参数估计

第九章参数估计
参数估计，通俗地说，就是根据抽样结果来合理地、科学地估计总体的参数很可能是什么？或者在什么范围。

点估计：根据样本数据算出一个单一的估计值，用来估计总体的参数值。

区间估计：计算抽样平均误差，指出估计的可信程度，进而在点估计的基础上，确定总体参数的所在范围或区间。

第一节点估计
点估计：点值估计，是以一个最适当的样本统计值来代表总体参数值。

估计量如果具有无偏性、一致性和有效性，就可以认为这种统计量是总体参数的合理估计或最佳估计。

一、求点估计值的标准
无偏性：要求统计量抽样分布的均值恰好等于被估计的参数之值。

比如，中心极限定理告诉我们，样本均值抽样分布的均值恰好等于总体均值，因此用样本均值估计总体均值就满足这个标准。

有效性：要求估计值的抽样分布有较小的分散性，即选择抽样分布的标准差较小的统计量作为估计量。

一致性：要求统计量随着样本容量n的增大以更大的概率接近被估计参数。

二、点估计值的计算
1. 总体均值的点估计
2. 总体方差的点估计值
在统计学中，常常用符号“
” 来表示无偏估计量。

数学上可以证明，对于随机样本而言， 才是总体方差 的无偏估计量，它称为修正样本方差 。

[例]研究者要调查某社区居民家庭收入分布的差异情况，现随机抽查了10户，得到样本方差为＝200(元2)。

试以此资料估计总体家庭收入分布的差异情况。

[解] 因为样本容量较小，宜用修正样本方差作为总体方差点估计量。

即
＝＝
＝222.2
第二节 区间估计
区间估计的任务是，在点估计值的两侧设置一个区间，使得总体参数被估计到的概率大大增加。

可靠性和精确性(即信度和效度)在区间估计中是相互矛盾的两个方面。

一、有关区间估计的几个概念
1. 置信区间：区间估计是求所谓置信区间的方法。

置信区间就是我们为了增加参数被估计到的信心而在点估计两边设置的估计区间。

2. 显著性水平α：用置信区间来估计的不可靠程度。

3. 置信度（水平）1-α：用置信区间估计的可靠性（把握度）
4. 抽样平均误差与概率度 Z
抽样平均误差：样本均值抽样分布的标准差。

反映在参数周围
越大，样本均值越分散。

概率度：Z 在参数估计中被称为概率度，其大小由α决定。

2
2
2
显著性水平、置信水平、概率度之间的关系： =0.10时， =0.90，Z α/2=1.65 =0.05时， =0.95，Z α/2=1.96 =0.01时， =0.99，Z α/2=2.58
二、区间估计的做法
从点估计值开始，向两侧展开一定倍数的抽样平均误差，并估计总体参数很可能就包含在这个区间之内。

对参数μ 的区间估计的步骤：
1. 首先从总体抽取一个样本，根据收集的样本资料求出它 的均值。

2. 根据合乎实际的置信水平查表求得概率度
3. 根据总体标准差和样本容量求出抽样平均误差
4. 以均值为基准，向两侧展开 Z 倍抽样平均误差的区间。

X
X
Z X Z X σ
μσ
+≤≤-
抽样极限误差（更普遍地可以写成抽样估计的允许误差 ）
抽样估计的精度
三、大样本，总体均值的区间估计
（ 根据总体方差是否知道，估计分两种情况） 1. 已知
2. 未知，用 S 代替
[例] 设某工厂妇女从事家务劳动服从正态分布
N [μ，0.662 ]，根据36人的随机抽样调查，样本每天平均从事家
务劳动的时间为2.65小时，求μ的置信区间（置信度 1-α=0.95）。

[例] 从某校随机地抽取100名男学生，测得平均身高为170厘米，标准差为7.5厘米，试求该校学生平均身高95％的置信区间。

第三节
其他类型的置信区间
1. 小样本，且为正态总体 ，总体均值的区间估计(用t 分布)
2
σ2
σσ
[例] 在一个正态总体中抽取一个容量为25的样本，其均值为52，标准差为12，求置信水平为95％的总体均值的置信区间。

2. 大样本总体成数的估计
要用代替，用代替
若总体成数未知，允许误差取
三、总体方差的区间估计
由第八章 X2分布的性质，我们知道有
因此，对于给定的置信水平，总体方差的区间估计为
∧
p
第四节 抽样平均误差
1. 简单随机抽样 回置抽样
不回置抽样
校正因子
主要用于总体不够大时。

抽样设计效果指标deff
Deff<1,说明该抽样方式误差小于简单随机抽样
2.分层抽样
层内方差的平均（层间方差不进入）：
回置抽样：
不回置抽样
3.整群抽样
总体可看作是以群为单位的简单随机抽样。

群间方差（群内方差不进入）：
整群抽样平均误差：
第五节 样本容量的确定 回置 不回置
设某市家庭月户均收入服从正态分布，标准差为160元，现要对该市家庭之月平均收入加以估计，
（1）若置信水平为95%，平均收入的最大误差在10元以内，问样本容量为多少？
（2）若置信水平为90%，平均收入的最大误差在10元以内，问样本容量为多少？
（3）若置信水平为99%，平均收入的最大误差在10元以内，问样本容量为多少？
（4）若置信水平为95%，平均收入的最大误差在20元以内，问样本容量为多少？
（5）改变最大误差，对样本大小有什么影响？
（6）改变置信水平，对样本大小有什么影响？（983，697，1704，246）
4、从7225名社区居民中以不回置法抽取500成人的调查显示，51%的回答者认为“父母在必要时应该打小孩”。

尽管大部分儿童成长专家说，打是不恰当的。

请指出在置信水平为99%时成人总体参数 P的估计的最大误差。

5、进行电话调查来估计有个人电脑的住户的比例。

被调查的350户中，75户有个人电脑。

（1）给出有个人电脑的总体比例的点估计；（2）给出95%的置信度时估计的最大误差。