关于正项级数收敛性的判别法

关于正项级数收敛性的判别法
On convergence of series with positive terms
摘要
正项级数作为级数理论中最基本的一类级数，它的敛散性的判定是级数理论的核心问题。

正项级数的敛散性判别方法有很多，本文对正项级数敛散性的各种判别法的特点与联系作了简单、系统的归纳与剖析。

正项级数不仅有一般级数收敛性的判别法，也有许多常用的和一些新的收敛性的判定方法，如比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法和对数判别法等，但运用起来有一定的技巧，需要根据对不同级数通项的特点进行分析，选择适宜的方法进行判定，这样才能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是对于一些典型问题，运用典型方法，更能事半功倍。

关键词：级数；正项级数；收敛；发散。

Abstract
Determining whether or not a series is convergent in the series theory is the core issue. There are many ways to determine if a positive series is convergent. This thesis makes full analysis for the convergence determination methods for positive series. There are many common and some new convergence determination methods, such as comparison criterion, Cauchy criterion, d'Alembert criterion, Log Criterion and Rabe Criterion and other methods. But using which of these methods needs certain skills, needs to analyze the general items of the series. A lot of time can be saved if an appropriate method is used. Key words: Series;positive series; convergence; divergence.
目录
摘要................................................................................................................................................................. I I ABSTRACT.. (III)
目录 (IV)
引言 (1)
1 基础知识 (2)
1.1无穷级数的定义 (2)
1.2无穷级数的部分和 (2)
1.3无穷级数收敛的定义 (2)
2 正项级数敛散性的常用判别法 (3)
2.1柯西收敛原理[1] (3)
2.2基本定理 (3)
2.3比较判别法 (3)
2.4达朗贝尔判别法 (4)
2.5柯西判别法 (4)
2.6积分判别法 (5)
2.7阿贝尔判别法 (5)
2.8狄利克雷判别法 (5)
3 正项级数敛散性的一些新的判别法 (6)
3.1定理1（比较判别法的推广） (6)
3.2定理2（等价判别法） (6)
3.3定理3（拉贝判别法）[3] (7)
3.4定理4（高斯判别法）[5] (8)
3.5定理5（库默尔判别法）[3] (8)
3.6定理6（对数判别法）[4] (9)
3.7定理7（隔项比值判别法）[3] (10)
3.8定理8（厄尔马可夫判别法）[4] (10)
3.9定理9（推广厄尔马可夫判别法）[4] (10)
4 正项级数敛散性判别法的比较 (12)
5 应用举例 (16)
6 总结与展望 (20)
参考文献 (21)
致谢 (22)
引言
在数学分析中,数项级数是全部级数理论的基础,主要包括正项级数和交错级数,而正项级数在各种数项级数中是最基本的,同时也是十分重要的一类级数。

判别正项级数的敛散性是研究正项级数的主要问题,并且在实际中的应用也比较广泛，如正项级数的求和问题等。

所以探讨正项级数敛散性的判别法对于研究级数以及对于整个数学分析的学习与理解都有重要的作用。

因此，本文打算对正项级数的各种重要的敛散性判别法及特点与联系作了简单、系统的归纳与剖析。

首先，正项级数作为数项级数的一个重要组成部分，数项级数收敛性的判定方法对正项级数也是适用的，如数项级数收敛性的概念和柯西收敛原理等。

其次，正项级数也有许多常用的和一些新的收敛性的判定方法，如柯西判别法、达朗贝尔判别法、柯西积分判别法、拉贝判别法和对数判别法等，但运用起来有一定的技巧，需要根据对不同级数通项的特点进行分析，判断选择适宜的方法进行判定，这样才能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是对于一些典型问题，运用典型方法，更能事半功倍。

1 基础知识
1.1 无穷级数的定义
一系列无穷多个数123,,,,,n u u u u 写成和式
123n u u u u ++++
就称为无穷级数，记为1
n n u ∞
=∑。

如果()0,1,2,3,n u n ≥= ，那么无穷级数1
n n u ∞
=∑就称为正项级数。

1.2 无穷级数的部分和
对任何一个无穷级数1n n u ∞
=∑，我们总可以作出一个数列()1
,1,2,3,n
n k k S u n ===∑ ，并称n S 为级数1n n u ∞
=∑的n 次部分和（简称部分和），称数列{}n S 为级数的部分和数列。

1.3 无穷级数收敛的定义
若级数1n n u ∞
=∑的部分和数列{}n S 收敛于有限值S ，即
1
lim lim ,
n
n k n n k S u S →∞
→∞
===∑
则称级数1
n n u ∞
=∑收敛，记为
1
,n
n u
S ∞
==∑
并称此值S 为级数的和数。

若部分和数列{}n S 发散，则称级数1
n n u ∞
=∑发散。

当级数收
敛时，又称
1231
n n k
n n n k n r S S u
u u u ∞
+++=+=-=
=+++∑
为级数的余和。

2 正项级数敛散性的常用判别法
2.1柯西收敛原理[1]
级数1n n u ∞
=∑收敛的充要条件是：对任意给定的正数ε，总存在N ，使得当n N >时，
对于任意的正整数1,2,3,p = ，都成立着
12.n n n p u u u ε++++++<
对于正项级数1
n n u ∞
=∑，由于0n u >，因此，只要12n n n p u u u ε++++++< 即可。

2.2 基本定理
如果正项级数的部分和数列具有上界，则此级数收敛。

2.3比较判别法
设1
n n u ∞
=∑和1
n n v ∞
=∑是两个正项级数，存在常数0c >，使
,(1,2,3,),n n u cv n ≤=
或者自某项以后（即存在正整数N ，对一切的n N >时）成立上述关系，那么
（1）若级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞
=∑也收敛；
（2）若级数1
n n u ∞
=∑发散，则级数1
n n v ∞
=∑也发散；
比较判别法的极限形式 ：
设1
n n u ∞
=∑和1
n n v ∞
=∑是两个正项级数。

若有
lim
n
n n
u l v →∞= 则
（1）当0l <<+∞时，级数1
n n u ∞
=∑与1
n n v ∞
=∑同时收敛或同时发散；
（2）当0l =时，若级数1
n n v ∞=∑收敛，则1
n n u ∞
=∑也收敛；
（3）当l =+∞时，若级数1
n n v ∞=∑发散，则1
n n u ∞
=∑也发散。

2.4 达朗贝尔判别法
设1n n u ∞
=∑为正项级数，若从某一项起成立着
1
1n
n u q u -≤<（q 为确定的数，n N >）
，则级数1n n u ∞=∑收敛。

若从某一项起1
1,()n
n u n N u -≥>，则级数1n n u ∞
=∑发散。

达朗贝尔判别法的极限形式： 对于正项级数1
n n u ∞
=∑，当
____
_
1lim 1n
n n u r u →∞-=< 时，级数1
n n u ∞
=∑收敛。

当
_____
1lim
1n n
n u r u →∞
-=>
时，级数1
n n u ∞
=∑发散。

而当_
_
11r r ==或者时，级数1
n n u ∞
=∑的收敛性需要进一步判定。

2.5 柯西判别法
设1n n u ∞
=∑为正项级数，若从某一项起（即存在正整数N ，对一切的n N >时）成
立着1n n u q ≤<（q 为确定的数），则级数1
n n u ∞
=∑收敛。

若从某一项起成立着1n n u ≥，
则级数1
n n u ∞
=∑发散。

柯西判别法的极限形式： 对于正项级数1n n u ∞
=∑，设
____
lim ,n n n r u →∞
=
那么，当1r <时，级数1
n n u ∞=∑收敛，当1r >时，级数1
n n u ∞=∑发散，当1r =时，级数1
n
n u ∞
=∑的收敛性需要进一步判定。

2.6 积分判别法
对于正项级数1n n u ∞
=∑，设{}n u 为单调减少的数列，作一个连续的单调减少的正值
函数(),(0)f x x >，使得当x 等于正整数n 时，其函数值恰为n u ，即()n f n u =。

那么，级数1n n u ∞
=∑与数列{}n A ，这里()1
n
n A f x dx =⎰，同时收敛或同时发散。

2.7 阿贝尔判别法
如果（1）级数1n n b ∞
=∑收敛；
（2）数列{}n a 单调有界，,(1,2,3,)n a K n ≤= ， 则级数1n n n a b ∞
=∑收敛。

2.8 狄利克雷判别法
如果（1）级数1n n b ∞
=∑的部分和n B 有界，,(1,2,3,)n B M n ≤= ；
（2）数列{}n a 单调趋于零， 则级数1n n n a b ∞
=∑收敛。

3 正项级数敛散性的一些新的判别法
3.1 定理1（比较判别法的推广）
（1）若正项级数1n n u ∞=∑收敛，则级数1
k
n n u ∞
=∑也收敛[2]()k N +∈；
（2）若正项级数1
n n v ∞
=∑发散，且lim n n v →∞
=+∞，则级数1
k n n v ∞
=∑也发散。

证明：用数学归纳法和比较判别法来证明。

（1）当2k =时，因为1n n u ∞
=∑收敛，所以lim 0n n u →∞=，从而2
lim 0n
n n
u u →∞=，由比较判别法
得级数2
1
n n u ∞
=∑收敛。

假设k m =时，级数1m
n
n u ∞
=∑收敛，则当1k m =+时，因为1
lim 0m n
m n n
u u +→∞=，由比较判别法
得级数1
1
m n n u ∞
+=∑收敛。

所以，根据数学归纳法，结论成立。

（2）当2k =时，因为2lim n n n
v v →∞=+∞，而级数1n n v ∞=∑发散，从而由比较判别法得级数2
1n
n v ∞
=∑发散。

假设k m =时，级数1m
n
n v ∞
=∑发散，则当1k m =+时，因为1
lim m n
m n n
v v +→∞=+∞，由比较判别法
得级数1
1
m n n v ∞
+=∑发散。

所以，根据数学归纳法，结论成立。

3.2 定理2（等价判别法）
对于正项级数1n n u ∞
=∑，n n u a ，若正项级数1n n a ∞=∑收敛，则级数1
n n u ∞
=∑也收敛。

证明：由于n n u a ，所以lim 1n
n n
u a →∞=，又正项级数1n n a ∞
=∑收敛，根据比较判别法的极限
形式得正项级数1
n n u ∞
=∑也收敛。

3.3 定理3（拉贝判别法）[3]
对于正项级数1
n n u ∞
=∑，如果存在正整数N 及常数r ，
（1） 若对任意的n N >，存在1r >，使得11n n u n r u +⎛⎫
-≥ ⎪⎝⎭
，那么级数1n n u ∞
=∑收敛；
（2） 若对任意的n N >，存在1r <，使得11n n u n r u +⎛⎫
-≤ ⎪⎝⎭
，那么级数1n n u ∞
=∑发散。

证明：(1)取实数σ使得1r σ>>。

由于111
lim 1
n n r n
σ
σ→∞⎛⎫
+- ⎪⎝
⎭
=<，故对充分大的n 有111r n n σ⎛⎫
+<+ ⎪⎝⎭。

由11n n u n r u +⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭
得11111n n u r n u n n n σσ
++⎛⎫⎛⎫≥+>+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭，即
()
111
11n n u n n u n n σ
σσ+⎛⎫≤= ⎪+⎝⎭+。

由于1σ>，所以级数11n n σ∞=∑收敛，故级数1
n n u ∞
=∑收敛。

（2）由11n n u n r u +⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭
及1r <，
得11111n n u r n u n n n ++≤+<+=，即111
11n n u n n n u n +≥=++，由于级数11
n n ∞
=∑发散，故级数1
n n u ∞
=∑发散。

拉贝判别法的极限形式：
对于正项级数1n n u ∞
=∑，且1lim 1n n n u n r u →∞
+⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，
（1）当1r >时，级数1n n u ∞
=∑收敛；
（2）当1r <时，级数1
n n u ∞
=∑发散；
（3）当1r =时，需要进一步进行判定。

3.4 定理4（高斯判别法）[5]
设正项数列{}n u 满足
()111,,0n n
n n u p u n n
μθθμ+-=-+>有界，那么 （1）当1p >时，级数1
n n u ∞
=∑收敛；
（2）当1p <时，级数1
n n u ∞
=∑发散。

证明：取1
ln n s
v n n
=
，则 ()()1ln 11111111ln 111ln ln s
s
s n n v n v n a v n n n n n n ++⎡⎤+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦⎣⎦ 这里1111111ln 1ln ln ln ln n a o o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=
+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭，故 ()()11111111111ln ln ln ln n n n v v s s sa o a o o v n n n n n n n n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+++=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 由已知可得
111ln ln n n n n u v s o u v n n n n β++-⎛⎫
-=+ ⎪⎝⎭
故当1β>时，取s 使得1s β<<时，0N ∃，当0n N >时有
11
0n n n n u v
u v ++->，所以11
n n n n u v u v ++<。

由于当1s >时，可知级数1n n v ∞=∑收敛，所以级数1
n n u ∞
=∑收敛。

当1β<时，取1s β>>。

即可得110n n n n u v u v ++-<，所以11
n n n n u v u v ++>。

由级数1
n n v ∞
=∑发散，可得级数1
n n u ∞
=∑也发散。

3.5 定理5（库默尔判别法）[3]
对于正项级数1n n a ∞
=∑，如果11lim n n n n n u a a u δ+→∞+⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，则
（1）当0δ>时，级数1
n n u ∞
=∑收敛；
（2）当级数11
n n
a ∞
=∑发散且0δ<时，级数1n n u ∞
=∑发散（这里,0n n N a ∀∈>）。

证明：（1）由于0δ>，故存在N ，当n N >时，有112
n n n n u a a u δ
++-> 因此 ()111,,02
n n n n n n u a u a u n N a δ
+++->
∀∈>
由此得 ()1112n
n
k k k k k k N k N u a u a u δ
+++==->∑∑
因此有 111
2
n
N N n n k k N
u a u a u δ
+++=->∑
从而 ()1112
2
0n
k N N n n N N k N u u a u a u a δ
δ
+++=<<
-≤
∑
此即表明1n n u ∞
=∑的部分和序列1n k k u =⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
∑有上界，故级数1n n u ∞
=∑收敛。

根据假设存在N ，故n N ∀≥时，11
0n
n n n u a a u ++-≤ 因此有 11n n n n u a u a ++≤ 从而
11
111n n n n
n n u a a a u a +++≥= 而级数11
n n
a ∞
=∑发散，故级数1n n u ∞
=∑发散。

3.6 定理6（对数判别法）[4]
对于正项级数1n n u ∞=∑，若从某一项起，有1
ln
1ln n
u p n ≥>，则级数1
n n u ∞
=∑收敛；若从
某一项起，有1
ln
1ln n
u n <，则级数1
n n u ∞
=∑发散。

对数判别法的极限形式：
对于正项级数1
n n u ∞
=∑，如果
1ln
lim ln n
n u r n
→∞= 那么，当1r >时级数收敛；1r <时级数发散；1r =时级数的收敛性需要进一步判定。

3.7 定理7（隔项比值判别法）[3]
设正项级数1
n n u ∞
=∑的通项n u 是递减的，如果2lim
n
n n
u u λ→∞=，则
（1）当1
2λ<时，级数1n n u ∞
=∑收敛；
（2）当1
2λ>时，级数1
n n u ∞=∑发散。

3.8 定理8（厄尔马可夫判别法）[4]
设()f x 为递减的正值连续函数，又设()()
lim x x x e f e f x λ→∞
=，那么
（1） 当1λ<时，级数()1n f n ∞
=∑收敛；
（2） 当1λ>时，级数()1
n f n ∞=∑发散。

3.9 定理9（推广厄尔马可夫判别法）[4]
设()f x 为递减的正值连续函数，()x φ为递增可导函数，并满足()x x φ>，如果
()()()
()
/lim
x x f x f x φφλ→∞
=，那么
（1）当1λ<时，级数()1n f n ∞
=∑收敛；
（2）当1λ>时，级数()1
n f n ∞
=∑发散。

4 正项级数敛散性判别法的比较
4.1当级数的通项为等差或等比数列，或通项为含二项以上根式的四则运算，且通
项极限无法求出时，可以选用定义和柯西收敛原理进行判断。

如：
4.1.1 111
123n
+++++
取01
0,2
n ε<<∀，若令p n =，则
011111
12222n p n S S n n n n n ε+-=+++>⋅=>++
因此，由柯西收敛原理知级数11
n n ∞
=∑发散。

4.1.2 (
)
1221n n n n ∞
=+-++∑
(
)(
)(
)(
)
3221423252432211221
1
1221
n S n n n
n n n n =
-++
-++
-+++
+-++=-++-+=-+
+++
则lim 12n n S S →∞
==-。

所以，由级数收敛的定义知原级数收敛。

4.2当级数的通项型如
1
n
u 或含有sin ,cos θθ等三角函数的因子时，可以通过对其进行适当的放缩，然后再与几何级数、P 级数等常见的已知其敛散性的级数进行比较，选用比较判别法进行判定。

如：
4.2.1 判别正项级数()11,11n n a a
∞
=>+∑[6]
收敛。

因为1101n n a a ⎛⎫<≤ ⎪+⎝⎭，101a <<，而级数11n
n a ∞
=⎛⎫ ⎪⎝⎭
∑收敛，所以由比较判别法知级数11
1n
n a
∞
=+∑收敛。

4.2.2判别正项级数()
ln 21
ln n
n n ∞
=∑ 的敛散性。

因为存在正整数N ,当n N >时，有
()
ln ln lnln 2ln 21
111
ln n
n n
n
e e n
n =
≤
=
，而正项级数211n n ∞
=∑是收敛的，所以由比较判别法知级数()
ln 21ln n
n n ∞
=∑收敛。

通常比较判别法使用的范围比较广泛，适用于大部分无法通过其它途径判别其敛散性的正项级数。

4.3当级数的通项含有型如!n 或n a ，或分子、分母含多个因子连乘时，选用达朗贝
尔判别法；当通项含()1n
-与n u 的函数时，可以选用达朗贝尔判别法的极限形式进行判断，例：
4.3.1 判别正项级数()
1
1321!n n n ∞=⋅⋅⋅-∑
的敛散性。

由于，121
lim lim 211n n n n
u n u n +→∞→∞+==>+，所以级数()11321!n n n ∞
=⋅⋅⋅-∑ 发散。

4.3.2 判别正项级数()()()
()21,0111n
n
n x x x x x ∞
=>+++∑ 的敛散性。

由于
11
,011lim
lim
,1120,1
n n n n n
x x u x
x u x x ++→∞→∞<<⎧⎪⎪
===⎨+⎪>⎪⎩ 所以，1
lim 1n n n
u u +→∞<。

故正项级数()()()()21,0111n n n x x x x x ∞
=>+++∑ 收敛。

4.4 当级数的通项含有n 次幂，型如n a 、()n
n u 或通项1
ln n p
u n n
=
，即分母为含有ln x 的函数，分子为1，可选用柯西判别法。

如：
4.4.1 判别正项级数121n
n n n ∞
=⎛⎫
⎪+⎝⎭
∑收敛。

由于1lim lim 121212n
n n n n n n n →∞→∞⎛⎫
==< ⎪++⎝⎭
，所以根据柯西判别法的极限形式得正项级数121n
n n n ∞
=⎛⎫
⎪+⎝⎭
∑收敛。

一般来说，当选用根式判别法无法判断时，我们也可以选用达朗贝尔判别法来判断，但有时候我们用根式判别法而不使用比式判别法，因为根式判别法得到的收敛条件比达朗贝尔判别法更优。

例如： 4.4.2 ()1,0n n b bc b c b c +++++<< [7]
柯西判别法
()
121
11
21
lim
lim n n n n n n n b c
bc bc -----→∞
→∞
==
2lim n n n n b c bc →∞
=
当1bc =时，原级数=11b b ++++ ，原级数发散。

所以，当1bc ≥时，原级数发散；当1bc <时，原级数收敛。

达朗贝尔判别法
1,,n n b n u u c n +⎧=⎨
⎩为奇数
为偶数
____
1
lim
n n n
u c u +→∞=
1____lim n n n u
b u →∞+= 所以，当()11
c bc <<即时，原级数收敛；当()11b bc >≥即时，原级数发散。

由例题可知，两种判别法都可以用来判断上题，但柯西判别法与达朗贝尔判别
法相比得出的收敛范围更小，约束条件更为详细。

因此，上题选用柯西判别法比达朗贝尔判别法更好。

在使用判别法时，我们可以选用柯西判别法找到最佳收敛条件。

同时也存在只能使用柯西判别法，使用达朗贝尔判别法无法判断的情况。

例如： 4.4.3 判别级数(1)
12n n n ∞
---=∑[8]
的敛散性。

由于()()
111112
lim
lim 12n
n n n n n
u u +-++-→∞→∞==，所以用达朗贝尔判别法无法判别原级数的敛散性。

而()1111lim lim
1222
n n n n n n u -→∞→∞==<，所以，由柯西判别法得原级数收敛。

因此，当我们观察级数的通项的极限趋近于0时，我们可以选用柯西判别法或达朗贝尔判别法。

4.5 当级数的通项含有型如1n u ，n u 为含有ln n 的表达式或1
n u 可以找到原函数，或
函数()f x 为[)1,+∞上非负单调递减函数且()n u f n =时，可以选用积分判别法。

如：
4.5.1 判别正项级数31
ln ln ln n n n n
∞
=∑
的敛散性。

由于()()3333ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln d x d x dx x x x x x x x
+∞+∞+∞+∞
====+∞⎰⎰⎰，则广义积分3ln ln ln dx x x x
+∞⎰发散，所以由柯西积分判别法知原级数发散。

4.6 当级数的通项含有阶乘与n 次幂，型如!n 与n a 时，而使用柯西判别法、达朗贝尔判别法时极限等于1等无法判断其敛散性的时候，可选用拉贝判别法。

例：
4.6.1 判别正项级数1!
n n n e n n
∞
=∑的敛散性。

由于lim lim !n n n n n e u n n →∞→∞=，1lim lim 11n
n n n n
u n e u n +→∞→∞⎛⎫
== ⎪+⎝⎭，所以，使用柯西判别法和达朗贝尔判别法都无法判断。

而111lim 1lim 1121n n n n n u n n u e n →∞→∞+⎡⎤⎛⎫
⎛⎫-=+-=>⎢⎥
⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以由拉贝判别法的极限形式得原级数收敛。

因此，当柯西判别法与达朗贝尔判别法无法判断正项级数的敛散性时，我们可以选用拉贝判别法。

4.7 当级数的通项是由两个部分乘积而组成的，其中一部分为单调且趋于0的数
列，另一部分为部分和有界的数列，若含有sin cos θθ或等三角函数、()1n
-等；或可化为()1n
-，则可以选用狄利克雷判别法。

阿贝尔判别法也可以看成是狄利克雷判别法的特殊形式。

如：
4.7.1 如果正项级数1
n n b ∞
=∑收敛，则级数1
1,1n
n
n n b nb n n ∞
∞
==+∑
∑
都收敛。

4.8 当通项可通过泰勒展开式等方法找到其等价式，则可以通过判断其等价式的敛
散性来判断原正项级数的敛散性，这需要对泰勒展开式能够较为熟练的使用，以及对各种等价式能够熟练的运用。

例：
4.8.1 判别级数()
()1
sin 2!,0n en n α
πα∞
=>∑的敛散性。

因为01111
1!
1!2!!n e n n ∞
===+++++∑
()()()()()()
22111sin 2!sin 2!11!2!!111221sin 2!11!2!!1122212sin ,112en n n n o n n n n n o n n n n n n ππππππππ⎡⎤
⎛⎫=+++++ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣
⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++++++⎢⎥ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎣
⎦⎡⎤⎛⎫=++→∞⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎣
⎦
所以，()1sin 2!2en n n ααππ+ ，而正项级数11
2n n α
π
∞
+=∑是收敛的。

故原级数也收敛。

4.9 当级数的通项ln n u n n =或()()ln ln g n
n u f n =时，可以选用对数判别法。

如：
4.9.1 判别级数()
ln 2
1
ln ln n
n n ∞
=∑
[8]
的敛散性。

因为()1ln
ln ln ln ln n
u n n
=，对0α>，N ∃，当n N >时，有()ln ln ln 11n α≥+>，所以原级数收敛。

5 应用举例
例5.1 判定正项级数1
112n n -∞
=⎛⎫
⎪⎝⎭
∑收敛。

分析：本题中级数的通项是一个等比数列，判定其收敛性的方法比较多，定义、柯西收敛原理、比较判别法、柯西判别法和达朗贝尔判别法都适用。

解：该级数前n 项和
1
1
111112221112211212
k n n
n k n n S --=⎛⎫
⎛⎫==+++ ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
⎛⎫
- ⎪
⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∑
由于
1lim lim 2122n n n n S →∞→∞
⎡⎤
⎛⎫=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
所以级数1
112n n -∞
=⎛⎫
⎪
⎝⎭
∑收敛，其和为2。

例5.2 判定正项级数()1
1!2!!
2!n n n ∞
=++∑
的敛散性。

分析：本题无法使用定义、柯西判别法与达朗贝尔判别法，因此选择比较判别
法进行判断。

.
解：记()
1!2!!
2!n n u n ++= ，则
()()()21!2!!!1
02!
!12n n n n u n n n n n ++⋅<=
≤≤+ 而级数21
1
n n ∞
=∑
是收敛的，所以，由比较判别法得原级数收敛。

例5.3 判定正项级数()
1
212n
n
n ∞
=+-∑的敛散性。

分析：本题级数的通项中含有()1n
-，不能使用达朗贝尔判别法，这种类型也是 柯西判别法的典型类型，只要取上极限进行判断即可。

当然了，也可以用比较判别
法。

解：记()
212n
n n
u +-=，则
()____
____211
lim lim
12
2
n
n
n n n n u →∞
→∞
+-==
< 所以，由达朗贝尔判别法的极限形式得级数()
1
212n
n
n ∞
=+-∑收敛。

例5.4 判定正项级数()()
()112111n
n n a a a a ∞
=+++∑ 的敛散性。

分析：本题无法直接使用定义、柯西判别法、达朗贝尔判别法，或比较判别法
以及其他的判别法进行判断，因此可选用基本定理进行判断。

解：记()()()12111n
n n a u a a a =+++ ，则
()()()()()()()()()121211211
111111111n n n n n a u a a a a a a a a a -==-
+++++++++ 级数的前n 项和
()()()
1
121
11111n
n k k n S u a a a ===-
<+++∑
所以原级数的部分和数列有上界，于是原级数收敛。

例5.5 判定正项级数11
ln p
n n n
∞
=∑的收敛性。

分析：本题级数的通项的分母中含有ln n 的表达式，优先选择柯西积分判别法。

解：设()()1
,1ln p f x x x x
=
>，则当1p ≠时， ()()22212ln ln ln ,1ln 10,1p p p
d x dx f x dx x x x
p x
p p +∞+∞+∞+∞-==+∞<⎧==⎨->⎩⎰⎰⎰当时当时
当1p =时，
[]2lim lim ln ln ln ln 2ln n n n dx n x x →∞→∞
=-=∞⎰ 所以，当1p ≤时原级数发散，当1p >时原级数收敛。

例5.6 判定级数的100
21213n n n ∞
=⎡⎤
⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥
⎣⎦∑收敛性。

分析：本题运用定理1进行判定比较简便。

解：由于级数123n
n ∞
=⎛⎫
⎪⎝⎭
∑和级数
21
1
n n ∞
=∑收敛，根据收敛级数的性质得级数21213n n n ∞
=⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑也收敛，再由定理1得级数100
21213n n n ∞=⎡⎤⎛⎫
+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
∑收敛。

例5.7 讨论正项级数()()1135212462s
n n n ∞
=⎡⎤
⋅⋅⋅⋅-⎢⎥⋅⋅⋅⋅⎣
⎦∑ 当1,2,3s =时的收敛性。

分析：无论1,2,3s =那个值，都有1lim 1n n n
u
u +→∞=，因此达朗贝尔判别法无法判别该
级数的敛散性。

现在应用拉贝判别法来讨论。

解：记()()135212462s
n n u n ⎡⎤
⋅⋅⋅⋅-=⎢⎥⋅⋅⋅⋅⎣⎦
，当1s =时，由于
1221lim 1lim 1lim 121212
n n n n n u n n n n u n n →∞
→∞→∞+⎛⎫+⎛⎫-=-==< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 所以，由拉贝判别法的极限形式得原级数发散。

当2s =时，由于
()()22143221112122n n n n u n n n u n n +⎛⎫+⎛⎫
+⎛⎫-=-=< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎝⎭ 所以，由拉贝判别法得原级数发散。

当3s =时，由于
()()233112187223lim 1lim 1lim 121222n n n n n n n n u n n n u n n →∞→∞→∞+++⎛⎫⎛⎫
+⎛⎫-=-==> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎝⎭
所以，由拉贝判别法的极限形式得原级数收敛。

例5.8 讨论级数()1
1ln 1,0n
p n x n p n n ∞
=⎛⎫
-> ⎪⎝⎭∑的敛散性。

解：记1ln 1n
n p x n u n n ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，则
lim 1n n n u →∞
=
所以达朗贝尔判别法失效，考虑用对数判别法
ln ln 1ln ln ln 1ln ln 1lim lim lim ln ln ln ln ln 1ln lim lim ln 1ln p
n
n n n n n n n n n x n x n p n n u n n n n n
x n n x n n p p p x n n →∞→∞→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫- ⎪
⎛⎫⎝⎭=-=--=+ ⎪⎝⎭
故当1p x +>时，原级数收敛；当1p x +<时，原级数发散。

例5.9 讨论级数()()()1135211
,,02462p
q n n p q n n ∞
=⎡⎤⋅⋅⋅⋅-⋅>⎢⎥⋅⋅⋅⋅⎣
⎦∑ 为参数的敛散性。

解：记()()135211
2462p
n q n u n n
⎡⎤⋅⋅⋅⋅-=⋅⎢⎥⋅⋅⋅⋅⎣⎦ ，则
lim 1n n n u →∞
=
121lim lim 1221p q
n n n n
u n n u n n +→∞→∞+⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 于是柯西判别法和达朗贝尔判别法都无效。

我们用高斯判别法进行判定。

由于
()()
1222
11112111111211212p
q
n n
n
u u n n p q o o n n n n p q n n
θ+⎛⎫⎛
⎫=-⋅- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭
⎝⎭
⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦+=-+
所以，当212p q +>时，原级数收敛；当212
p q
+<时，原级数发散。

6 总结与展望
数学分析作为数学专业一门专业基础课程，对学习好其他科目具有重要作用。

级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。

而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。

判断正项级数的一般顺序是先检验通项的极限是否为0，若不为0则发散，若为0则判断级数的部分和是否有界，有界则收敛，否则发散。

若级数的一般项可以进行适当的放缩则使用比较判别法，或可以找到其等价式用等价判别法。

当通项具有一定的特点时，则根据其特点选择适用的方法，如柯西判别法、达朗贝尔判别法或拉贝判别法。

当上述方法都无法使用时，根据条件选择积分判别法、库默判别法或高斯判别法。

库默尔判别法可以推出比式判别法、拉贝尔判别法与伯尔特昂判别法。

当无法使用柯西判别法时，通常可以选用达朗贝尔判别法，当达朗贝尔判别法也无法使用时，使用比较判别法，若比较判别法还是无法判别时再使用充要条件进行判断。

由此，我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的，每当一种判别法无法判断时，就出现一种新的判别法来进行判断，因此正项级数的判别法有许多种。

正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。

本文归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断。

正项级数收敛判别法也可用于判定负项级数及变号级数的绝对收敛性，也可以推广到傅立叶级数的敛散性判别，在复变函数中也可以用于判定级数在复平面上的敛散性和收敛半径。

由于时间仓促，本文尚有许多不足之处，欢迎大家提出意见和建议，同时希望通过本文能加深学习者对正项级数的了解。

参考文献
[1] 欧阳光中，朱学炎等，数学分析[M]，北京：高等教育出版社，2007.
[2] 张雅平，关于正项级数敛散性的两种判别方法，大同职业技术学院学报，2005.6.
[3] 斯琴,正项级数的敛散性判别法,河套大学学报，2009.7.
[4] 杨钟玄，关于正项级数敛散性判别法及其联系，天水师专学报，1999年第3期.
[5] 刘羽，正项级数敛散性的判别法研究，网络财富，2009.12.
[6] 陈金梅. 幂级数求和法例谈 [J] . 石家庄职业技术学院报，2005.9.
[7] 吴良森等编著. 数学分析习题精解 [M] . 北京：科学出版社，2002.2.
[8] B.A卓里奇编著，蒋锋等译. 数学分析 [M] .北京：高等教育出版社，2006.12.
致谢
随着论文定稿的临近，我的大学生涯也将画上句号。

不舍之余，不禁想起了大学四年间的快乐时光，经历了很多事，自己也成长了不少。

在这里，首先我要感谢我的论文指导老师郭森林教授。

在两个月的论文写作工作中，郭老师给予我很大的帮助。

每当学校有什么任务时，郭老师总是很详细的告诉我该怎么做。

虽然他工作很忙，还是抽出很多时间来指导我写论文，对论文中的很多关键问题，反复的给我强调。

每当我有问题向郭老师请教的时候，不管是什么问题，郭老师总是很耐心的给我讲解。

正是有了郭老师的倾力指导，论文才得以顺利完成。

其次，我要感谢在这四年间给予我帮助的同学们。

大学生活，友情是很重要的一部分，在这几年间，大家相处的都很好，无论在生活上还是学习上我都得到了很大的帮助。

最后，我要向给予我指导的其他老师和各位答辩老师表示真诚的谢意。