第六章 5电位移矢量介质中的高斯定理

考虑方向 电容率
D 0 r E 0 E 0
0 r
D E
平行板电容器
E0 D 0
0 0

0
0 0
证毕
§5.电介质中的高斯定理 / 二、介质中的高斯定理
注意
1.
D E ,
D E

0
'
' 0
2.真空中
E E0,
D 0E P
ab
d1
d2
r1
d
r2

q E 1 d1 E 2 d 2
§5.电介质中的高斯定理 / 三、解题思路与应用举例
C
q E 1 d1 E 2 d 2
d1
d2

0S 0 0 r1
d1
0 0 r 2
d2
r1
d
r2

0S
d1
r1

d2
r2
§5.电介质中的高斯定理 / 三、解题思路与应用举例

q S CU S
d1
d
d2
0 SU
d1 d2 S r1 r 2

0U
d1
r1
0U

d2
r2

r1
U
r2
E1
0 0 r1

d1 d2 0 r1 r1 r 2
d1 d2 r1 r1 r 2
P '
1 ' 0 1 r
§5.电介质中的高斯定理 / 三、解题思路与应用举例
6.由
7.由
U ab a E d l
b
求Uab 。
求C。
R
C
q U
ab
例1：将电荷 q 放置 q 于半径为 R 相对电 r 容率为 r 的介质球 I 中心，求：I 区、II II 区的 D、E、P 及 V。 解：在介质球内、外各作半径为 r 的高斯 球面。
D D 左底 D 右底 D侧
D
P1
P2
r
d
§5.电介质中的高斯定理 / 三、解题思路与应用举例
D 左底 0
D侧 0
D D 右底
导体内 D=0
D dS

d'
0

0
D
右底 D 1 dS cos
D 1S q 0 0S
D1
0
高 斯 面 真空中
由
P D 0E
1 1 P I区： 1 D 1 0 E 1 2 2 2 4 r r 4 r 4 r r
q q
q
II区：P 2 由
D2 0E 2

q 4 r

2

q 4 r
2
0
V a a E d l a Edr r E 1 dr R E 2 dr
0
②.求电容C 由
C q U
ab
0 r
D
与
U ab Ed
高 斯 面
P1
P2
r
d
§5.电介质中的高斯定理 / 三、解题思路与应用举例
C
q U
ab

0S
E 1 ( d d ' ) E 2d '

0S 0 0
(d d ' )
0 0 r

d'
d'
0

P 0
E0
D E
D 0E0
3.导体中
E 0, P 0
D 0
§5.电介质中的高斯定理 / 二、介质中的高斯定理
三、介质中高斯定理的解题思路与应用
1.由 2.由 3.由 4.由 5.由
S D d S q 0
D E
求D。
求E。
求P。 求’。 求 0 。
D 0E P
§5.电介质中的高斯定理 / 三、解题思路与应用举例
E2
0 0 r 2

0U
d1 d2 0 r 2 r1 r 2

U d1 d2 r 2 r1 r 2
D 1 0 r1 E 1 0 r1
R
I区：V 1
r
R
q
R
q 4 0 r r
2
dr R

q 4 0 r
2
r
dr
I II
r
§5.电介质中的高斯定理 / 三、解题思路与应用举例
V 1 r
R
q 4 0 r r
2
dr R

q 4 0 r
2
dr
1 q 1 4 0 r r R 4 0 R

0
'
' 0
穿过闭合面的电 位移通量，等于面内 自由电荷的代数和。
电位移矢量 D
D 0E P
E0
D E
单位：库仑/米2，C/m2 方向：与介质中的场强方向相同。
§5.电介质中的高斯定理 / 二、介质中的高斯定理
高斯面
D 0E P
注意
D是为消除极化电荷的影响而引入的辅助 物理量，也是混合物理量。 介质中的高斯定理不仅适用于介质中， 也适用于真空中。 结论1 在均匀各向同性介质中
E
P S P d S q '
极化强度通量等于闭合面内极化电荷代数和
§5.电介质中的高斯定理 / 一、极化强度通量
二、介质中的高斯定理
D S D d S q 0

0
'
' 0
证明：由高斯定理
S E d S 1
E0
P E
0
( q0 q' )
P 侧 侧 PdS cos 0
P d S 侧 , cos 0 P P 右底
右底 PdS cos
P // d S ,
cos 1
S

0
'
' 0
E0
P
P PS ' S q '
高 斯 面 证毕
一、极化强度通量
结论1 极化强度通量
P S P d S q '
E0
P

0
'
' 0
证明：
P P 左底 P 右底 P 侧
P 左底 左底 P d S 0
高 斯 面
E
导体内部 P =0
§5.电介质中的高斯定理 / 一、极化强度通量
S 0 E d S q 0 S P d S S ( 0 E P ) d S q 0
高斯面
定义：D
0E P
为电位移矢量。
§5.电介质中的高斯定理 / 二、介质中的高斯定理
S D d S q 0
介质中的高斯定理：
0 0 r1

0

0U
d1
D 2 0 r 2 E 2 0 r 2 D1 D 2
0 0 r 2
r1

0

d2
r2
0
§5.电介质中的高斯定理 / 三、解题思路与应用举例
1 P1 1 ' 0 1 r1 1 P2 2 ' 0 1 r2
D 2S 0S P1
D
D2 0
D1 D 2
0
高 斯 面
P2
r
d
§5.电介质中的高斯定理 / 三、解题思路与应用举例
E2
D2
0 r

0 0 r
0 0 0
I区： D 1
D II区： 2
0 , E1 0, E2

d'
0

D
q0 4 r D1
2
I区：
q 4 r q 4 r
2
q
R
r
I
r r
II区： D 2
2
由
D 0 r E
高斯面
D1 q 4 0 r r q 4 0 r
2 2
II
I区： II区：
E1 E2
0 r
D2

E0
r
0 r
E0
§5.电介质中的高斯定理 / 三、解题思路与应用举例
§5.电介质中的高斯定理 / 三、解题思路与应用举例
S D d S q 0 S DdS cos q 0
q
R
r
I
r r
球面上各点D大小相 等，
D // d S ,
cos 1
2
高斯面
II
D 4 r q 0
D q0 4 r
2Fra Baidu bibliotek
§5.电介质中的高斯定理 / 三、解题思路与应用举例
0 0 E 0 0 r E
1 D 0 E 0 r E 1 r 0 r E
§5.电介质中的高斯定理 / 二、介质中的高斯定理
D 0 r E 0 r
E0
r
0E 0
D 0 r E 0 E 0
D 0 r E 0 E 0
证明：以平行板电容器为例
§5.电介质中的高斯定理 / 二、介质中的高斯定理
由于D、P、E同向 由
D 0E P
1 P ' 0 1 r 1 D 0 E 0 1 r
q
II区：
V 2 r E 2 dr

q
R
r

q 4 0 r
2
dr
q 4 0 r
r
I II
r
§5.电介质中的高斯定理 / 三、解题思路与应用举例
例2：平行板电容器极板间距为 d , 极板 面积为 S，面电荷密度为 0 , 其间插有厚 度为 d’ 、电容率为 r 的电介质， 求 ：①.P1 、P2点的场强E； d' 0 0 ②.电容器的电容。 ①.解：过 P1 点作高 斯柱面, 左右底面分别 经过导体和 P1 点。 高 斯 D S D d S q 0 面
P1
P2
r
d
E1
D1
0 r

0 0
r 1
§5.电介质中的高斯定理 / 三、解题思路与应用举例
过P2点作高斯柱面, 左右底面分别经过导 体和P2点。
D D 左底 D 右底 D 侧

d'
0

0
同理
D 0 D 右底 0 q 0
d
d1
d2
或由
P D 0E
r1
r2
也可算出P1 、P2 。
§5.电介质中的高斯定理 / 三、解题思路与应用举例
设计制作
干耀国
山东科技大学济南校区
§5.电介质中的高斯定理
第五节 电位移矢量 介质中的高 斯定理
真空中的高斯定理中
q q0 q'
S E d S

q
0
介质中
S E d S q0 q'
0
'
' 0
0
E0
E'
E E0 E'
P
'
要回避 q'的影响
高 斯 面
E
§5.电介质中的高斯定理
0

0S
d d ' d'
r
r
d
§5.电介质中的高斯定理 / 三、解题思路与应用举例
例3：平行板电容器 极板面积为 S，充满 r1、r2 两种介质， 厚度为 d1 、 d2。 ①.求电容 C； ②.已知板间电压 U， 求 0、E、D、P。 解： ①.设电容带电量 q
C q U
也可视为两电容器串联
C1 C2
d1
d2
0 r1S
d1
0 r 2S
d2 1 C1 1 C2
串联
C
1 C

r1
r2
d
C 1C 2 C1 C 2

0S
d1
r1

d2
r2
§5.电介质中的高斯定理 / 三、解题思路与应用举例
②.已知 U，求0、E、D、P。 解： 0