F等价关系与聚类分析
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六、F 等价关系与聚类分析
1．定义
（1）定义1 设()R F X X ∈⨯，如果R 同时具有自反性、对称性和传递性，则称R 是一个模糊等价关系。 2．有关定理
定理1 （等价定义）设()R F X X ∈⨯，则R
是模糊等价关系的充分必要
条件是对任意
[]0,1λ∈，R λ
都是等价关系。即
（1）
R
自反
⇔R λ自反；
（2）R 对称⇔R λ对称； （3）R 传递⇔R λ传递。
若X 有限，则称
R
为F 等价矩阵。
按R λ
可进行分类，λ取不同值可将X 分为不同的类。（λ越大分的越细）
定理2 （加细）设n n R μ⨯∈，01λμ≤
<≤，则按R μ
将X 分成
的每一类必定是按
R λ
将X 分成的类的子类。
证 （两个元素
12,x x 按R μ分类属于同一类，按R λ也必在同一类）
12,x x X
∀∈，且
12
x R x μ，则
12(,)1R x x μ=，即
1212(,)(,)1
R x x R x x λμλ≥>⇒=
所以
12,x x 按R λ分类时也归为一类。#
当
λ
由1逐步降至0时，按R λ分类所含元素由少变多，逐步归并，最后成一类。
这个过程称为动态聚类。
例1 设{}
12345,,,,X x x x x x =， 10.40.80.50.50.4
10.40.40.40.8
0.410.50.50.50.40.510.60.50.4
0.5
0.6
1R ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
=
⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
对X 进行动态聚类（分类） 解：验证
R
是等价矩阵
自反？对称？
2
10.40.80.50.50.4
10.40.40.40.8
0.410.50.50.50.40.510.60.50.4
0.5
0.6
1R R R R
⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪===
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
所以，
R
具有传递性，故
R
是F 等价矩阵。
易知， 当00.4
λ≤
≤时，分为一类：
{}12345,,,,x x x x x ；
当0.4
0.5λ<≤时，分为两类：
{}1345,,,x x x x ，{}2
x ；
当0.5
0.6λ<≤时，分为三类：
{}13,x x ，{}45,x x ，{}2
x ；
当0.6
0.8λ<≤时，分为四类：
{}13,x x ，{}2x ，{}4x ，{}5x ；
当0.81λ<≤时，分为五类：
{}1x ，{}2x ，{}3x ，{}4x ，{}5x 。
七、F 相似关系
1．定义1 设()R F X X ∈⨯，若R
满足：（1）
R
是自反的，
（2）R 是对称的， 则称
R
为
X
上的一个F 相似关系。
X
有限，
R
称为F 相似矩阵。
2．定理1 相似矩阵n n
R μ⨯∈的传递闭包是等价矩阵，且()n
t R R
=。
证 （证什么？）
（1）R 是自反的，故
R I ⊇ ，2
,R
R I ⊇⊇
1
()n
k n k t R R R I =∴=⋃=⊇，即()t R 是自反的。
（2）因为
T
R R
=，()
()
n T
T n
n
R R R ==，故()t R 是对称的，
因此()t R 是等价矩阵。 # 定理2 设n n R μ⨯∈是自反矩阵，则m n
∀≥，均有()
m t R R =
证 由
R
自反得
2
n
R R R ⊆⊆⊆⊆
故有1()()n m k k t R R R R t R ∞
==⊆⊆=
所以 ()m t R R = # 实际应用中： 2222
()()k
R R R R t R →→→→=
令
2k n ≥，
解出
2log k n ≥，
至多
[]2log 1n +步，即可得到传递闭包，也即模糊等价矩阵。
例1 设
1
00.100.810.6010100.810.1010.70.600.10
10.7100.900.800.6010.70.510.800.90.710.40.61
0.1
0.5
0.4
1R ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪= ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
求
R
的传递闭包。
解 显然
R
是相似矩阵
2
1
0.80.60.90.810.60.81
0.710.70.910.60.710.70.60.70.50.9
10.710.70.910.80.70.60.710.80.610.90.70.90.810.80.61
0.5
1
0.6
0.8
1R R R ⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
⎪== ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
422
10.90.70.90.810.90.910.710.80.910.70.710.70.70.70.70.9
10.710.80.910.80.80.70.810.80.810.90.70.90.810.90.91
0.7
1
0.8
0.9
1R R R ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪== ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
844
10.90.70.90.810.90.910.710.80.910.70.710.70.70.70.70.9
10.710.80.910.80.80.70.810.80.810.90.70.90.810.90.91
0.7
1
0.8
0.9
1R R R ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪== ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭