数学解题中的化归法

数学解题中的化归法

摘要：在解决问题的过程中，数学家往往不是直接解决原问题，而是对问题进

行变形、转化，直至把它化归为某个已经解决的问题或者容易解决的问题，把所

要解决的问题，经过某种变化，使之化归。化归法是一种分析问题、解决问题的

基本思想方法。在数学中通常的作法是：将一个非基本问题通过分解、变形、代

换等，或平移、旋转、伸缩等方式，将它化归为一个熟悉的基本问题，从而求出

解答。

关键词：化归法；转化；变形；联想

在解决问题过程中，往往不是直接解决原问题，而是对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个已经解决的问题或者容易解决的问题，把所要解决的问题，

经过某种化归，使之得到解决，这就叫做化归法。

化归法是一种分析问题、解决问题的基本思想方法。在数学中通常的作法是：将一个非基本的问题通过分解、变形、代换等，或平移、旋转、伸缩等多种方式，将它化归为一个熟悉的基本问题，从而求出解答。如在解析几何中，当我们学完

了最基本、最简单的圆锥曲线知识后，对一般圆锥曲线的研究，我们也是通过坐

标轴平移或旋转，化归为基本的圆锥曲线(在新坐标系中)来实现。其他如几何问

题化归为代数问题，立体几何问题化归为平面几何问题，任意角的三角函数问题

化归为锐角三角函数问题来表示的例子就更多了。所以，掌握化归的思想方法对

于数学学习有着重要意义。

一、化归法的基本原则

化归的核心是转化。化归法有三个要素，即化归的对象：即问题中需要改变

的成份，是改变整个题目还是只改变它的条件或问题；化归的目标：即化难为易、化繁为简，还是将陌生问题转化为熟悉问题；化归的方法：即转化途径，这是化

归法的关键。

若要实施好某种化归，且使这种化归行之有效，就必须遵循相应的原则，而

不是盲目进行。一般说来，化归应遵循以下原则：即熟悉化原则，就是将不熟悉

的问题化归为比较熟悉的问题，从而充分调动已有的知识和经验用于解决新问题；简单化原则，就是将复杂的问题化归为比较简单的问题，从而使问题更加容易解决；和谐化原则，就是将问题的表现形式变形为更加符合数学内部固有的和谐统

一的特点，这样做有利于揭示问题所涉及的各种数学对象之间的本质联系；直观

化原则，就是将一些含糊的、抽象的、深奥的问题化归为比较具体的、直观的、

浅显的问题来解决。

二、化归法的应用

在明确了化归的对象和化归的目标后，如何进行化归途径就是最重要的。实

现化归的常用措施有：分割法、典型化法、数形结合法、映射法、逼近法、消元法、降次法、换元法、数学模型法等。实施化归的方法虽然很多，但是都具有一

个共同特点：我们不应以静止的观点来看待问题，而应以可变化的观点去看待问题，即善于将待解的问题进行变形，通过适当的变形使之更加容易解决，这才是

化归的核心思想。

三、总结

在解题过程中，必须紧紧盯着目标，即应考虑这样的问题：怎样才能达到解决原问题的目的，在这个大前提下，实施化归才是有成效的，盲目地选择化归方向与方法必将走入死胡同，我们应保持一定的灵活性。正如波利亚所指出：如果有几条可能的途径，而其中没有一个是十分有把握的，那么在沿着某条路走得太远以前，最好对每条路都稍加探索，不要过早地把自己局限于某一途径，这也是化归的策略之一。在解题中必须考虑以下问题：怎样才能更快、更有效地解决问题，即应注意在几种可能的途径中进行选择，这就是择优原则。这几种择优原则也是我们运用化归的依据和出发点，而化归法并非万能，即并不是所有问题都可以通过化归而得到解决的。它的成功运用是以“数学发现”为前提。因此，我们不能停留于化归法的分析，而必须从事新的研究，在研究中获得新方法和新理论。

参考文献：

[1]罗增儒.数学竞赛导论[M].西安：陕西师范大学出版社，2000.

[2]殷堰工.数学解题策略精编[M].上海：上海科技教育出版社，1994.

[3]朱成杰.数学思想方法学[M].上海：文汇出版社，1998.

[4]张奠宙等.数学方法论稿[M].上海：上海教育出版社，1996.

[5]李文斌等.运用化归与转化的若干原则[J].中学数学研究，2004(12).

作者单位：江苏省宝应中学

邮政编码：225800