式()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的

条件.

6. 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为.

7. 已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t =.

8. 方程组20'05⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

x x 的基解矩阵为． 9.可用变换将伯努利方程 化为线性方程.

10 .是满足方程251y y y y ''''''+++=和初始条件 的唯一解.

11.方程

的待定特解可取 的形式:

12. 三阶常系数齐线性方程20y y y '''''-+=的特征根是

二、计算题

1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.

2．求解方程13

dy x y dx x y +-=-+. 3.求解方程22

2()0d x dx x dt dt

+=。

4．用比较系数法解方程.

.

5．求方程 sin y y x '=+的通解.

6．验证微分方程22

(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

7．设3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11η ，试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ，求X A dt dX

=满足初始条件η=)0(x 的解. 8. 求方程

2213dy

x y dx

=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解.

9.求的通解

试求方程组x Ax '=的解(),t ϕ12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦

并求expAt 10.若

三、证明题

1.若(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得()()t t C ψ=Φ.

2. 设),()(0βαϕ≤≤x x x 是积分方程

]

,[,,

])([)(0200

βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y x

x

的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ϕ在],[βα上一致收敛所得的解，而)(x ψ是这积分方程在],[βα上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[βα上)()(x x ϕψ≡.

3. 设都是区间上的连续函数, 且是二阶线性方程

的一个基本解组. 试证明:

(i) 和都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零); (ii) 和没有共同的零点; (iii) 和

没有共同的零点.

4.试证：如果)(t ϕ是

AX dt

dX

=满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么ηϕ)(ex p )(0t t A t -= .

2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦32()480dy dy xy y dx dx -+=

答案

一.填空题。 1. 二，非线性 2.u

xy =，

11

(()1)du dx u f u x

=+ 3.无穷多 4.3,2,1αβγ=-==-

5.必要

6.3

y

7.1()()t t -'ΦΦ 8.25 00t At

t e e e ⎡⎤

=⎢⎥

⎣⎦

9.

10. 11.

12.1,

二、计算题

1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 解: 设曲线方程为, 切点为(x ,y ), 切点到点(1,0)的连线的斜率为

, 则由题意

可得如下初值问题:

.

分离变量, 积分并整理后可得.

代入初始条件可得, 因此得所求曲线为

.

2.求解方程13

dy x y dx x y +-=-+. 解：由10,

30x y x y +-=⎧⎨-+=⎩求得1,2x

y =-= 令1,

2,

x y ξη=-⎧⎨

=+⎩

则有

.d d ηξηξξη+=-令z ηξ=，解得2(1)1z dz d z ξξ-=+,积分得2

1arctan ln(1)ln ||2

z z C ξ-+=+, 故原方程的解为222

arctan ln (1)(2)1

y x y C x -=++-+.

3.求解方程22

2()0d x dx x dt dt

+=

解 令

，直接计算可得，于是原方程化为

，故有或

，积分后得

，即

，所以

就是

原方程的通解，这里

为任意常数。

4.用比较系数法解方程. .

解：特征方程为, 特征根为

.

对应齐方程的通解为. 设原方程的特解有形如 代如原方程可得 利用对应系数相等可得, 故

.

原方程的通解可以表示为(是任意常数)

.

5.求方程 sin y y x '=+的通解.

解：先解y y '=得通解为x y ce =, 令()x y c x e =为原方程的解， 代入得()()()sin x x x c x e c x e c x e x '+=+, 即有()sin x c x e x -'=,

积分得1()(sin cos )2x c x e x x c -=-++ , 所以1

(sin cos )2

x y ce x x =-+ 为原方程的通解.

6．验证微分方程22

(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

解：由于22(,)cos sin ,(,)(1)M x y x x xy N x y y x =-=-，因为

2M N

xy y x

∂∂=-=∂∂所以原方程为恰当方程. 把原方程分项组合得22cos sin ()0x xdx xy dx yx dy ydy -++=,

或写成2222111

(sin )()()0222d x d x y d y ++=,故原方程的通解为2222sin x x y y C -+=.