资源分配问题的求解方法

2 线性规划 2.1 模型的建立
线性规划是运筹学中最基本且范围最广的分支，它最主要是应用于合理的进行 各种资源的分配，以取得最佳的效果。
对于这类需要 M 种不同的原材料生产 AN 种不同的产品的资源分配问题，一般是 已知每种原材料的库存量，每种产品所需的各种原材料的分量，以及生产每种产品 能获得多少利益[1]。这类资源分配问题只要运用线性规划就可以解决。
2.2 求解方法
单纯形法是求解线性规划问题的通用方法。单纯形法的基本思想是：先找出一 个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到 另一改进的更好的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行，经过 反复迭代，直到目标函数值达到最大值（或最小值），就得到了最优解。可以用图 形表示为：
某工厂可生产甲、乙两种产品，需消耗煤、电、油三种资源。现将有关数据列 表如下：
产品 资源
煤 电 油 单位产品价格
表2
甲
乙
9
4
4
5
3
10
7
12
资源限量
360 200 300
-3-
资源分配问题的求解方法
试拟订使总收入最大的生产计划方案。
解：决策变量：甲、乙产品的计划产量，记为 x1 ， x2 ； 目标函数：总收入，记为 z ，则 Z 7x1 12x2 ； 为体现对其求极大化，在 z 的前面冠以极大号 max ；
III
石家庄学院毕业论文
1 引言
人们奋斗所争取的一切，都同他们的利益有关。资源分配问题关系着人们的利 益能否实现，因而一直是政治经济学研究的中心课题之一。在近几年，随着社会经 济的发展，资源分配问题已经广泛存在于社会各个领域，并且已经成为制约我国改 革、发展、稳定的焦点问题。如何在满足各使用者的基础上，将有限资源进行最佳 分配，使得生产成本最低、投资最省、产量最高、利润最大，以最大限度地提高效 益，是资源分配问题中亟待解决的难题，所以资源分配的求解方法就给解决这种问 题带来了很大的方便。线性规划是运筹学中研究较早，理论和算法比较成熟的分支 之一，它主要研究在线性等式（或不等式）的限制条件下，使某一线性目标函数取 得最大值（或最小值）的问题，并且求解有统一而简单的方法即单纯形法。但在许 多问题中，决策变量必须为整数，例如当决策变量是分配的人数、购买的设备数、 投入的车辆数时，它们一般必须为非负整数时才有意义。在这种情况下，常需要应 用整数规划进行优化。0-1 整数规划是整数规划的特殊情况，也是最广泛的整数规划， 用 0-1 整数规划求解时有时会更容易。有时源分配问题上也可以使用动态规划求解， 动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法，这种方法就是把它看成一 个时间轴，在时间的推移过程中，在每个时间阶段选择适当的决策，以使整个系统 达到最优。本文不仅介绍了线性规划、0-1 规划、和动态规划几种求解资源分配的方 法，还介绍了求解线性规划的方法—单纯形法、求解 0-1 规划的方法—隐枚举法和 LINGO 软件法、以及求解动态规划的方法—逆序递推法等几种算法的模型、求解的具 体步骤和所对应的实例。通过对本文的这几种求解方法的介绍，基本上就可以使不 同的资源分配问题得到更好更快的解答。
0
34 23
25
150
x3
0
0
1
78
29
84
25
25
x1
1
0
0
2
1
20
5
5
x2
0
1
0
3
4
24
25
25
-4-
石家庄学院毕业论文
由单纯形表求得的最优解为 x1 20, x2 24 ； 所以最优解为 z 428。
3 0—1 规划
3.1 模型的建立
整数规划指的是决策变量为非负整数值的一类线性规划，在实际问题的应用中， 整数规划模型对应着大量的生产计划或活动安排等决策问题，整数规划的解法主要 有分枝定界解法及割平面解法。0-1整数规划是整数规划的特例，其数学模型的目标 函数、约束条件与线性规划相同，所不同的是如果整数线性规划问题的所有决策变 量 xi 仅限于取0或1两个值，则称此问题为0-1整数规划，简称为0-1规划，把只能取0 或1值的变量称为0-1变量。
这里 f 为由目标函数的系数组成的向量，A 和 b1 分别为不等式约束条件的系数 矩阵和右端向量， B 和 b2 分别为等式约束条件的系数矩阵和右端向量，当约束条 件没有等式时，B 和 b2 就用空矩阵[] 表示，l1 和 l2 分别是变量的下界和上界约束。 满足全部约束条件的一组决策变量 x1, x2 ,..., xN ，称为此线性问题的可行解，而使目 标函数达到问题要求的最优值( max 或 min )的可行解称为线性规划问题的最优解。
-2-
单纯形法的思路
石家庄学院毕业论文
找出一个初始基本可行解
是
循
是否最优
最优解
环
否
结束
转移到另一个基本可行解
核心是：变量迭代
图1
单纯形法的一般解题步骤可归纳如下[2]：
(1) 把线性规划问题的约束方程组表达成典式方程组，找一个初始的可行基 B ；
(2) 求出对应的典式及检验数向量 ；
(3) 求 k max j | j 1, 2, , n ；
约束条件：分别来自资源煤、电、油限量的约束和产量非负的约束，
9x1 4x2 360
9x1 4x2 x3 360
表示为：
s.t.
4 x1 3x1
5x2 200 10x2 300
其标准形式为
s.t.
4 x1 3x1
5x2 x4 200 10x2 x5 300
x1, x2 0
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
其中 x3 ， x4 ， x5 为松弛变量。
用单纯形表解题：
表3
x1
x2
x3
x4
x5
b
-Z
7
12
0
0
0
x3
9
4
1
0
0
360
90
x4
4
5
0
1
0
200
40
x5
3
10
0
0
1
300
30
-Z
17
0
0
0
6
5
5
x3
39
0
1
0
2
240 400
5
5
13
x4
5
0
0
பைடு நூலகம்
1
1
50
20
2
2
x2
3
1
0
0
1
30
100
10
10
-Z
0
0
I
The Method of Solving the Resource Allocation Problem
【Abstract】Resource allocation problem is one or several resources( raw materials, machinery, equipment, etc.)assigned to several users by best way to get maximum benefit. It is a static planning problem, and can also through structural dynamic programming model to solve. This paper solves linear programming problem by using simplex method, 0-1 programming problem by using the implicit enumeration method, LINGO software method, and dynamic programming problem by using reverse recursive algorithm. The ultimate goal of this several algorithms is to solve the optimal value problem of the resources allocation. 【Key Word】Resource allocation; Linear Programming; 0-1 programming; Dynamic programming
另一种形式为[4]：
引进 0-1 变量：
1，当给j部门分配第i种单位资源时 yi j 0，否则
及资源单位数向量： z (0,1, 2,..., M )T 则可建立与实际相应数学模型：
-1-
产品
原材料
1
原
2
材
料
...
M
利润
资源分配问题的求解方法
表1 产品
...
A1
A2
...
a11
a12
...
a 21
a 22
...
...
...
...
aM 1
aM 2
...
c1
c2
库存量
AN
a1N
b1
a2 N
b2
...
...
a MN
bM
cN
max f T X AX b1
这种线性规划问题的数学模型为： s.t.BX b2 l1 X l2
资源分配问题的求解方法
【摘要】资源分配问题就是将一种或几种资源（原材料、资金、机器设备等）以最 优的方式分配给若干个使用者，以获得最大的效益。它可以是静态规划问题，也可 以通过构造动态规划模型求解。本文通过用单纯形法求解线性规划问题，用隐枚举 法、LINGO 软件求解 0-1 规划问题，以及用逆序递推算法求解动态规划问题。这几 种算法的最终目的都是用来求解资源分配的最优值问题。 【关键词】资源分配；线性规划；0-1 规划；动态规划
II
目录
1 引言．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 2 线性规划．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 2.1 模型的建立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 2.2 求解方法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 2.3 实例 1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 3 0-1 规划．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 3.1 模型的建立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 3.2 求解方法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 3.3 实例 2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 4 动态规划．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 4.1 模型的建立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 4.2 求解方法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 4.3 实例 3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 5 结论．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14 参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15 附录．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16 致谢．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．18
其一般的数学模型为[3] ：
n
max(min)z cj xj j 1
n
aij x j
(, )bi (i 1,2,, m)
j1
x j 0或1, ( j 1,2,, n)
其中 x j 为 0-1 变量，也称二进制变量、逻辑变量。 x j 仅取值 0 或 1 这个条件可 由下述约束条件所代替。x j 1，x j 0 ，x j 为整数，它和一般整数线性规划的约束条 件形式是一致的。
(4)
若k
0
，停止，已找到最优解
x
xB xN
b 0
(5) 若 Ak 0 ，停止，原问题无界；
(6)
求
min
bi
aik
| aik
0,i 1, 2,
, m br ； ark
(7) 以 Ak 代替 ABr 得到新的基，转第（2）步； 用单纯形法解题时，可通过单纯形表求得最优解。
2.3 实例 1