竖直、水平面内圆周运动中的临界问题和周期性问题(有解答)

水平面内圆周运动中的临界问题

一、圆周运动问题的解题步骤:

1确定研究对象

2、画出运动轨迹、找出圆心、求半径

3、分析研究对象的受力情况，画受力图

4、确定向心力的来源

5、由牛顿第二定律F n ma n 2 小

V 2 / 2 \ 2

m m r m(——)r

r T

二、临界问题常见类型：

1按力的种类分类：

（1 ）、与弹力有关的临界问题：接触面间的弹力：从有到无，或从无到有

绳子的拉力：从无到有，从有到最大，或从有到无

（2）、与摩擦力有关的弹力问题：从静到动，从动到静，临界状态下静摩擦力达到最大静摩擦

2、按轨道所在平面分类：

（1 ）、竖直面内的圆周运动

（2）、水平面内的圆周运动

三、竖直面内的圆周运动的临界问题

1、单向约束之绳、外轨道约束下的竖直面内圆周运动临界问题：

特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力

①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：

mg=mv2/R宀v临界=.Rg （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）

即此时小球所受重力全部提供向心力

②能过最高点的条件：v> Rg，当v> . Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力.

③不能过最高点的条件：v v V临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动）

例1、绳子系着装有水的木桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳子长度为求：（g 取

10m/s2）

A、最高点水不留出的最小速度？

B、设水在最高点速度为V=3m/s，求水对桶底的压力？

答案：（1）、、6m/s （2）2.5N

列方程求解

l=60cm ,

变式1、如图所示，一质量为m的小球，用长为L细绳系住，使其在竖直面内作圆周运动.（1）

若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点和最低点的速度分别是多少？小球的受力情况分别如

何？（2）若小球在最低点受到绳子

的拉力为10mg,则小球在最高点的速度及受到绳子的拉力是多少？

2、单向约束之内轨道约束下（拱桥模型）的竖直面内圆周运动的临界问题:

汽车过拱形桥时会有限速，是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度

V gr时，汽车对弧顶的压力FN=O,此时汽车将脱离桥面做平抛运动, 因为桥面不能对汽

车产生拉力.

例2、半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体，

如图所示。今给小物体一个水平初速度％ \Rg，则小物体将（

)

A.沿球面下滑至M点

B.先沿球面下滑至某点N,然后便离开斜面做斜下抛运动

C .按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动

D.立即离开半圆球做平抛运动

3、双向约束之轻杆、管道约束下的竖直面内圆周运动的临界问题

物体（如小球）在轻杆作用下的运动，或在管道中运动时，随着速度的变化，杆或管道对其弹力发生变化•这里的弹力可以是支持力，也可以是压力，即物体所受的弹力可以是双向的，与轻绳的模型不同•因为绳子只能提供拉力，不能提供支持力；而杆、管道既可以提供拉力，又可以提供支持力；在管道中运动，物体速度较大时可对上壁产生压力，而速度较小时可对下壁产生压力.在弹力为零时即出现临界状态.

（一）轻杆模型

如图所示，轻杆一端连一小球，在竖直面内作圆周运动.

（1）能过最高点的临界条件是：v 0 •这可理解为恰好转过或恰好不

能转过最高点的临界条件，此时支持力N mg .

⑵当0 v Rg时，0 N mg , N仍为支持力，且N随v的增大而减小,

⑶当V .：两时，N = 0，此为轻杆不受弹力的临界条件.

⑷当v .：Rg时，N随v的增大而增大，且N为拉力指向圆心，

例3、如图所示，有一长为L的细线，细线的一端固定在0点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动。已知水平地面上的C点位于0点正下方，且

到0点的距离为1.9L。不计空气阻力。（1）求小球通过最高点A时的速度V A；（2）若小球通过最低点B时，细线对小球的拉力T恰好为小球重力的6倍，且小球经过B点的瞬间让细线断裂，求小球落地点到C点的距离。解: （1）小球恰好能做完整的圆周运动，则小球通过A点时细线的拉力刚好为零，根据向心力公

式有：

2

v A m mg= L

解得：V A gL o

（2）小球在B点时根据牛顿第二定律有

2

V B

T-mg=m L

其中T=6mg

解得小球在

B点的速度大小为vB= 5gL

细线断裂后, 小球从B点开始做平抛运动，则由平抛运动的规律得

竖直方向上

如2

1.9L-L= 2 （2分）x=vBt

水平方向上

解得:x=3L

即小球落地点到C点的距离为3L。（2分）

（2

答案:⑴ gL⑵3L

㈡管道模型

质点（小球）在光滑、竖直面内的圆管中作圆周运动（圆管截面半径r远小于

球的圆周运动的半径R），如图所示•小球达到最高点时对管壁的压力有三种

情况:

⑴刚好对管壁无压力，此时重力为向心力，临界速度为v 、Rg •

⑵当v Rg时，对下管壁有压力，此时N mg mg。

A

2

（3）当v Rg时，对上管壁有压力，此时N m V mg。

R

实际上，轻杆和管道两种约束情况可化归为同类的物理模型，即双向约束模型.

例4、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R （比细管的半径大得多），圆

管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量为m i, B球的质量为m2。

它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v o。设A球运动到最低点时，球恰好运

动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么mi,m2,R与v o应满足关系式是 ______________ c 解：首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图4-1所示。A球

在圆管最低点必受向上弹力N i，此时两球对圆管的合力为零，m2必受圆管

向下的弹力N2,且N i=N2。据牛顿第二定律A球在圆管的最低点有：

2 2

v0v1

N1 mg m1同理m2在最高点有：N2 mg m2-

R R

1 2 1 2

m2球由最高点到最低点机械能守恒：2m2gR 口2山m z V。

凰4'1

2 2

N1 N2

! （5m2mJgR

由上述方程可得：V。' 2——”

m2 g

【小结】比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。

四、水平面内圆周运动中的临界问题：解决圆周运动中临界问题的一般方法

1、对物体进行受力分析

2、找到其中可以变化的力以及它的临界值

3、求出向心力（合力或沿半径方向的合力）的临界值

4、用向心力公式求出运动学量（线速度、角速度、周期、半径等）的临界值例

5、水平转盘上放有质量为m的物快，当物块到转轴的距离为r时,若物块始终相对转盘静止,

物块和转盘间最大静摩擦力是正压力的□倍，求转盘转动的最大角速度是多大？

2

解：由mg m r

g

，r

得: