(完整版)极点配置与状态观测器
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x~ x A EC x~ x
观测器设计问题也是个 极点配置问题!
v
u
-
K
6.3 状态观测器
x
x
y
B
∫
C
+
A
+
E
B
+ x~ ∫ x~ C ~y -
+
A
观测器
6.3 状态观测器 需要面临两个问题：
1. 状态反馈配置的极点是否受影响； 2. 观测器配置的极点是否受影响。
感谢大家对本人的支持！ 祝愿大家研究生期间 充实、快乐！
2 1
0
Re
λA
1 3i
6.2 极点配置
sys=ss(A,B,C,D) [y,t,x]=step(sys,10); plot(t,y)
6.3 状态观测器
6.3 状态观测器
v
uB
x
x
y
∫
C
-
+
A
状态 观测器
~x
K
6.3 状态观测器
用 ~x 代替 x
自然要求：
x~ x
渐近意义下： lim~x x 0 t
6.2 极点配置
零输入响应：
xt eAt x0
x0
1 0
x1 t x2 t
2et 2et
e2t 2e2t
x1t 2et e2t
1 1, 2 2
6.2 极点配置
Im
s平面
2 1 0
Re
6.2 极点配置
2et
x1 t
e2t
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
1. 系统矩阵由 A 变为 A BK
2. 状态反馈后，系统特征值为 λA BK
3. 状态反馈后，系统阶次不变 4. 状态反馈后，能控性不变，但不一定保持能观性
6.1 状态反馈及其性质
例 6.1.1 系统
：
x&
1 3
2 0 1 x 1 u
y [1 2]x
完全能控能观，引入反馈 u v Kx
状态反馈
u v Kx
x A BK x Bv
状态反馈后的系统：
y Cx
6.1 状态反馈及其性质
对于单入单出系统：
状态反馈 u v Kx
标量
x1
x
K k1
kn
xn
6.1 状态反馈及其性质
状态反馈后系统矩阵
v
uB
-
x ∫ x C y
+
A
K
状态反馈后系统状态方程：x A BK x Bv
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
time(s)
6.2 极点配置
Im
s平面
2 1 0
Re
响应快 响应慢
6.2 极点配置 在看一例：
Im
s平面
0
Re
稳定
6.2 极点配置
2阶系统 3阶系统
1阶系统
6.2 极点配置
Im
s平面
0
Re
稳定
6.2 极点配置
2阶系统 1阶系统
3阶系统
6.2 极点配置
状态反馈后系统极点
6.2 极点配置
例6.2.1 给定系统的状态空间表达式为
0 0 0 1
x 1 1
0
x
0u
0 1 1 0
y 0 1 1x
ຫໍສະໝຸດ Baidu
求状态反馈增益阵 K ，使反馈后闭环特征值为
1* 2
* 2,3
1
j
3
6.2 极点配置
Im
s平面
1
0
Re
λA
6.2 极点配置
6.2 极点配置
1 3i Im
s平面
λA BK
6.3 状态观测器
uB B
x ∫
+
A
E + x~ ∫
+
A
x
y
C
+
x~ C ~y 观测器
x~
6.3 状态观测器
u
y
+
E
B
+
x~ ∫
x~
~y -
C
+
A
观测器
观测器状态方程
x~ A EC x~ Bu Ey
6.3 状态观测器
观测器状态方程
x Ax Bu
x~ A EC x~ Bu Ey
两个方程相减：
6.1 状态反馈及其性质
状态反馈与输出反馈
当 K HC时
u v Kx
u v HCx
u v Hy
输出反馈！
6.1 状态反馈及其性质
v
uB
-
x
x
y
∫
C
+
A
HK 当 K HC时
输出反馈 银蛋！
6.1 状态反馈及其性质
状态反馈前后，状态方程的变化：
线性时不变
x Ax Bu
y Cx
A BK
6.1 状态反馈及其性质
状态反馈后系统极点
v
uB
-
x ∫ x
+
A
y
C
K
系统矩阵：A BK 特征值（极点） λA BK
该矩阵的特征值决定，例如稳定性、状态响应等
6.1 状态反馈及其性质
状态反馈 K
v
uB
-
x
∫
x
+
A
Cy
K
我们是否可以通过设计K， 来使系统达到某种期望特性？
6.1 状态反馈及其性质 状态反馈的几点性质：
v
uB
-
x
x
y
∫
C
+
A
K
λA
λA BK
6.2 极点配置
是否可以利用状态反馈，达到极点的 任意配置？
Im
s平面
0
Re
6.2 极点配置
6.2.1 极点配置定理 定理 6.2.1 给定系统
x Ax Bu :
y Cx Du
通过状态反馈 u v kx 任意配置极点的充
要条件 完全能控。
证: 只就单输入系统的情况证明本定理
K 3 1
u v 3 1x
6.1 状态反馈及其性质
则闭环系统 的K 状态空间表达式为
K
：
x&
1 0
2 0 0 x 1 v
y [1 2]x
不难判断，系统 K 仍然是能控的，但已不再 能观测。
6.2 极点配置
6.2 极点配置 极点的重要性：
1. 完全决定系统稳定性。 2. 对动态特性产生很大影响，如响应速度等。
第6章 状态反馈与状态观测器
State feedback and Observer
哈尔滨工业大学 Harbin Institute of Technology
本章目录
6.1 状态反馈及其性质 6.2 极点配置 6.3 状态观测器
6.1 状态反馈及其性质
v
uB
-
u v Kx
x ∫
x
y
C
+
A
K 状态反馈 金蛋！
观测器设计问题也是个 极点配置问题!
v
u
-
K
6.3 状态观测器
x
x
y
B
∫
C
+
A
+
E
B
+ x~ ∫ x~ C ~y -
+
A
观测器
6.3 状态观测器 需要面临两个问题：
1. 状态反馈配置的极点是否受影响； 2. 观测器配置的极点是否受影响。
感谢大家对本人的支持！ 祝愿大家研究生期间 充实、快乐！
2 1
0
Re
λA
1 3i
6.2 极点配置
sys=ss(A,B,C,D) [y,t,x]=step(sys,10); plot(t,y)
6.3 状态观测器
6.3 状态观测器
v
uB
x
x
y
∫
C
-
+
A
状态 观测器
~x
K
6.3 状态观测器
用 ~x 代替 x
自然要求：
x~ x
渐近意义下： lim~x x 0 t
6.2 极点配置
零输入响应：
xt eAt x0
x0
1 0
x1 t x2 t
2et 2et
e2t 2e2t
x1t 2et e2t
1 1, 2 2
6.2 极点配置
Im
s平面
2 1 0
Re
6.2 极点配置
2et
x1 t
e2t
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
1. 系统矩阵由 A 变为 A BK
2. 状态反馈后，系统特征值为 λA BK
3. 状态反馈后，系统阶次不变 4. 状态反馈后，能控性不变，但不一定保持能观性
6.1 状态反馈及其性质
例 6.1.1 系统
：
x&
1 3
2 0 1 x 1 u
y [1 2]x
完全能控能观，引入反馈 u v Kx
状态反馈
u v Kx
x A BK x Bv
状态反馈后的系统：
y Cx
6.1 状态反馈及其性质
对于单入单出系统：
状态反馈 u v Kx
标量
x1
x
K k1
kn
xn
6.1 状态反馈及其性质
状态反馈后系统矩阵
v
uB
-
x ∫ x C y
+
A
K
状态反馈后系统状态方程：x A BK x Bv
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
time(s)
6.2 极点配置
Im
s平面
2 1 0
Re
响应快 响应慢
6.2 极点配置 在看一例：
Im
s平面
0
Re
稳定
6.2 极点配置
2阶系统 3阶系统
1阶系统
6.2 极点配置
Im
s平面
0
Re
稳定
6.2 极点配置
2阶系统 1阶系统
3阶系统
6.2 极点配置
状态反馈后系统极点
6.2 极点配置
例6.2.1 给定系统的状态空间表达式为
0 0 0 1
x 1 1
0
x
0u
0 1 1 0
y 0 1 1x
ຫໍສະໝຸດ Baidu
求状态反馈增益阵 K ，使反馈后闭环特征值为
1* 2
* 2,3
1
j
3
6.2 极点配置
Im
s平面
1
0
Re
λA
6.2 极点配置
6.2 极点配置
1 3i Im
s平面
λA BK
6.3 状态观测器
uB B
x ∫
+
A
E + x~ ∫
+
A
x
y
C
+
x~ C ~y 观测器
x~
6.3 状态观测器
u
y
+
E
B
+
x~ ∫
x~
~y -
C
+
A
观测器
观测器状态方程
x~ A EC x~ Bu Ey
6.3 状态观测器
观测器状态方程
x Ax Bu
x~ A EC x~ Bu Ey
两个方程相减：
6.1 状态反馈及其性质
状态反馈与输出反馈
当 K HC时
u v Kx
u v HCx
u v Hy
输出反馈！
6.1 状态反馈及其性质
v
uB
-
x
x
y
∫
C
+
A
HK 当 K HC时
输出反馈 银蛋！
6.1 状态反馈及其性质
状态反馈前后，状态方程的变化：
线性时不变
x Ax Bu
y Cx
A BK
6.1 状态反馈及其性质
状态反馈后系统极点
v
uB
-
x ∫ x
+
A
y
C
K
系统矩阵：A BK 特征值（极点） λA BK
该矩阵的特征值决定，例如稳定性、状态响应等
6.1 状态反馈及其性质
状态反馈 K
v
uB
-
x
∫
x
+
A
Cy
K
我们是否可以通过设计K， 来使系统达到某种期望特性？
6.1 状态反馈及其性质 状态反馈的几点性质：
v
uB
-
x
x
y
∫
C
+
A
K
λA
λA BK
6.2 极点配置
是否可以利用状态反馈，达到极点的 任意配置？
Im
s平面
0
Re
6.2 极点配置
6.2.1 极点配置定理 定理 6.2.1 给定系统
x Ax Bu :
y Cx Du
通过状态反馈 u v kx 任意配置极点的充
要条件 完全能控。
证: 只就单输入系统的情况证明本定理
K 3 1
u v 3 1x
6.1 状态反馈及其性质
则闭环系统 的K 状态空间表达式为
K
：
x&
1 0
2 0 0 x 1 v
y [1 2]x
不难判断，系统 K 仍然是能控的，但已不再 能观测。
6.2 极点配置
6.2 极点配置 极点的重要性：
1. 完全决定系统稳定性。 2. 对动态特性产生很大影响，如响应速度等。
第6章 状态反馈与状态观测器
State feedback and Observer
哈尔滨工业大学 Harbin Institute of Technology
本章目录
6.1 状态反馈及其性质 6.2 极点配置 6.3 状态观测器
6.1 状态反馈及其性质
v
uB
-
u v Kx
x ∫
x
y
C
+
A
K 状态反馈 金蛋！