《最短路径问题》PPT

点C ，并说明理由．
P
N
A
BO
BO
B
D C
AP C' 图①
PA ' EP
OF
B
图② P ''
B
M '
A
EM
N
O
B
F
N 图③ '
课堂小结
原 线段公理和垂线段 理 最短
最 短 路 径 问 题 牧 马 解题
人饮 马 问 方法
题
轴对称知识+线 段公理
A
C
根据是“两点之间，线
段最短”，可知这个交
B
点即为所求.
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点， 又应该如何解决？
B
A
想一想：对于问题2，如何将 点B“移”到l 的另一侧B′处， 满足直线l 上的任意一点C， 都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
方法揭 晓
3.4 课题学习 最短路径问题
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目 标
1.体会图形的变化在解决最值问题中的 作用，感悟转化思想．（重点）
2.能利用轴对称解决简单的最短路径问 题.（难点）
导入新课
复习 1引.如入图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短①
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称
点B′； B
（2）连接AB′，与直线l 相交
于点C．
A
则点C 即为所求．
C
l
B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最
短吗？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与
点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由
轴对称的性质知，
B
BC =B′C，BC′=B′C′．
边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地
方饮马，可使所走的路径最短？
B
B 抽象成 A A
l
实际问题
C
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个 点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A， 点B的距离的和最短？ 连接AB,与直线l相交于一点C.
方法总结：此类求线段和的最小值 问题，找准对称点是关键，而后将 求线段长的和转化为求某一线段的 长，而再根据已知条件求解.
例2 如图，在直角坐标系中，点A，
B的坐标分别为（1，4）和（3，0），
点C是y轴上的一个动点，且A，B，C
三点不在同一条直线上A ，当△ABC的
周长最小时点C的坐标是（ ）C′
距离是 C
米. D 河
A
B
4.如图，边长为1的正方形组成的网格中， △AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别 是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当 PA+PB的值最小时，在39;
拓展提升
5.（1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在
AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的
周长最短，找出此点并说明理由．
（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在
OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点
组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并
说明理由．
（3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是
否N，在四O点AD、组O成B的上四分边别形存的在A周点长E、最F短，，使找得出E、AE、FM、F两M、
定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，
OB上有一点R．若△PQR周A长最小，
则最小周长是（ ）
A．10
B．15
C．20
D．30
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B
到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若
点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童
从A1处00把0 马牵到河边饮水再回家，所走的最短
l A′
讲授新 课
牧人饮马问题
“两点的所有连线中，线段最短”“连 接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路 径问题.
现实生活中经常涉及到选择最短路径问 题，本节将利用数学知识探究数学史上著名
P 的“牧①马人饮马问题”.
②
A ③B
A BC
Dl
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河
表示铺设的管Q道，则所需要管道最短Q的是
（ P）
P
MA
l Q
P
Ml C
B
M Q
l
P
M
l
D
典例精 析
例1 如图，已知点D、点E分别是等边
三角形ABC中BC、AB边的中点，
AD=5，点F是AD边上B的动点，则
BF+EF的最小值为（ ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中 点，即点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD 上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求 CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的 长即为BF+EF的最小值.
A
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
在∴△ACA′B+′BCC′中′=，AACB′+′B＜′C′．C ′ C
l
AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜
B′
AC′+BC′．
练一练：如图，直线l是一条河，P、Q是两个
村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q
两地供水，现有如下四种铺设方案，图中D实线
当堂练习
1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、 A′关于直线m对称，A、B关于直线n对 称，直线m与A′B和n分别交A于P、Q， 下A．面P的是说m法上正到确A、的B是距（离之 ） 和最短的
点，Q是m上到A、B距 离相等的点 B．Q是m上到A、B距离之 和最短的
点，P是m上到A、B距 离相等的点
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一
A．（0，3）
B．（0，2）
C．（0，1）
D．（0，B0′ ）
解析：作B点关于y轴对称点B′，
E
连接AB′，交y轴于点C′，此时
△ABC的周长最小，然后依据点
A与点B′的坐标可得到BE、AE的
长，然后证明△B′C′O为等腰直
方法总结：求三角形周长的最小值， 先确定动点所在的直线和固定点， 而后作某一固定点关于动点所在直 线的对称点，而后将其与另一固定 点连线，连线与动点所在直线的交 点即为三角形周长最小时动点的位 置.
② A ③B 2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上 各点连接的所有线段中，哪条最短？为什P 么？
PC最短，因为垂线段最短
A BC Dl
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ 三角形三边关系：两边之的和大于第三边； 斜边大于直角边.
4.如图，如何作点A关于直线l的对称点？ A