2021届步步高数学大一轮复习讲义(文科)第十一章 11.2几何概型

概念方法微思考
1.古典概型与几何概型有什么区别？ 提示 古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典 概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个. 2.几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？ 提示 几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值.
基础自测
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，
该区域中的每一点被取到的机会相等.( √ ) (2)几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体.( √ ) (3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( × )
1 的概率是__2__. 解析 如图所示，画出时间轴：
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB上，而当他的到达时间落在线段 AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟， 根据几何概型得所求概率 P＝10＋ 4010＝21.
思维升华
SI WEI SHENG HUA
求解与长度、角度有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型 转化为长度(角度)，然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同， 解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).
知识梳理
1.几何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积 或体积 )成比例， 则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型 . 2.几何概型概率的计算公式
构成事件A的区域长度面积或体积 P(A)＝ 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 . 3.几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有 无限多个. (2)等可能性：每个结果的发生具有 等可能性 .
2.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上， 1
任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为__6___.
解析 如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的， 则 OA 落在∠yOT 内的概率为36600＝16.
3.(2017·江苏)记函数f(x)＝ 6＋x－x2的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一 5
(4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件
个数都有限.( × )
题组二 教材改编
2.在数轴的[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为
1 A.2
√1 B.3
1 C.4
D.1
解析 坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3， 故所求概率为13.
3.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在 阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是
而阴影部分(不包括 AC )表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域. 易知该阴影部分的面积为4－π. 因此满足条件的概率是4－4 π，故选 D.
题组三 易错自纠
5.(2020·江西重点中学联盟联考)如图，边长为2的正方形中有
一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子(大小忽略不计)，
它落在阴影区域内的概率为 2，则阴影区域的面积为 3
大一轮复习讲义
§11.2 几何概型
最新考纲
1.了解几何概型的意义. 2.了解日常生活中的几何概型.
考情考向分析
以理解几何概型的概念、概率公式为主，会求一些简单的几何概型的概率，常与 平面几何、线性规划、不等式的解集等知识交汇考查.在高考中多以选择、填空 题的形式考查，难度为中档.
INDEX
基础落实 回扣基础知识 训练基础题目
个数x，则x∈D的概率是____9____. 解析 设事件“在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D”为事件A， 由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3， ∴D＝[－2,3]. 如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D的长度为5，
∴P(A)＝95.
4.某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发 车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟
√
解析 ∵P(A)＝83，P(B)＝82，P(C)＝26，P(D)＝13， ∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B).
4.设不等式组0≤x≤2，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则 0≤y≤2
此点到坐标原点的距离大于2的概率是
π A.4
π－2
π
B. 2
C.6
√4－π D. 4
解析 如图所示， 正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D，且区 域D的面积为4，
方形(阴影部分)的概率是
1 A.4
√1 B.25
3 C.4
24 D.25
解析 假设小正方形的边长为1， 则其面积为 1，而正方形 ABCD 边长为 32＋42＝5， 则其面积为 25，所以所求概率为215.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
题型二 多维探究 与面积有关的几何概型
命题点1 与平面图形有关的几何概型
例1 (2020·广西桂林、贺州、钦州联考)如图是三世纪汉代赵
爽在注解《周髀算经》时给出的弦图.它也被2002年在北京召
开的国际数学家大会选定为会徽.正方形ABCD内有四个全等
的直角三角形.在正方形内随机取一点，则此点取自中间小正
A.43
√B.38
C.23
D.无法计算
解析 设阴影部分的面积为S， 由几何概型可知S4＝23⇒S＝83.
6.在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC， 2
CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为__3___.
解析 设AC＝x cm(0<x<12)，则CB＝(12－x)cm， 则矩形的面积S＝x(12－x)＝12x－x2(cm2). 由12x－x2<32，即(x－8)(x－4)>0， 解得0<x<4或8<x<12. 在数轴上表示，如图所示.
由几何概型概率计算公式，得所求概率为182＝32.
题型突破 典题深度剖析 重点多维探究
题型一 自主演练 与长度(角度)有关的几何概型
1.设 x∈[0，π]，则 sin x<12的概率为
1 A.6
1 B.4
√1 C.3
1 D.2
解析 由 sin x<21且 x∈[0，π]， 借助于正弦曲线可得 x∈0，π6∪56π，π， ∴P＝π6π×－20＝13.